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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/3/14,0,6.3,三角形的中位线,A,B,C,D,E,F,老汉的难题,古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？,连结三角形两边中点的线段,叫,三角形的中位线,三角形有,三条,中位线,因为,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点,三角形的,中位线,和三角形的,中线,不同,同理,DF,、,EF,也为,ABC,的中位线,E,D,F,A,C,B,所以,DE,为 ,ABC,的中位线,注意,怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形,?,观察 猜想,!,小组合作,沿中位线剪开,再旋转,.,沿中位线剪开,再旋转,.,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。,三角形中位线定理,四边形ADEF是平行四边形,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。,已知:如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC,证明：如图转接BN,CM,证明：如图，延长DE到F，,AB, BC= 2，DC= EF=,(1)求证:BN= DN(2)求MN的长.,DE BC 且 DE= BC,议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,延长DE到F，使EF=DE, ADDB，BEEC，,如图6-3-21，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边ABM和CAN D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF,A,B,C,D,E,F,已知：如图所示，,DE,是,ABC,的中位线,求证：,DE BC,，且,DE= BC,。, AE=CE 、AED=CEF 、,DE=EF,ADE CFE,证明：如图，延长DE到F，,使EF=DE，连接CF., A=ECF 、 AD=CF, CF AB,又 BD= AD CF = BD,四边形DBCF是平行四边形,DE BC 且 DE= BC, DF BC,DF = BC,证明：,D,E,延长DE到F，使EF=DE,连接AF、CF、DC ,AE=EC，DE=EF ，,四边形ADCF是平行四边形,F,四边形BCFD是平行四边形,证法,2,：, CF AD ,CF BD ,DEBC， ,三角形的中位线平行于三角形的,第三边且等于第三边的一半,D,E,ABC,中，若,D,、,E,分别是边,AB,、,AC,的中点，,则,DE,BC,，,DE,=,BC,三角形中位线定理：,符号语言：,议一议,:,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,中点,求证：四边形,EFGH,是平行四边形,四边形,问题,连接对角线,三角形问题,（三角形中位线定理）,A,B,C,D,E,F,H,G,2.,如图，,A,、,B,两点被池塘隔开，在,AB,外选一点,C,，连接,AC,和,BC,，怎样量出,A,、,B,两点间的距离？,根据是什么？,分别,画出,AC,、,BC,中点,M,、,N,，,量出,M,、,N,两点间距离，则,AB,=2,MN,.,N,M,根据是三角形中位线定理,随堂练习,例,1,(10,分,),如图，已知,E,为,ABCD,中,DC,边的延长线上的一点，且,CE,DC,，连接,AE,，交,BC,于点,F,，连接,AC,交,BD,于点,O,，连接,OF,，试说明,AB,2OF.,例,2.,已知，如图,6-3-10,，在四边形,ABCD,中，,AD=BC,，,P,是对角线,BD,的中点，,N,是,DC,的中点，,M,是,AB,的中点，,NPM=120,，求,MNP,的度数,.,例,3,求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,已知,:,如图所示，在,ABC,中，,AD,DB,，,BE,EC,，,AF,FC,求证：,AE,、,DF,互相平分,证明连结,DE,、,EF,AD,DB,，,BE,EC,，,DEAC,（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）,同理,EFAB,四边形,ADEF,是平行四边形,AE,、,DF,互相平分（平行四边形的对角线互相平分）,A,B,C,D,E,F,证：, 点,E,F,分别为,BC,AC,的中点,EF AB,EF=1/2AB, DAC= EFC=90 , AD=1/2AB,， ,AD=EF, AF=CF, ADF,FEC (SAS), DF=EC BE=EC, DF=BE,例,4,：,在,ABC,中，,BAC=90,，延长,BA,到点,D,，使,AD=1/2AB,，点,E,F,分别为,BC,AC,的中点，试说,DF=BE,理由,课后作业,第三边且等于第三边的一半, ADDB，BEEC，,三角形的中位线和三角形的中线不同, AE=CE 、AED=CEF 、,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?,D为AB的中点，等边ABC的边长是2,连结三角形两边中点的线段,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC, AF=CF,连结三角形两边中点的线段,求证:EF与MN互相平分.,证明：如图，延长DE到F，,又 BD= AD CF = BD, 点E,F分别为BC,AC的中点,证明连结DE、EF,证明：如图，延长DE到F，,根据是三角形中位线定理,证明：如图转接BN,CM,已知:如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC,1.,如图,E是,ABCD的边DC的延长线上一点，且CE=DC,AE交BC于点F,AC交BD于点O,连接OF求证:AB= 2,0,F,2.,如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.求证:EF与MN互相平分.,3.,如图,6-3-20,，,BM,，,CN,分别平分,ABC,的外角,ABD,，,ACE,，过点,A,分别作,BM,，,CN,的垂线，垂足分别为点,M,，,N,，交,CB,，,BC,的延长线于点,D,，,E,，连接,MN.,求证：,MN=,（,AB+BC+AC,）,.,4.,如图,6-3-21,，已知,ABC,是锐角三角形，分别以,AB,，,AC,为边向外侧作两个等边,ABM,和,CAN,D,，,E,，,F,分别是,MB,，,BC,，,CN,的中点，连接,DE,，,FE,，求证：,DE=EF,证明：如图转接,BN,CM,备用习题,1.,2.,3.,4.,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,解,:(1),D,E,分别为,AB,AC,的中点,所以,DE BC,CF= BC,所以,DE FC,即,DE=CF,四边形DBCF是平行四边形, AF=CF,使EF=DE，连接CF.,AE=EC，DE=EF ，,证明：如图转接BN,CM,如图6-3-20，BM，CN分别平分ABC的外角ABD，ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.,所以DE FC,即DE=CF,已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，NPM=120，求MNP的度数.,例4：在ABC中，BAC=90，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由,证明：如图，延长DE到F，,四边形ADCF是平行四边形, AD= BD= l,CD.,ADE CFE,D为AB的中点，等边ABC的边长是2, DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）,(1)求证:BN= DN(2)求MN的长.,例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,四边形BCFD是平行四边形,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,沿中位线剪开,再旋转.,(2)DE FC,四边形DEFC是平行四形,DC= EF.,D为AB的中点，等边ABC的边长是2,AD= BD= l,CD.AB, BC= 2，,DC= EF=,4.,如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,5.,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=,10,AC= 16.,(1)求证:BN= DN(2)求MN的长.;,5.,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=,10,AC= 16.,(1)求证:BN= DN(2)求MN的长.;,6.,7.,如图,在ABC中,AD为BC边上的中线,F为AC边上一点,AF= AC,BF交AD于点E,且E为AD的中点,EF=5 cm,求BF的长.,求证：AE、DF互相平分,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC= 16.,他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。,连结三角形两边中点的线段,使EF=DE，连接CF.,所以 DE为 ABC的中位线,四边形ADCF是平行四边形,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.,四边形DBCF是平行四边形,三角形的中位线和三角形的中线不同,例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC, A=ECF 、 AD=CF,证明：如图，延长DE到F，,例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,所以DE FC,即DE=CF,怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?,(1)求证:BN= DN(2)求MN的长.,如图6-3-21，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边ABM和CAN D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF,
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