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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新学期我们怀揣大学梦想，只要我们相信自己，刻苦努力每一天，就一定能考进,北京大学,未名湖和博雅塔,第一章 统计案例,1.1,回归分析的基本思想及其初步应用,a.,比,数学,3,中,“,回归,”,增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,-,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,我们回忆一下,最小二乘法,:,样本点的中心,:,回归方程,:,MODE,SHIFT,SCL,=,1,1,3,，,M+,165,49,，,M+,175,65,，,M+,165,58,，,M+,157,51,，,M+,170,53,SHIFT,A,SHIFT,B,2,=,=,1,(,进入回归计算模式,),(,清除统计存储器,),(,输入五组数据,),所以回归方程为,y=0.673x-56.79,(,计算参数,a),(,计算参数,b),EXCEL,怎样使用函数计算器求线性回归方程？,问题,1,：,正方形的面积,y,与正方形的边长,x,之间,的,函数关系,是,y = x,2,确定性关系,问题,2,：,某水田水稻产量,y,与施肥量,x,之间是否,-,有一个确定性的关系？,例如：,在,7,块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,施化肥量,x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量,y,330 345 365 405 445 450 455,复习,:,变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1,、定义：,1,）：相关关系是一种不确定性关系；,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2,）：,2,、,现实生活中存在着大量的相关关系。,如：人的身高与年龄；,产品的成本与生产数量；,商品的销售额与广告费；,家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量,y,与施肥量,x,之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索,2,：,在这些点附近可画直线不止一条，,哪条直,线最能代表,x,与,y,之间的关系呢？,x,y,施化肥量,水稻产量,施化肥量,x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量,y,330 345 365 405 445 450 455,散点图,我们回忆一下,最小二乘法,:,样本点的中心,:,回归方程,:,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，体重为因变量,y,，作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系，因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到，样本点散布在某一条,直线的附近，而不是在一条直线上，所以,不能用一次函数,y=bx+a,描述它们关系,。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=bx+a+e,，其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差,。,思考,P3,产生随机误差项,e,的原因是什么？,思考,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、其它因素的影响：影响体重,y,的因素不只是身高,x,，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,x,的观测误差。,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数,a,和,b,的最好估计，,制表,7 8,合计,6,5,4,3,2,1,i,所以回归方程是,所以，对于身高为,172cm,的女大学生，由回归方程可以预报,其体重为,探究,P4,：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,探究,P4,：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为,172cm,的女大学生的体重不一定是,60.316kg,，但一般可以认为她的体重在,60.316kg,左右。,60.136kg,不是每个身高为,172cm,的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为,172cm,的女大学生,平均体重的预测值,。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型,y=bx+a+e,增加了随机误差项,e,，因变量,y,的值由自变量,x,和随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解释部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为解释变量，因变量,y,称为预报变量。,1.,用相关系数,r,来衡量,2.,公式：,求出线性相关方程后， 说明身高,x,每增加一个单位,体重,y,就增加,0.849,个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系,.,如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢,?,、当 时，,x,与,y,为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。,、当 时，表示,x,与,y,存在着一定的线性相关，,r,的绝对值越大，越接近于,1,，表示,x,与,y,直线相关程度越高，反之越低。,3.,性质：,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，,R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，,R,2,表示解释变量对预报变量变化的贡献率,。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，表,示解释,变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较,R,2,的值来做出选择，即,选取,R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总计,0.36,128.361,随机误差,(e),0.64,225.639,解释变量,(,身高,),比例,平方和,来源,表,1-3,从表,3-1,中可以看出，解释变量对总效应约贡献了,64%,，即,R,2,0.64,，可以叙述为“身高解析了,64%,的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的,36%,。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数,据,，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表,1-4,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,使用公式 计算残差,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；,对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1,、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2,、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3,、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4,、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（,1,）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（,2,）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（,3,）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程,y=bx+a,）,.,（,4,）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（,5,）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,练,:,某种产品的广告费支出,x,与销售额,y,之间有如表所示数据,:,零件数,X,2,4,5,6,8,加工时间,y(,分钟,),30,40,60,50,70,(1),求,x,y,之间的相关系数,;,(2),求线性回归方程,;,
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