大学物理-第三章课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,转动,（,rotation,）,：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。,3,刚体的一般运动,质心的平动,绕质心的转动,+,三 刚体定轴转动的角速度和角加速度,转动平面,角位移,角坐标,q,规定,逆时针转动,顺时针转动,角速度矢量,方向：右,螺旋,参考方向,角加速度,1,）,每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；,2,）,任一质点运动 均相同，但 不同；,3,）,运动描述仅需一个坐标。,定轴转动的特点,刚体,定轴,转动（一维转动）的转向可用角速度的正负来表示。,3.2,转动动能 转动惯量,一 转动动能,M,刚体的动能：,r,i,任一小质元动能：,质量连续分布：,I,转动惯量,（,rotational inertia,）,转动惯量的计算,1,计算公式,质量不连续分布,质量连续分布,线分布,m,/,l,面分布,m,/,S,体分布,m,/,V,2,决定,I,的三要素,:,(1),总质量,(2),质量分布,(3),转轴的位置,O,O,解,设棒的线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处的质量元,例1,一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,.,O,O,如转轴过端点垂直于棒,例,2,圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例,3,圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,d,l,O,m,R,O,m,r,d,r,R,3,平行轴公式,P,质量为,m,的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为,，,则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,C,O,圆盘对,P,轴的转动惯量,：,O,均匀细棒的转动惯量,4,(,薄板,),垂直轴公式,M,L,求对圆盘的一直径的转动惯量,已知,y,x,z,圆盘,R,C,m,x,y,轴在薄板内；,z,轴垂直薄板。,z,x,y,A,m,l,m,R,系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过,A,点的轴转动时的转动惯量。,课后思考,下图中的,J,如何求？,z,l,D,m,C,a,a,z,m,3.3,力矩 转动定律,P,*,O,:,力臂,刚体绕,O z,轴旋转,力,作用在刚体上点,P,且在转动平面内,为由点,O,到力的作用点,P,的径矢,.,对转轴,Z,的力矩,一 力矩,(moment of force),O,1,）,若力,不在转动平面内,，,把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,2,）合,力矩等于各分力矩的,矢量和（定轴转动为代数和）,其中,对转轴的力,矩为零，故,对转轴的力矩,说明,力是连续分布的：,x,L,O,M,y,例,已知棒长,L,质量,M,，在摩擦系数为,的桌面转动,(,如图,),解,根据力矩,x,d,x,T,T,例如,T,T,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对,y,轴的力矩,3,）,刚体内作用力和,反,作用力的力矩互相,抵消,O,O,二 转动定律,2,）,刚体,质量元受,外,力,，,内,力,1,）,单个质点,与转轴刚性连接,外,力矩,内,力矩,O,刚体定轴转动的角加速度与它所受的,合外力矩,成正比，与刚体的,转动惯量,成反比,.,转动定律,O,I,的物理,意义,：转动惯性的量度,.,与牛二定律相比，有,：,M,相应,F,，,I,相应,m,，,相应,a,(1),飞轮的角加速度,(2),如以重量,P,=98 N,的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解,(1),(2),两者区别,例,4,求,一轻绳绕在半径,r,=20 cm,的飞轮边缘,，,在绳端施以,F,=98 N,的拉力,，,飞轮的转动惯量,I,=0.5 kgm,2,，,飞轮与转轴间的摩擦不计,，,(,见图,),例,5,质量为,的物体,A,静止在光滑水平面上,，,和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为,R,、,质量为,的圆柱形滑轮,C,，,并系在另一质量为,的物体,B,上,.,滑轮与绳索间没有滑动,，,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,.,（,1,）,两物体的加速度为多少,？,水平和竖直两段绳索的张力各为多少,？（,2,）,物体,B,从,再求线加速度及绳的张力,.,静止落下距离,时,，,其速率是多少,？（,3,）,若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略,，,并设它们间的摩擦力矩为,A,B,C,A,B,C,O,O,解,（,1,）,隔离物体分别对物体,A,、,B,及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程,.,如令 ，可得,（,2,）,B,由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,A,B,C,（,3,）,考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩,，,转动定律,结合（,1,）中其它方程,圆盘以,0,在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例,6,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,R,例,7,一长为,质量为,匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动,.,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动,.,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,.,解,细杆受重力和,铰链对细杆的约束力,作用，由转动定律得,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分 得,3.4,力矩的功 转动动能定理,力矩的功,一 力矩的功,力的空间累积效应,力的功,动能,动能定理,.,力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理,.,力矩的功率：,(2),力矩的功就是力的功,(3),内力矩作功之和为零,说明,(1),合力矩的功,二 转动动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,.,刚体重力势能：,质心位置,刚体的机械能：,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,例,1,一根长为,l,，,质量为,m,的均匀细直棒,，,可绕轴,O,在竖直平,面内转动,，,初始时它在水平位置,解,由转动动能定理,求 