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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,初中数学,第三章 整式及其加减,2,代数式,代数式的概念,定义,代数式,代数式用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式单独一个数或一个字母也是代数式,知识解读,（,1,）运算符号指的是“,+”“-”“”“”,以及乘方和以后要学习到的开方等；（,2,）在代数式中，除含有数、字母和运算符号外，还可以含有括号，但不能含有“,=”“”“7,；,(7)(,a,+,b,)(,a,2,+,ab,-,b,),；,(8),分析：代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子,单独一个数或一个字母也是代数式,.(1) (3),是等式，不是代数式；,(6),是不等式，也不是代数式,;(2)(5)(7)(8),都是用运算符号连接的式子，是代数式；,(4),是单独的一个数，也是代数式,解：,(2)(4)(5)(7)(8),是代数式，,(1)(3)(6),不是代数式,判断一个式子是不是代数式，关键是看它们是不是只由数、字母和运算符号连接而成,.,代数式的书写要求,代数式的书写要求,字母与字母相乘,可用小圆点代替“,”,，此时，小圆点应写在中间，避免与小数点混淆，也可以省略不写,数字与字母相乘,乘号通常简写为“,”,或省略不写，且数字应写在字母前面,带分数与字母相乘,一般应先把带分数化成假分数，再与字母相乘,数字与数字相乘,不能省略乘号,出现除法运算,一般按照分数的写法来写，将“,”,化成分数线,知识解读,在书写代数式时，要严格按照代数式的书写要求进行书写,.,若出现,1,或,-1,与字母相乘，其中,1,通常不写,巧记乐背,代数式要书写，,各种规则要明确，,凡有字母不写,“,”,，,数字放在字母前，,除号化成分数线,.,代数式的书写与括号,在一些实际问题中，表示某一个数量的代数式往往是有单位名称的，若代数式是积或商的形式，将单位名称写在式子的后面即可；若代数式是和或差的形式，必须先用括号把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面,.,分数线具有“,”,和“（）”的双重作用，所以 中分母不用加括号,.,例,2,下列代数式符合书写要求的是（ ）,A,ab,2,4 B,14,xy,C,a,2,b,D,6,xy,2,5,解析：,A.,ab,2,4,，正确的写法应为,4,ab,2,，故本选项不符合题意,;B.14,xy,为正确的写法，故本选项符合题意；,C.,a,2,b,，应该将带分数化成假分数，正确的写法应为,a,2,b,，故本选项不符合题意；,D.6,xy,2,5,，应该把“,”,化成分数线，正确的写法应为 ，故本选项不符合题意故选,B.,B,在代数式中出现除法运算时，一般都要写成分数的形式，被除数作为分子，除数作为分母，如,1,a,通常写作,1,a,(,a,0).,列代数式内容,内容,关键,列代数式,列代数式就是把实际问题中的数量关系用代数式表示出来,正确理解,“,和,”“,差,”“,倍,”“,份,”,大”“小”“多”“少”等关键性词语的意义,知识解读,(1),将实际问题中的数量关系用代数式表示，就是列代数式，要做到以下几点,:,抓住题目中的关键性词语，从而弄清题目中所涉及的量以及各量之间的关系,;,明确运算及运算顺序，如“和的积”是“先和后积”，也就是“先加法后乘法”,“,积的和”是“先积后和”，也就是“先乘法后加法”,;,在复杂的问题中，要弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式,.,(2),同一个代数式可以表示不同的意义,.,(3),明确“除”与“除以”的意义是不同的，如“,a,除,b,”,就是“,b,除以,a,”,的意思，表示为,注意,（,1,）在列代数式时，所列代数式必须是正确、全面地表述实际问题中的数量关系；,(2),所列的代数式必须按照代数式的书写要求规范书写,.,例,3,设甲数为,x,，用代数式表示下列语句：,(1),比甲数的平方大,2,；,(2),甲数的 倍与,4,的和；,(3),甲数除,2,的商与,1,的差,解：,(1),x,2,+2.(2),x,+4.(3) -1.,列代数式时,一要认真审题，正确理解题目中的关键性词语，如,“,增加了,”“,增加到,”“,扩大,”“,缩小,”,等，并把这些词语转化为运算；二要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改成表示数的字母,代数式的实际意义,内容,代数式的实际意义,生活中的实际问题可以用代数式来表示，反过来，一个代数式也可以用生活中的实际问题来表达其意义,知识解读,数式的意义有两个方面：,(1),代数式所表示的代数意义，如,3,a,可解释为,a,的,3,倍,;,(2),代数式所表示的实际问题的意义，如,3,a,可解释为葡萄的单价为,3,元,/kg,，买,a,kg,葡萄需要,3,a,元,注意,实际问题中的数量关系必须与代数式表达的含义一致，并且这类问题的结论往往具有开放性，只要合情合理即可,.,例,4 