离散时间系统的时域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 离散时间系统的时域分析,7.1,采样信号和采样定理,一、采样信号及其频谱,所谓采样就是让连续信号通过一抽样器,(,开关,),，使抽样器的输出是原连续信号某些离散点上的值，用一简化的示意图描述如下：,其数学描述为：,因为,其中,所以,理想,(,冲激,),抽样信号频谱,理想,(,冲激,),抽样信号,采样间隔,采样角频率,理想抽样信号的频谱,是,被采样信号频谱,的,周期延拓,，,周期大小为抽样角频率,，,在纵轴上压缩为原来的,1/T,倍，其最大特点是,周期性,。,二、采样定理, 开关函数为矩形脉冲序列的抽样叫矩形脉冲抽样，也叫,自然抽样,；开关函数为冲激序列的抽样叫,冲激抽样,。,均匀抽样定理,：一个在频谱中不包含有大于频率 的分量的有限带宽的信号，由对该信号以不大于 的时间间隔进行抽样的抽样值唯一地确定。当这样的抽样信号通过其截至频率,满足条件,的理想低通滤波器后，可以将原信号完全重建，这个定理也称为香农抽样定理。,采样定理可归结为：,1,、被采样信号应是带限信号，其最高频率为,2,、,实际中， 取,预处理器,A/D,离散系统,低通滤波器,7.2,离散时间系统的描述和模拟,一、离散时间信号和离散时间系统,离散时间信号是一个数值序列，数值序列的序号决定了每时刻的信号在序列中的位置，因此离散信号通常简单表示为：,序列的运算为,：,同序号的数值逐项对应相加减,同序号的数值逐项对应相乘,或,其中 表示序号，,离散时间信号能量定义为,：,原序列 逐项依次延时,j,位,原序列 逐项依次向前移,j,位,常见的,离散时间信号,：,1.,单位脉冲信号（单位样值信号）,2.,单位阶跃序列,3.,指数序列,收敛；,发散。,4.,矩形序列,5.,正弦序列,离散时间系统,：,通常表示为,离散系统,线性移不变离散时间系统：,1.,线性：,2.,移不变性：,综合,:,若,则,若,则,二、离散时间系统的数学模型,线性时不变离散时间系统特性的数学模型,常系数的线性差分方程,向后差分,:,向前差分,:,一次差分,:,二次差分,:,一次差分,:,二次差分,:,经整理得,例：空运控制系统，,计算机计算每秒钟飞机应有高度,雷达实测飞机每秒钟的实际高度,差值,设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即,则从第 秒到第 秒一秒钟内飞机上升的高度为,离散系统的,阶数,等于方程中响应的,最高序号,与,最低序号的差,。,归纳前述例题,可得 阶离散时间系统的向前差分方程为,:,7.3,离散时间系统的零输入响应,求解离散时间系统时，把总响应分成,零输入分量,和,零状态分量,两部分,。,求解常系数线性差分方程的方法有以下几种：,1.,递推法,：,该方法只能求得数值解,，,很难找出封闭表达式；,2.,时域经典法,：,与微分方程的时域经典法相似，先分别求出齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数；,3.,分别求零输入响应和零状态响应；,4.,变换域法（,Z,变换法）：,类似于连续系统的拉氏变换法。,与,连续系统分析相似，,零输入响应,是,齐次差分方程,的解，即,其解的,形式与齐次差分方程的,特征根,有关。,特征方程,：,特征根：,即特征方程的根，也叫系统的,自然频率,。,1,）特征根为单根的情况,即,特征方程可以表为：,则系统的零输入响应为：,其中,由系统的 个初始条件确定的待定系数,。,2,）特征根有重根的情况,即,特征方程可以表为：,是,特征方程的 阶重根。,则,系统的零输入响应,为,同样，常数由系统的初始条件确定。,例,：求一阶系统的 零输入响应。,解：,系统的特征方程为：,特征根为：,所以，零输入响应为：,利用初始条件 可得：,的变化模式取决于 的值，如下所示：,例,：有一离散系统，用下列差分方程描述,解,：该系统的齐次方程为,特征方程,为,特征根,为,所以,零输入响应,为,代入,初始条件,：,系统的初始条件为,，,求零输入响应。,解得,7.4,离散时间系统的零状态响应,一、,用卷积和求解离散时间系统的零状态响应,设 作用系统时，系统的零状态响应为 ，称为,单位函数响应,。,基本思想：,与连续系统相似，将激励信号分解为单元信号和的形式，先求单元信号的响应，再叠加，即可求出任意信号作用到系统中的响应,离散系统中采用的,单元信号是单位函数,上式称为,卷积和,，它表示系统的零状态响应与激励及单位函数响应之间的关系，记为,卷积性质,：,1.,满足,交换律、结合律和分配律,；,2.,任意一信号与 的卷积仍为,本身,，即,3.,卷积和的几何含义为,翻转、平移、相乘、求和,。,则,通常,当信号均为有始信号时，结果为式（,B,）,（B）,例,：,例,：已知如下两序列,计算卷积和也可用,序列阵表格,计算,求它们的卷积和,解,：,求卷积和还可通过查表得到。,就是斜线上的数值迭加，即,二、单位响应函数的时域求法,单位函数响应信号随时间的变化模式与系统零输入响应的模式完全相同，不同之处就是需要将 的作用转换为 的初始值，从而求出,例：,则,所以,解得,特征根为,系统的单位函数响应为：,代入上面求得的初始条件：,所以,例,：一离散时间系统用以下差分方程描写,求此系统的单位函数响应。,解,：由题可知,特征方程为,特征根为,代入初始条件：,解得,例,：一离散时间系统的转移算子为,此系统的初始条件是,，,当系统输入,为单位阶跃序列 时，试求系统的响应。,解,：,先求系统的零输入响应,由系统的转移算子知系统的特征根为,求系统的单位函数响应信号,由转移算子知,由此式求得,由初始条件得,代入初始条件求得,求零状态响应,求全响应,在第八章中可以看到，系统的单位函数响应信号是系统转移函数的,Z,反变换。,本章小结：,1.,基本概念：采样信号、采样定理、离散时间信号、离散时间系统、差分方程、特征方程、特征根、单位函数响应信号、卷积和；,2.,基本运算：采样定理的应用、采样信号的频谱、系统的零输入响应、单位函数响应信号的求解、系统的零状态响应、离散时间系统的描述和模拟。,