拉普拉斯变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,、可一次求出全响应；,2,、可将微积分运算转换成乘除法运算；,3,、可将复杂的函数转换为简单的初等函数；,4,、可将卷积运算转换为乘积运算。,同时可以引出系统的一个重要概念：系统函数。它是描述系统特性的重要概念,拉普拉斯变换分析法的优点：,若信号本身不满足绝对可积条件，其付立叶变换就不存在。,为使信号收敛，用一叫做收敛因子的指数函数,去乘,且,，,就,双向收敛,只要,5.2,拉普拉斯变换,F,则,反变换：,称为复变量,称上式为信号,双边,拉普拉斯变换,的定义式,其中,，则,，或,上式称为,拉普拉斯反变换,定义式。记为：,正变换,反变换,单边拉普拉斯变换,正变换,反变换,可用以下简单符号表示：,拉普拉斯变换也叫,广义傅立叶变换,。通常,称为,的,象函数,，而,称为,的,原函数,。,积分下限取,工程中常遇到的信号是有始信号，今后讨论以,单边拉普拉斯变换,为主。,平面,，也叫,复平面,对应不同复变量复指数信号,的变化模式。,也称复变量,为,复频率。,5.3,拉普拉斯变换的收敛域,只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换才,存在,，即,F(s),才有意义，否则信号的拉氏变换,不存在,。,信号,与收敛因子,相乘是否收敛，,取决于两个因素：,1,、信号本身的收敛性；,2,、收敛因子中的取值，即复变量,s,实部的取值。,我们把使 满足绝对可积的,的取值范围,叫做信号 的拉普拉斯变换的,收敛域。,对单边拉氏变换，信号 满足绝对可积的条件是,：,根据信号 本身的特性，总可以找到一个,值,当,时，上式成立。因此单边拉氏变换的,收敛域,为：,收敛域的图示表示,收敛轴,收敛坐标,收敛域,S,平面,还要说明的是，凡是可以通过与指数收敛因子相乘而达到收敛的函数，通常都称为,指数阶函数,。,电子技术中实际遇到的有始信号大都是指数阶信号且分段连续，,因此这些信号的拉氏变换都存在，,所不同的仅仅是收敛域的不同,。至于双边拉氏变换的收敛域问题，可类推得到。,拉氏变换是广义的付立叶变换，因此当信号,绝对可积,时，即其拉氏变换的收敛域,包含虚轴,时，信号的傅氏变换与拉氏变换有如下简单的,互换关系,：,5.4,常见函数的拉普拉斯变换,当信号,不绝对可积,时，信号的,傅氏变换不存在,，拉氏变换需根据,定义式求解,。,以下讨论工程上常见的两类信号：,t,的指数函数，,t,的正冪函数,，许多函数可由这两类函数派生得出。,收敛域,则,即,1,、,单位阶跃信号,一、 的指数函数,2,、正弦信号,3,、余弦信号,4,、衰减正弦信号,5,、衰减余弦信号,7,、双曲余弦信号,6,、双曲正弦信号,二、,t,的正冪函数,由定义：,即：,收敛域为整个,s,平面。,利用上述结果有,:,三、冲激函数,该方法适合于象函数为有理函数的情况，即：,5.5,拉普拉斯反变换,一、部分分式展开法（海维塞展开法）,其中 均为常数， 和 为正整数。,1,、 的根,无重根,的情况,假设 的根为,，,因无重根,则,其中,为待定系数。,利用,罗贝塔法则,得到另一公式：,上式两边同乘因子 ，并令 即可求出,。,展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即,这里是单边拉氏变换,。,例：,求,的原函数。,解：,先化为,真分式,其中,将,F,1,(s),展开成,部分分式和,的形式,：,例：,求,的原函数。,解：,此象函数分母多项式的根是,一对共轭复根,，可象前例按单根的情况处理，此外还可根据,常见拉氏变换对,求其原函数。