2016,年“双十一”期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价,a,元,/,件的服装以（,a,-20,）元,/,件售出，则以下四种说法，可以准确表达该网店促销方法的是（ ）,A,先将原价降低,20,元，再打,8,折,B,先将原价打,8,折，再降低,20,元,C,先将原价降低,20,元，再打,2,折,D,先将原价打,2,折，再降低,20,元,B,解析：根据代数式所呈现的运算顺序，先乘后减，所以该网店对该品牌服装的促销方法为先将原价打,8,折，再降低,20,元,.,故选,B.,求代数式的值,叙述,求法,代数式的值,用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值,（,1,）用数值代替代数式中的字母，简称“代入”；（,2,）按照代数式指明的运算顺序计算出结果，简称“计算”,知识解读,（,1,）在代入时，将相应的字母换成给定的数值，其他的运算符号、原来的数及运算顺序不能改变；,（,2,）代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号；,（,3,）代数式的值随着代数式中各个字母取值的不同而不同；,（,4,）在代入数值之前，要写出“当,时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求出的,巧记乐背,代数式要求值，,字母用数来表示，,负数记得添括号，,分数作乘方运算也添括号，,按序再把结果算,.,注意,（,1,）在求代数式的值时，如果字母取值是负数，代入求值时要添括号，如果字母取值是分数，作乘方运算时也要添上括号,.,（,2,）代数式里的字母所取的数值必须使它表示的实际数值有意义,如用,a,表示正方形的边长，,a,只能取正数,.,再如用,x,表示人数，,x,只能取正整数,.,代数式求值的方法,（,1,）直接代入法：将字母的值直接代入代数式中求值,.,(2),转换代入法：按指定的程序代入计算,.,(3),整体代入法：将“整体”看成一个新字母代入计算,.,例,5,当,a,=,，,b,=4,，,c,=-5,时，求代数式,8,a,3,+6,bc,-2,abc,的值,分析：分别用 ，,4,，,-5,代替代数式中的,a,，,b,，,c,，即可求出代数式的值,.,解：当,a,=,，,b,=4,，,c,=-5,时，原式,=8 +64,(-5)-2 4(-5)=1-120+20=-99.,运算顺序分不清,例,6,用代数式表示：,（,1,）,a,与,b,的平方差,;,(2),a,与,b,的和的平方,.,解：（,1,）,a,2,-b,2,.(2)(,a+b,),2,.,在列代数式时，经常不能读懂题意，将运算顺序弄错,从而导致所列代数式错误，如本题就容易将运算顺序弄错,平方和是先平方再求和；和的平方是先求和再平方,.,书写格式不规范,例,7,用代数式表示：,（,1,）,x,的 倍； （,2,）,x,除以,y,与,z,的积的商,解：（,1,）,x,. (2),.,容易出现书写不规范的错误,.,在列代数式时，若数与字母相乘，乘号可以省略不写，但数字必须写在字母的前面；若是带分数，应将带分数化成假分数；若含有除法运算，一般要写成分数的形式，被除数作分子，除数作分母,.,题型一 用代数式表示图形的面积,例,8,如图,3-2-1,，某长方形广场的四个角都有一块半径长相同的扇形（即四分之一圆）草地，若扇形的半径长为,r,m,，长方形的长为,a,m,，宽为,b,m,则空地的面积用代数式表示为,_.,图,3-2-1,（,ab-r,2,）,m,2,解析：要用代数式表示空地的面积，观察图形可知，空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径长为,r,m,的圆的面积,.,因为长方形的面积为,ab,m,2,，圆的面积为,r,2,m,2,所以空地的面积为,(,ab-r,2,)m,2,.,题型二 求代数式的值,角度,a,先求字母的值再求代数式的值,例,9,若,a,-2=0,b,+3=0,求代数式,b,2,-,ab,的值,.,思路导图,由,a,-,2,=0,，,b,+,3,=0,可求出,a,b,的值,将,a,b,的值代入,b,2,-,ab,即可求解,解：因为,a,-2=0,b,+3=0,所以,a,=2,b,=-3.,把,a,=2,b,=-3,代入,b,2,-ab,得,b,2,-ab,=(-3)2-2(-3)=9+6=15,角度,b,用整体代入法求代数式的值,例,10,若实数,a,满足,a,2,-2,a,+1=0,，则,2,a,2,-4,a,+5=_,解析：观察题中的两个代数式,a,2,-2a+1,和,2,a,2,-4,a,+5,，可以发现，,2,a,2,-4,a,=2(,a,2,-2,a,),，因此可先整体求出,a,2,-2,a,的值，再整体代入即可求解因为,a,2,-2,a,+1=0,，所以,a,2,-2,a,=-1,所以,2,a,2,-4,a,+5=2(,a,2,-2,a,)+5=2(-1)+5=3,3,题型三 代数式在实际问题中的应用,例,11,用同样多的钱可以买甲种商品,3,kg,，或者买乙种商品,4 kg.,请用代数式表示：,(1),如果甲种商品的单价是,m,元,/,kg,，那么乙种商品的单价是多少元,/,千克？,(2),如果用买乙种商品,n,kg,的钱去买甲种商品，可以买到甲种商品多少千克？