5.4极值与最值2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,2、最大值与最小值,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点 偏导数不存在的点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在, 且,只有一个,极值点,P,为极小值,为最小值,(大),(大),依据,1,例,4.,解:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,2,例,5.,有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解:,设折起来的边长为,x,cm,则断面面积,x,24,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,3,令,解得:,由题意知,最大值在定义域,D,内达到,而在域,D,内只有,一个驻点,故此点即为所求.,4,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系,y,f,(,x,) .,需要解决两个问题,:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,3.最小二乘法,5,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数,f,(,x,) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过,偏差平方和最小,求该曲线的方,法称为,最小二乘法,找出的函数关系称为,经验公式 ., 它们大体,6,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定,a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组,即得,a,b,称为法方程组,(注意其特点),7,4、最优化的产出水平,某工厂生产两种产品，产量分别是,两者是不,相关的，但其成本与生产技术是相关的，假设两种,产品的总成本C与其产量的函数关系为,总收益,问如何确定每种产品的产量以,使厂商获得最大的利润？,8,厂商的利润函数显然是,因此，问题归结为求L的最大值，由极值的必要,条件可得,9,为获得最大利润即要满足,10,其中,分别是两种产品的单价，为使利润最大，,试确定两产品的产出水平。,解,总收益函数为,例4.6,工厂生产两种产品,产量分别是,总成本是,两种产品的需求函数分别是,11,利润函数为,将,代入可得 L=169995,由,可得,12,4.3 条件极值、Lagrange乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,转化,13,方法2 拉格朗日乘数法.,分析：,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极,故极值点必满足,记,例如,值问题,故有,14,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法.,15,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如,求函数,下的极值.,在条件,16,例6.,要设计一个容量为,则问题为求,x,y,令,解方程组,解:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,17,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示:,利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,最省,18,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,19,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,20,已知平面上两定点,A,( 1 , 3 ),B,( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点,C, 使,ABC,面积,S,最大.,解答提示,:,设,C,点坐标为 (,x,y,),思考与练习,则,21,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点,C,与,E,重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点,动画开始或暂停,22,注,备用题,1.,求半径为,R,的圆的内接三角形中面积最大者,.,解:,设内接三角形各边所对的圆心角为,x, y, z,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,注,则,23,注,因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者.,若,ABC,位于半圆内(如图) ,则其,BC,边上的高,小于,A,1,BC,同边上,的高,故前者的面积小于后者，,24,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案,:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2.,求平面上以,25,3.,设某电视机厂生产一台电视机的成本为,c, 每台电,电视机的销售价格为,p, 销售量为,x,假设该厂的生产处于,平衡状态, 即生产量等于销售量.,根据市场预测,x,与,p,满,足关系:,其中,M,是最大市场需求量,a,是价格系数.,又据对生产环节,的分析, 预测每台电视机的生产成本满足:,其中,c,0,是生产一台电视机的成本,k,是规模系数.,问应如何,确定每台电视机的售价,p, 才能使该厂获得最大利润？,解:,生产,x,台获得利润,问题化为在条件,下求,的最大值点.,26,作拉格朗日函数,令,将代入得,由得,将以上结果及,代入, 得,解得,因问题本身最优价格必定存在, 故此,p,*,即为所求.,27,