,2,、,有重根,的情况,假设 是 的,阶重根，其余为单根，即 可分解为,:,此时，像函数的部分分式展开式为：,待定系数 的求法同前，,系数 的求法如下：,显然：,上式两边同乘 得：,上式两边对,求一次导数有：,其余系数的求解 公式为,:,系数确定之后，利用如下变换关系，就可以求出原函数：,可求得：,例：,求,的原函数。,解：,的根为,（,二阶）,其中：,即：,例：,求,的原函数。,解：,此题可以简单的展开为：,二、,围线积分法,（留数法）,而,拉氏反变换,为：,与,留数定理,比较，一个是,广义积分，一个是围线积分。为利用留数定理，补一条弧线，与其构成闭合曲线，如图示：,复变函数理论中的,留数定理,为：,只要,就可以应用留数定理，条件：满足,约当辅助定理,，即,1,、 时， 对于 一致地趋于,0,；,2,、因子 的指数部分 的实部 应小于 ，即,假设已满足,约当辅助定理，,这样,为单阶极点时：,为,p,阶重极点时：,例：,用留数法求,的原函数。,解：,的根为：,（,二阶）,则,由上述分析可以看出，一个象函数的原函数随时间的变化模式完全取决于 的根，即,象函数 分母多项式等于,0,的根,。,称：,使,的,值为象函数 的,极点,，记为“ ”,使,的 值为象函数 的,零点,，记为“ ”,将极点、,零点绘到,s,平面上，所得到的图叫象函数,F(s),的零、极点分布图,，或简称为,极零图,。,极点：,（,二阶）,零点,：,象函数 的极点在 平面中的位置与原函数的时间模式的关系：,1,、,负实轴上的,单阶极点,对应,衰减指数信号,；,二阶极点,对应,；,三阶极点,对应,，,；,总收敛,；,2,、左半,平面内的共轭复极点，单阶对应,或,，,也收敛,；,3,、虚轴上的共轭复极点，单阶对应等幅正弦振荡信号 或,，,重阶对应增幅振荡信号 等，,发散,；,4,、,右半,s,平面的任一极点，无论是单阶还是重阶，均对应,发散,的时间模式。,零点对时间模式无影响,。,5.6,拉普拉斯变换的基本性质,一、,线性,若,则,二、,尺度变换,若,则,其中,三、,时间平移,若,则,其中,，,为常量。,需要说明的是这里的,严格讲应该是,即：,有始周期信号的拉氏变换：,有始周期信号：,则,呈周期特性,有始周期信号拉氏变换的,收敛域为,F,1,(s),的收敛域与,0,的公共部分。,其,拉氏变换,为：,四、,s,域平移,若,则,例如,：,则,五、,时域微分,若,则,例：,求,导数的拉氏变换。,解,：,1,、,用,0,系统,直接,求拉氏变换为：,利用,性质,求解：,2,、,用,0,系统,直接,求拉氏变换为,:,利用,性质,求：,六、,时域积分,若,则,七、,复频域微分与积分,若,则,八、,对参变量的微分与积分,若,则,九、,初值定理,设函数 及其导数,存在，并有拉普拉斯变换，则 的,初值,为：,若,f(t),在 处有冲激及其导数,此时初值定理为：,十一、,卷积定理,若,十、,终值定理,则,设函数 及其导数,存在，并有拉普拉斯变换，并且 的极点均在 平面的左半平面（包括原点处的单阶极点），则 的,终值,为：,5.7,线性系统的拉普拉斯变换分析法,一、积分微分方程的拉普拉斯变换,例,：电路如图示，,电路参数为,：,求,响应电流,i,1,(t),。,解,：列两个回路电压方程为：,已知,初始条件：,方向如图示,，,对上面方程进行拉氏变换得,：,或,代入参数：,运用,行列式,可求得响应信号的象函数为：,则响应信号为,：,首先求单个复指数信号单独作用到系统中的响应。,则,若是,因果系统,，则有：,其中,叫做线性系统的,系统函数,，或转移函数、传递函数等。,二、从信号分解的角度看拉普拉斯变换,1,、零状态响应,设,由,拉氏反变换,定义知，任意信号可分解为无穷多个,复指数信号和,的形式，即,说明,由此可得出拉氏变换法求系统零状态响应的步骤为：,1,）求,2,）求系统函数,3,）求,4,）求,网络的,s,域模型：,系统函数的求解方法：,1,）,2,）从网络结构中求解,S,域模型满足欧姆定律，因此可以直接根据网络结构利用欧姆定律求出,系统函数,且,对微分方程拉氏变换,后得：,求,，,即求激励信号为单位冲激信号时，零状态响应的拉氏变换,，,3,）从系统的微分方程直接列写系统函数,以,二阶系统,为例。