6.2 线性子空间的和与直和

单击此处编辑母版标题样式,*,线性空间与欧几里得空间,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,线性子空间的和与直和,线性子空间的和,线性子空间的和的维数公式,线性子空间的和的基的求法,线性子空间的直和,9/17/2024,1,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和,两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间,的并集一般不是线性子空间。,则集合,也是一个线性子空间，,proof,9/17/2024,2,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和,(2),从线性子空间的和的定义很容易看出：,(3),多个子空间的和：,9/17/2024,3,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和的维数,以上,4,个线性子空间都是,2,维的,9/17/2024,4,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和的维数,(,理论结果,),引理,2.3:,线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。,proof,proof,proof,9/17/2024,5,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和的求法：例子,主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组,9/17/2024,6,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的和的求法：例子,基础解系,:,9/17/2024,7,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的直和,:,定义,下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形,-,直和,.,必要性是显然的,下证充分性,.,9/17/2024,8,线性空间与欧几里得空间,线性子空间的直和，补子空间,proof,proof,9/17/2024,9,线性空间与欧几里得空间,多个,线性子空间的直和,proof,9/17/2024,10,线性空间与欧几里得空间,命题,2.1,的证明,所以,W,是线性子空间。,back,证明：,9/17/2024,11,线性空间与欧几里得空间,命题,2.2,的证明,证明,:,由定义,有,back,9/17/2024,12,线性空间与欧几里得空间,引理,.,的证明,如果这个向量组不是,W,的基,则用同样的方法扩充,线性无关的向量组,直到不能扩充为止,最后得到,W,的一组基,.,back,引理,2.3:,线性子空间中的线性无关的向量组可以,被扩充成该子空间的一组基。,证明,:,9/17/2024,13,线性空间与欧几里得空间,定理,2.4,的证明,证明,:,注意到,只要证明,线性无关,9/17/2024,14,线性空间与欧几里得空间,定理,2.4,的证明,(2),设,有,所以,即,有,back,9/17/2024,15,线性空间与欧几里得空间,定理,2.6,的证明,证明：由维数公式可以得到,(2)与(3),的等价性。,下面证明,(1)与(2),的等价性。,back,9/17/2024,16,线性空间与欧几里得空间,定理,2.7,的证明,由于基的扩充是不唯一的，所以当,W,是不平凡子空间时，,它的补子空间是不唯一的。,back,9/17/2024,17,线性空间与欧几里得空间,命题,2.8,的证明,证明,:,9/17/2024,18,线性空间与欧几里得空间,命题,2.8,的证明,(2),=0,所以,9/17/2024,19,线性空间与欧几里得空间,命题,2.8,的证明,(3),其中,则有,于是,=0,所以,back,9/17/2024,20,线性空间与欧几里得空间,