它由此下摆,角时的,此题也可用机械能守恒定律方便求解,O,l,m,C,x,R,h,m,m,m,和,、,分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度,.,例,2,一质量为,、,半径为,R,的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动,.,圆盘上绕有轻绳,，,一端挂质量为,m,的物体,.,问物体在静止下落高度,h,时,，,其速度的大小为多少,?,设绳的质量忽略不计,.,解,拉力,对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力,的力矩所作的功为,m,物体由静止开始下落,解得,并考虑到圆盘的转动惯量,由质点动能定理,m,3.5,角动量 角动量守恒定律,力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理,.,力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,.,一 质点的角动量,（,angular momentum of a particle,）,角动量是质点运动中的一个重要的物理量，,在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。,L,m,O,p,r,质点,m,对惯性系中的固,定点,O,的,角动量,定义为：,单位：,kg m,2,/s,大小：,方向：,决定的平面（右螺旋）,动量矩,L,r,v,m,O,质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为,:,方向,圆面,不变。,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固,定点的不同而改变。,例如：,方向变化,方向竖直向上不变,O,l,O,锥摆,m,作用于质点的合力对,参考点,O,的力矩 ，等于质点对该点,O,的,角动量,随时间的,变化率,.,二 质点的角动量定理,质点角动量定理（微分形式）,质点角动量定理（积分形式）,称,冲量矩（角冲量），用,H,表示,力矩对时间的积累作用。,质点的角动量定理： 对同一参考点,O,，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,.,质点系角动量定理,锥摆的角动量,对,O,点,：,合力矩不为零，角动量变化。,对,O,点,：,合力矩为零，角动量大小、方向都不变。,（合力不为零，动量改变！）,O,l,O,锥摆,m,三 质点角动量守恒定律,角动量守恒定律,（,Law of Conservation of Angular Momentum,）,(,2),通常对有心力：,例如 由角动量守恒可导出行星运动的开普勒第二定律,(,1),角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观体系，也适用微观体系，且在高速低速范围均适用,说明,m,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过,O,点,M=,0,角动量守恒,例,1,一半径为,R,的光滑圆环置于竖直平面内,.,一质量为,m,的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,.,小球开始时静止于圆环上的点,A,(,该点在通过环心,O,的水平面上,),然后从,A,点开始下滑,.,设小球与圆环间的摩擦略去不计,.,求小球滑到点,B,时对环心,O,的角动量和角速度,.,解,小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由题设条件积分上式,当飞船静止于空间距行星中心,4,R,时，以速度,v,0,发射一,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例,2,发射一宇宙飞船去考察一质量为,M,、半径为,R,的行星，,质量为,m,的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,求,角及着陆滑行的初速度多大？,1,刚体定轴转动的角动量,2,刚体定轴转动的角动量定理,非刚体定轴转动的角动量定理,O,四 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,.,内力矩不改变系统的角动量,.,守恒条件,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变,.,刚体定轴转动的角动量定理,3,刚体定轴转动的角动量守恒定律,，,则,若,在,冲击,等问题中,常量,说明,有许多现象都可以用角动量守恒来说明,.,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律,能量守恒定律,角动量守恒定律,电荷守恒定律,质量守恒定律,花样滑冰,跳水运动员跳水,思考,:,温室效应对地球自转的影响,猫的下落,（,A,）,猫的下落,（,B,）,观察表明，猫从高处掉下，受伤程度随高度增加而减少，据报导，有猫从,32,层楼掉下，也仅有胸腔和一颗牙齿有轻微损伤。为什么？,猫下落时，身体无转动，总角动量为零。尾巴一甩而具有角动量，据,角动量守恒,，身体须反转，产生反向角动量。另外猫很灵活，它在甩尾时能调节身体各部位，使身体快速转动，这样，四肢朝下先着地，不会伤害身体其它部位。,圆锥摆,子弹击入杆,以子弹和杆为系统,机械能,不,守恒,.,角动量守恒,；,动量,不,守恒,；,以子弹和沙袋为系统,动量守恒；,角动量守恒；,机械能,不,守恒,.,圆锥摆系统,动量,不,守恒,；,角动量守恒,；,机械能守恒,.,子弹击入沙袋,细绳质量不计,思考,例,3,一长为,l,质量为,的竿可绕支点,O,自由转动,.,一质量为,、,速率为,的子弹射入竿内距支点为 处,，,使竿的偏转角为,30,.,问子弹的初速率为多少,?,解,把子弹和竿看作一个系统，子弹 射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和,地球为系统 ，机械能守恒,.,m,(,黏土块,),y,x,h,P,O,M,光滑轴,均质圆盘,（,水平,）,R,例,4,如图示,，,求：,碰撞后的瞬刻盘,P,转到,x,轴时盘,解：,m,下落,：,(1),m,P,h,v,对,（,m,+,盘），,碰撞中重力对,O,轴力矩可忽略，,(2),已知,：,h,，,R,，,M,=2,m,，,=60,系统角动量守恒：,(3),对,（,m,+,M,+,地球,）,系统,，,m,mg,O,M,R,令,P,、,x,重合时,E,P,= 0,，,则,：,(5),由,(3)(4)(5),得,：,由,(1)(2)(3),得,：,(4),只有重力作功,，,E,守恒,。,（,m,+,盘,）,角动量,例,5,：质量为,M,、半径为,R,的转台，可绕通过中心,的竖直轴转动。质量为,m,的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？,解：以,M,，,m,为研究对象,故角动量守恒,以地面为参照，建立轴的正方向如图,+,M,x,m,因人和台原来都静止故角动量,（2）,式,dt,积分：,+,M,x,m,若人和转台的角速度分别为,+,M,x,m,A,A,m,核心,：,物体的运动,物体,：,两个模型,质点;刚体,运动,：,How-运动学; Why-动力学,质点运动学：,r,(,r,(,t,),r,),v,a,（求导，积分）,圆周运动(,a,n,a,t,),；相对运动,刚体运动学：,(,(,t,),),力学小结,