,阶,系统：,例,：电路如图示。,元件参数：,求：,零状态响应,已知,解：,单独作用：,代入参数得,：,则,单独作用：,则,最后,两个激励信号同时作用的响应,为：,1,）,等效激励源法,或,2,、零输入响应,或,由上可见，电容、电感中的,初始储能,，均可等效为,阶跃电压源,、,阶跃电流源、冲激电压源或冲激电流源,，再利用求零状态响应的方法就可求出在这些等效激励源作用下的响应，从而求出,零输入响应,。,例：,（前例）电路如图示，,初始条件,：,方向如图示，,解,：,先求零状态响应，,电路参数为：,已知,求响应电流,再求,零输入响应,，首先将电容两端的初始电压,等效为阶跃电压源,位置、方向均与,外加激励相同，所以产生的响应为,电感中的初始电流,等效为冲激电压源,零输入响应：,全响应,:,例：,电路如图示,，,初始条件,方向如图示，,电路参数为：,设开关,S,在 时闭合，,求通过,电容,C,1,的响应电流,。,解,：将电容两端的初始电压,等效为激励源,例,：已知激励,初始条件,系统的,转移函数,为,：,由系统的转移函数知系统的,特征根,为：,2,）,冲激响应不变法,初始条件均可等效为,冲激源,，因此,零输入响应的变化模式应与冲激响应相同,，而,冲激响应的模式又取决于系统函数的极点,，因此,零输入相应的模式也取决于系统函数的极点，,所以只要确定了系统函数的极点，就可确定零输入响应的模式，该方法叫,冲激响应不变法,求,系统的,响应信号,，,并标出,受迫分量,与,自然分量,，,瞬态分量,与,稳态分量,。,解：,1,）求零输入响应,代入初始条件：,解得：,3),全响应,受迫分量,自然分量,瞬态分量,稳态分量为,0,2,）求零状态响应,5.8,线性系统的模拟,线性系统,模拟,的三种基本运算单元：加法器、乘法器、积分器,加法器,：,乘法器,：,积分器,：,初始条件,不为,0,时的积分器,：,一、直接型模拟框图,一阶系统：,或,二阶系统：,或,n,阶系统,：,或,系统微分方程中,包含激励的导数项,的情况：,例如，二阶系统：,这样将一个方程转换为两个方程，然后在一张图上将两个方程同时作出来。,此时引进一个,辅助函数,，,并令其满足方程,则利用,方程两边平衡的原则,，一定有：,同理可以作出,n,阶系统的模拟框图,。,二、,并联型模拟框图与串联型模拟框图,当系统的阶数比较高时，往往以若干低阶系统的串联或并联实现，例如下面的二阶系统：,其中,说明一个二阶系统可以由两个一阶系统的,并联,实现，而每一个一阶系统都可以用,三种基本运算单元,进行模拟：,并联型模拟框图,此结论可推广到,n,阶系统。同理还可得出串联型模拟框图。,其中,系统函数可以写成,两个子系统函数的乘积,，反映在结构上是,串联,各种模拟方式的,特点,：,直接型：,不易控制系统的零极点，高阶系统容易,产生不稳定。,并联型：,能控制系统的极点，不能控制零点，各,子系统间不易干扰。,串联型：,能控制系统的零极点，前级系统的误差,对后级系统有影响。,此结论可推广到高阶系统。,5.9,连续时间系统的系统函数,零状态响应的拉氏变换,激励信号的拉氏变换,激励信号、响应信号可以是电流，也可以是电压，,系统函数有不同的量纲。,系统函数,/,转移函数,/,传递函数,定义如下,1.,策动点函数,（输入函数）：激励和响应在同一个端口,两者互为,倒数,关系。,输入阻抗,：,输入导纳,：,电流传输函数,2.,传输函数（激励与响应不在同一端口时）,电压传输函数,3.,转移函数（激励与响应不在同一端口时）,转移阻抗函数,转移导纳函数,从系统综合角度,从分析系统的角度,从时域描述系统特性,从频域描述系统特性,从复频域描述系统特性,实系统的,系统函数,一般形式是一个,有理分式,，即,系统函数三种表示方法：,频率特性曲线,、,复轨迹,和,极点零点分布图,。