6d_9习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 线性空间习题课,主要内容,一、线性空间,1,定义 代数运算，数量乘法满足,8,条规则,2,性质：,零元素是唯一的； 负元素是唯一,0a,0,，,k0,0,；,ka,0,k,0,或,a,0,3,线性空间的维数（有限维，无限维）有限维线性空间的基基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式与坐标变换个数,二、线性子空间,(,linearsubspace,),1,子空间的定义与判定条件线性空间,V,的子集,W,称为线性子空间，如果,W,对于,V,的两种运算封闭。,由,r,个向量生成的子空间,生成元零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可以扩充成原向量空间的一组基,。,2,子空间的和与交,设,V,1,，,V,2,是线性空间,V,的子空间，,则,V,1,V,2,，和则,V,1,V,2,都是,V,的子空间。,如果,V,1,，,V,2,是有限维线性空间,V,的子空间，那么,dim,（,V,1,)+dim(V,2,)=dim(V,1,V,2,)+dim(V,1,V,2,),向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。,3,子空间的直和,如果子空间,V,1,，,V,2,的和,中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。,设,V,1,，,V,2,是线性空间,V,的子空间，则以下命题等价：,线性子空间的概念可推广到多个子空间的情形,4,线性空间的同构同构的定义：,1,1,映射满足,同构的性质,:,（,2,）同构映射保持向量间的线性关系,.,(3)V,中的向量组 线性相关充分必要条件是它们的象,线性相关,.,(4),子空间的象构成子空间,且维数相同,.(5),同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射,.(6),有限维向量空间同构的充分必要条件是它们的维数相同,.,习题举例,Ex,.1,；,证明，复数域,C,作为实数域,R,上的向量空间，与,V,2,同构。,Ex,.2,；,设 是线性空间,V,到,W,的一个同构映射，,U,是,V,的一个子空间，证明： 是,W,的一个子空间。,Ex.3,;,证明：线性空间,Fx,可以与它的一个真子空间同构。,V= Fx,，,W=,Ex,.4,P,n,的任意一个子空间都是某一含,n,个末知量的齐次线性方程组的解空间。,证明：设,V,是,P,n,的任意一个子空间，维（,V,）,=,r,令,V=,L,( ),其中,， ，,，,构造线性方程组：,其解向量构成,n-r,维线性空间，设由下面,n-r,个向量组成,显然,V,是线性方程组,的解空间。,Ex.,5;,求线性空间的维数,1,）数域,P,上所有反对称矩阵组成的线性空间。,2,）数域,P,上所有上三角形矩阵组成的线性空间。,Ex,.6;,证明：,P,n,的任意一个真子空间都是若干个,n-1,维子空间的交。,证明：设,V,是,P,n,的任意一个真子空间，不仿设,V=,L,( ),，,它是线性方程组,的解空间，,记 为线性方程组,k=1,2n-r,的解空间,是,P,n,的,n-1,维子空间,V,恰是这,n-r,个,n-1,维子空间的交,Ex,.7;,设 是,n,维线性空间,V,中的,n,个向量，,V,中的每个向量都可以由它们线性给出，求证： 是,V,的一组基。,证明：只须证明 线性无关，,事实上，如果 是,的一个极大线性无关组，则 是,V,的一组基，所以 ，向量组,就是向量组 是线性无关。,Ex,.8;,在 中求齐次线性方程组,的解空间的维数与一组基。,解空间的维数是,3,，一组基是,解：由于,EX.9;,已知 ，,求向量 生成的 的子空间,与向量 生成的 的,子空间 的交与和空间的维数与一个基。,Ex,.10;,设,证明：实数域上矩阵,A,的全体实系数多,项式 组成的空间,与复数域,C,作为实数域,R,上的线性空间,同构。,证明：注意到 ，则，,建立,V,到 的映射：,是同构映射；所以,V,与 同构,作成实数域,R,上的线性空间,.,把实数域,R,看成是自身上的线性空间,.,例,全体正实数,R,+,关于加法,与数量乘法：,证明：并写出一个同构映射,.,证：作对应,易证为的,1,1,对应,.,且对有,所以，为的同构映射,.,故,方法二：作对应,易证：为的,1,1,对应，而且也为同构映射,.,事实上，为的逆同构映射,.,