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,万向思维精品图书,万向思维精品图书,万向思维精品图书,第三章 圆,6,直线和圆的位置关系,点和圆的位置关系有几种？,点到圆心的距离为,d,，圆的半径为,r,，则：,点在圆外,d,r,;,点在圆上,d,=,r,；,点在圆内,d,r,.,A,B,C,数形结合：,位置关系,数量关系,（地平线）,a,（地平线）,O,O,O,你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？,你分类的依据是什么？,（,2,）,直线和圆有,唯一个,公共点，则直线和圆,相切,，这条直线叫圆的,切线,，这个公共点叫,切点,.,（,1,）直线和圆有,两个,公共点，则直线和圆,相交,，这条直线叫圆的,割线,，这两个公共点叫,交点,.,（,3,）,直线和圆,没有,公共点，则直线和圆,相离,.,一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）,相交,相切,相离,上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判断直线与圆的位置关系？,1. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫,点到直线的距离,.,2. 连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短的是,垂线段,.,相关知识点回忆,数形结合：位置关系 数量关系,有交点，连半径，证垂直；,根据三角形的面积公式知，,解：连接 OA，OC，过点 A 作 ADOC 于点 D.,（2）直线和圆有唯一个公共点，则直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.,证明：如图，作 OE丄CD 于点 E，,直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.,有交点，连半径，证垂直；,AB 为 O 的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.,（1）根据定义，由_的个数来判断；,0 cmd 5 cm,OB=OC，AB=BC，A=30，,（1）切线和圆只有一个公共点,4 cm 时，有 d=r，所以C 和 AB 相切.,如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线分别交 BD，CD 及 BC 的延长线于点 E，F，G， O 是CGF 的外接圆.,二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分）,在 ABC 中，AB= 5.,圆的切线的判定方法：,例 4 如图，直线 AB 与 O 相切于点 C，AO 交O 于点 D，连接 CD，OC.,直线和圆相交,d,r,r,d,r,d,r,d,二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线,l,的距离,d,与圆的半径,r,的关系来区分）,1,.,已知圆的直径为,13 cm,，设直线和圆心的距离为,d,：,（,1,）若,d,=,4.5 cm，,则直线与圆,，直线与圆有_个公共点；,（,2,）若,d,=,6.5 cm，,则直线与圆,，直线与圆有_个公共点；,（,3,）若,d,=,8 cm，,则直线与圆,，直线与圆有_个公共点.,相交,相切,相离,2,1,0,2,.,已知,O,的半径为 5 cm，圆心,O,与直线,AB,的距离为,d,，根据下列条件填写,d,的取值范围：,（,1,）,若,AB,和,O,相离，则,；,（,2,）,若,AB,和,O,相切，则,；,（,3,）,若,AB,和,O,相交，则,.,d, 5 cm,d,=,5 cm,0 cm,d,r,，所以,C,和,AB,相离,.,（2）当,r,=,2.4 cm 时，有,d,=,r,，所以,C,和,AB,相切,.,（3）当,r,=,3 cm 时，有,d,r,，所以,C,和,AB,相交,.,已知,O,的半径,r,=,7 cm，直线,l,1,/,l,2,，,且,l,1,与,O,相切，圆心,O,到,l,2,的距离为 9 cm，求,l,1,与,l,2,的距离,m,.,判断直线与圆的位置关系的方法有_种：,（1）根据定义，由_的个数来判断；,（2）根据性质，由_,_,的关系来判断,.,在实际应用中，常采用第二种方法判断,.,两,直线与圆的公共点,圆心到直线的距离,d,与半径,r,情境引入,动手操作：,在,O,中任取一点,A,，连接,OA,，过点,A,作直线,l,OA,.,思 考：,（可与同伴交流）,（1）圆心,O,到直线,l,的距离和圆的半径有什么关系？,（2）直线,l,与,O,的位置有什么关系？根据什么？,（3）由此你发现了什么？,又O 的直径为 6，,AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB.,AB 为 O 的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.,点和圆的位置关系有几种？,根据三角形的面积公式知，,OA=OB=5，AB=8，AC=BC=4.,在实际应用中，常采用第二种方法判断.,例 1 如图， A 是 O 外一点，AO 的延长线交,O 与 AB 相切于点 C，,（1）定义：直线和圆有唯一公共点.,（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.,求证：ACD = COD.,（3）若 d=8 cm，则直线与圆 ，直线与圆有_个公共点.,（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.,（1）根据定义，由_的个数来判断；,综合性较强，要联系许多其他图形的性质,求证：直线 AB 是 O 的切线.,例 2 如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东 30方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市 A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？