,一 系统函数的表示法,1.,频率特性,（即系统的频率响应特性）,例如,：,则,所以,0,从曲线上，可一目了然地看出,系统的频率特性。,在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件就是滤波网络，而滤波网络的研究就需要从它的频响特性入手分析。,有时，频响特性曲线是在对数尺度的坐标轴中作出，称这种图为,波特图,。,所谓,“,系统频响,”,是指系统在正弦信号激励之下，稳态响应随信号频率的变化情况。,系统函数可以表示成有理函数的形式，即,2.,极点、零点图,(Pole-Zero Plot ),显然,极点,零点,例如：,极点：,零点：,系统函数的零极点分布图,0,S,平面,二 系统函数的极零点分布及稳定,1,系统函数极零点分布及其时域模型,若,说明,在,无穷大处有一,阶,零点,；,说明,在,无穷大处有一,阶,极点,；,有限,s,平面的零极点：共轭特性,无穷远处零极点：,若,因为,所以，,系统函数的极点在,S,平面中的位置,就决定了其时域模式：,三、系统的稳定及其条件,1.,从时域看,说明系统稳定，,其中 为有限值,稳定系统：对于有界的激励信号产生有界的响应信号；,(Stable Systems),不稳定系统,：对于,有界的激励信号产生无限增长的响,应信号。,(Unstable Systems),除个别孤立的冲激函数外，单位冲激响应都应是,有限的,，即,M,是有限的正实数,结论：,系统的单位冲激响应信号必须满足,绝对可积,的条件，这不但是系统稳定的,充分条件,，也是系统稳定的,必要条件,。,（A）,满足这种条件的稳定系统称为,渐近稳定系统。,2.,从复频域看,系统稳定，,h(t,),满足绝对可积条件，意味着,H(jw,),存在，也意味着,H(s,),的收敛于包含虚轴，无论因果、非因果。,因果系统稳定要求,H(S),的零、极点分布,必须满足,：, 在右半平面不能有极点；,若,说明,在,无穷大处有一,阶,零点,；,说明,在,无穷大处有一,阶,极点,；,由,前面分析知, 在虚轴上的极点必须是单阶的。,(,对应临界稳定系统,),若,反馈系统,输出或部分输出反过来馈送至输入，从而引起输出本身变化的系统。,简化的反馈系统的方框图如下：,四、反馈系统,(Linear Feedback Systems),称为,开环增益,(Opened-loop System Function),整个系统的系统函数称为,闭环系统函数,，由框图得,Closed-loop System Function,五、系统函数的极点、零点与系统频响特性的,关系,系统函数：,频率响应：,所以,幅频特性,相频特性,该网络的幅频特性为一常数，说明网络对各种频率的信号一视同仁地传输，所以称为全通，而相频特性不同的零极点分布有所不同，这种网络通常用作,相位校正。,由系统函数的极零点分布情况可定义出以下几种网络：,全通网络,(All-Pass Systems),：,系统函数的极点与零点关于虚轴对称，这种网络的系统函数称为,全通函数,。,0,最小相移函数,：系统函数的极点与零点均在,S,平面的左半平面，相应的网络称为最小相移网络。顾名思义，所谓最小相移网络是指网络产生的,相移最小,。,非最小相移函数,：,S,平面的右半平面有零点。,最小相移网络,非最小相移网络,本章小结：,基本概念,拉普拉斯变换，复频率，收敛域，极零图，系统函数，等效激励源，模拟框图，系统函数的零极点分布图，稳定系统，最小相移系统，全通网络。,基本运算,拉氏变换的求解，拉氏反变换的求解，常见信号的拉氏变换，拉氏变换的性质，连续时间系统的复频域分析，连续时间系统的三种模拟框图，系统稳定性判断。,