,解：,(1),因为买甲种商品,3 kg,需,3,m,元，则买乙种商品,4,kg,也需,3,m,元，所以乙种商品的单价为,m,元,/kg.,(2),因为用同样多的钱可以买甲种商品,3 kg,或者买乙种商品,4 kg,，,所以用同样多的钱买的甲、乙两种商品的质量之比为,34.,所以用买乙种商品,n,kg,的钱去买甲种商品，可以买到甲种商品,kg,题型四 用代数式表示规律性问题,例,12,用等边三角形和正六边形按如图,3-2-2,的规律拼图案，即从第,2,个图案开始，每个图案都比上一个图案多,1,个正六边形和,2,个等边三角形，则用含,n,的代数式表示第,n,个图案中等边三角形的个数为,_,2,n,+2,图,3-2-2,解析：第,1,个图案中有,4,个等边三角形，以后每个图案都比上一个图案多,2,个等边三角形，则第,n,个图案中等边三角形的个数为,4+2,（,n,-1,）,=2,n,+2.,（,1,）规律探究题看似很难，其实不然,.,解答这类题时，首先求出“,n,”,为,1,2,3,，,的对应值，然后从符号、数值方面分析、猜测结论，最后找一个“,n,”,进行验证,.(2),数字或图形的变化规律，一般都与其所在的序号有关，因此在探索数字或图形的变化规律时，重点应放在变化情况与图形序号之间的关系上,.,方法点拨：,解读中考：,本节的中考考点是代数式的书写方法、意义及用代数式表示简单的数量关系和求代数式的值，题型有选择题和填空题，难度不大,.,考点一 列代数式,例,13 (,内蒙古呼和浩特中考）某企业今年,3,月份的产值为,a,万元，,4,月份比,3,月份减少了,10%,，,5,月份比,4,月份增加了,15%,，则,5,月份的产值是（ ）,A,（,a,-10%,）（,a+15%,）万元,B,a,（,1-90%,）（,1+85%,）万元,C,a,（,1-10%,）（,1+15%,）万元,D,a,（,1-10%+15%,）万元,C,解析：由题意可得，,4,月份的产值为,a,（,1-10%,）万元，,5,月份的产值为,4,月份的产值,（,1+15%,），所以,5,月份的产值为,a,（,1-10%,）（,1+15%,）万元,.,故选,C,考点二 代数式的实际意义,例,14 (,湖北咸宁中考）体育委员小金带了,500,元钱去买体育用品，已知一个足球,x,元，一个篮球,y,元则代数式,500-3,x,-2,y,表示的实际意义是,_.,体育委员小金用,500,元钱买了,3,个足球、,2,个篮球后剩余的钱数,解析：因为买一个足球,x,元，一个篮球,y,元，所示,3,x,表示体育委员小金买了,3,个足球，,2,y,表示买了,2,个篮球，所以代数式,500-3,x,-2,y,表示体育委员小金用,500,元钱买了,3,个足球、,2,个篮球后剩余的钱数,考点三 求代数式的值,例,15 (,贵州安顺中考）根据如图,3-2-4,的程序计算，若输入,x,的值为,1,，则输出,y,的值为,_,图,3-2-4,4,解析：依据题中的计算程序列出算式为,122,-4,因为,122,-4,=-2,，,-2,0,，所以应该按照计算程序继续计算且输入,x,的值为,-2,，即（,-2,）,2,2-4=4,，,40,，所以,y,的值为,4,例,16,（贵州六盘水中考）图,3-2-5,是一个运算程序的示意图，若开始输入,x,的值为,81,，则第,2 014,次输出的结果为（ ）,A.3 B.27 C.6 D.1,图,3-2-5,D,解析：第,1,次输出的结果为,81=27,，第,2,次输出的结果为,27=9,，第,3,次输出的结果为,9=3,第,4,次输出的结果为,3=1,，第,5,次输出的结果为,1+2=3,，第,6,次输出的结果为,3=1,依此类推，从第,4,次开始，偶数次运算输出的结果为,1,，奇数次运算输出的结果为,3.,因为,2 014,是偶数，所以第,2 014,次输出的结果为,1.,故选,D.,核心素养,例,17,某商场销售一种西装和领带，西装每套定价,1 000,元，领带每条定价,200,元“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案,方案一：买一套西装送一条领带,.,方案二：西装和领带都按定价的,90%,付款,现某客户要到该商场购买西装,20,套，领带,x,条（,x,20,）,（,1,）,若该客户按方案一购买，则需付款元；,(,用含,x,的代数式表示,),若该客户按方案二购买，则需付款元（用含,x,的代数式表示）,（,2,）若,x,=30,，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？,（,3,）当,x,=30,时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案,解：（,1,）,200,x,+16 000 .,180,x,+18 000 .,（,2,）当,x,=30,时，若按方案一购买，则需付款,20030+16 000=22 000,（元）,;,若按方案二购买，则需付款,18030+18 000=23 400,（元）,.,因为,22 00023 400,，,所以按方案一购买较为合算,（,3,）能,.,购买方案为先按方案一购买,20,套西装并得到,20,条领带，再按方案二购买,10,条领带,则需付款,20 000+2001090%=21 800,（元）,
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