,例 1 如图， A 是 O 外一点，AO 的延长线交,直线与圆相切的判定定理,：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,.,如图，半径,OA,直线,l,，直线,l,为,O,的切线,特征：,直线,l,经过半径,OA,的外端点,A,.,特征：,直线,l,垂直于半径,OA,.,d,=,r,相切,感悟新知,圆的切线的判定方法：,（,1,）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线,（,2,）,数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线,（,3,）,判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,总结归纳,例 1 如图，,A,是,O,外一点，,AO,的延长线交,O,于点,C,， 点,B,在圆上，且,AB,=,BC,，,A,=,30. 求证：直线,AB,是,O,的切线.,证明：,连接,OB,.,OB,=,OC,，,AB,=,BC,，,A,=,30，,OBC,=,C,=,A,=,30，,AOB,=,C,+,OBC,=,60.,ABO,=,180,-（,AOB,+,A,）,=,180,-,（,60+30,）,=,90，,AB,OB,，,AB,为,O,的切线,（,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,）,.,练习,如图，已知,OA,=,OB,=,5，,AB,=,8，,O,的直径为 6.,求证：,AB,与,O,相切.,证明：过点,O,作,OC,AB,.,OA,=,OB,=,5，,AB,=,8，,AC,=,BC,=,4,.,在 Rt,AOC,中，,OC,=,3,.,又,O,的直径为 6，,OC,=,半径,r,，,直线,AB,是,O,的切线.,有交点，连半径，证垂直；,无交点，作垂直，证,d,=,r,.,例 2 如图，台风中心,P,（100，200）沿北偏东 30方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市,A,（200，380），,B,（600，480），,C,（550，300），,D,（370，540），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？,合作学习,已知直线,AT,切,O,于点,A,（切点），连接,OA,，则,OA,是半径. 问：,OA,与,AT,垂直吗？,过点,A,作,AT,的垂线，垂线过点,O,吗？,解：经过切点的半径垂直于圆的切线,.,经过切点垂直于切线的直线必经过圆心,.,圆的切线的性质：,经过切点的半径垂直于圆的切线,拓展：,（,1,）切线和圆只有一个公共点,（,2,）,圆心到切线的距离等于半径,（,3,）,经过圆心垂直于切线的直线必经过切点,（,4,）,经过切点垂直于切线的直线必经过圆心,总结归纳,例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. 如图， 用角尺的较短边紧靠,O,于点,A,，并使较长边与,O,相切于点,C,，记角尺的直角顶点为,B,，量得,AB,=,8 cm，,BC,=,16 cm. 求,O,的半径.,连接过切点的半径是常用的辅助线,.,O,A,B,C,D,解：连接,OA,，,OC,，过点,A,作,AD,OC,于,点,D,.,O,与,BC,相切于点,C,，,OC,BC,.,AB,BC,，,AD,OC,，,四边形,ABCD,是矩形，,AD,=,BC,，,OD,=,OC,-,CD,=,OC,-,AB.,在 Rt,ADO,中，,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,，,即,r,2,=,（,r,-,8）,2,+16,2,，解得,r,=,20.,O,的半径为 20 cm.,例 4 如图，直线,AB,与,O,相切于点,C,，,AO,交,O,于点,D,，连,接,CD,，,OC,.,求证：,ACD,=,COD,.,证明：如图，作,OE,丄,CD,于点,E,，,则,COE,+,OCE,=,90.,O,与,AB,相切于点,C,，,OC,丄,AB,（经过切点的半径垂直于圆的切线），,即,ACD,+,OCE,=,90,.,ACD,=,COE,.,ODC,是等腰三角形，,OE,CD,，,COE,=,COD,， ,ACD,=,COD,.,1. 切线的判定定理,.,2. 判定一条直线是圆的切线的方法：,（1）,定义：,直线和圆有唯一公共点,.,（2）,数量关系：,直线到圆心的距离等于半径,.,（3）,判定定理：,经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,.,课堂小结,如图， 用角尺的较短边紧靠 O 于点 A，并使较长边与 O 相切于点 C，记角尺的直角顶点为 B，量得 AB=8 cm，BC=16 cm.,（2）圆心到切线的距离等于半径,（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,（3）若 d=8 cm，则直线与圆 ，直线与圆有_个公共点.,判定一条直线是圆的切线的方法：,OB=OC，AB=BC，A=30，,根据三角形的面积公式知，,四边形 ABCD 是矩形，,如图，已知 OA=OB=5，AB=8，O 的直径为 6.,ACD= COE.,求证：ACD = COD.,解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.,如图，半径 OA直线 l，直线 l 为 O 的切线,求 O 的半径.,（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.,有交点，连半径，证垂直；,（1）根据定义，由_的个数来判断；,（1）切线和圆只有一个公共点, OA 与 AT 垂直吗？,解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.,3. 辅助线作法：,（1）有公共点：,作半径证垂直,.,（2）无公共点：,作垂直证半径,.,4. 切线的性质：,（1）经过切点的半径垂直于圆的切线.,（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.,5. 切线性质的运用：,常用的辅助线是,连接半径.,综合性较强，要联系许多其他图形的性质,1. 如图，在等腰直角三角形,ABC,中，,AB,=,AC,=,4，点,O,为,BC,的中点，以,O,为圆心作半圆,O,交,BC,于点,M,，,N,，半圆,O,与,AB,，,AC,相切，切点分别为,D,，,E,，则半圆,O,的半径和,MND,的度数分别为（）,A2；22.5,B3；30,C3；22.5,D2；30,课堂测试,2. 如图，由正方形,ABCD,的顶点,A,引一条直线分别交,BD,，,CD,及,BC,的延长线于点,E,，,F,，,G,，,O,是,CGF,的外接圆,.,求证：,CE,是,O,的切线,.,
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