5.3向量的坐标运算(第1课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版文本样式,第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,（第一课时）,1,考,点,搜,索,平面向量的基本定理及坐标运算,向量平行的充要条件,向量的坐标运算与函数,(,包括三角函数,),、解析几何的综合题,2,高,考,猜,想,这一部分是向量的核心内容，高考的一个重要命题点,.,选择题、填空题重在考查数量积的概念、运算律、性质，向量的平行与垂直、夹角与距离等；解答题重在考查与几何、三角函数、代数等结合的综合题,.,3,一、平面向量的坐标表示,在平面直角坐标系内，分别取与,x,轴、,y,轴正方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底，对任一向量,a,，有且只有一对实数,x,，,y,，使得,a=,xi+yj,，则实数对,(,x,，,y,),叫做向量,a,的直角坐标，记作,a,=(,x,，,y,).,其中,x,、,y,分别叫做,a,在,x,轴、,y,轴上的坐标，,a,=(,x,，,y,),叫做向量,a,的坐标表示,.,相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量,.,4,二、平面向量的坐标运算,1.,若,a,=(,x,1,，,y,1,),，,b,=(,x,2,，,y,2,),，则,a,b,=_;,2.,如果,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则,AB,=_;,3.,若,a,=(,x,，,y,),，则,a,=_;,4.,如果,a,=(,x,1,，,y,1,),，,b,=(,x,2,，,y,2,),，则,a,b,的充要条件是,_.,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),(,x,2,-,x,1,，,y,2,-,y,1,),(,x,y,),x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0,5,三、平面向量数量积的坐标表示,1.,若,a,=(,x,1,，,y,1,),，,b,=(,x,2,，,y,2,),，则,ab,=_;,2.,若,a,=(,x,，,y,),，则,|,a,|,2,=,aa,=_,，,|,a,|=_;,3.,若,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则,|,AB,|=_,；,4.,若,a,=(,x,1,，,y,1,),，,b,=(,x,2,，,y,2,),，则,a,b,_;,x,1,x,2,+,y,1,y,2,x,2,+,y,2,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,6,5.,若,a,=(,x,1,，,y,1,),，,b,=(,x,2,，,y,2,),，,a,与,b,的夹角为,，则,cos,=_.,7,1,.,对于,n,个向量,a,1,a,2,a,n,若存在,n,个不全为零的实数,k,1,k,2,，,k,n,使得,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,n,a,n,=0,成立，则称向量,a,1,a,2,a,n,是线性相关的,.,按此规定，能使向量,a,1,=(1,0),a,2,=(1,-1),a,3,=(2,2),是线性相关的实数,k,1,k,2,k,3,的值依次为,_.(,只需写出一组值即可,),解,：根据线性相关的定义得,k,1,(1,0)+,k,2,(1,-1)+,k,3,(2,2)=0,，则 令,k,3,=1,则,k,2,=2,，,k,1,=-4,，,所以,k,1,k,2,k,3,的一组值为,-4,2,1.,-4,2,1,8,2,.,已知平面向量,a,=(1,2),b,=(-2,m,),，且,a,b,，,则,2,a,+3,b,=( ),A. (-2,，,-4) B. (-3,，,-6),C. (-4,，,-8) D. (-5,，,-10),解,：由,a,b,，得,m,=-4,，,所以,2,a,+3,b,=(2,，,4),(-6,，,-12)=(-4,，,-8),，,故选,C.,C,9,3,.,已知平面向量,a,=(1,，,-3),，,b,=(4,，,-2),，,a+b,与,a,垂直，则,=( ),A. -1 B. 1,C. -2 D. 2,解,：由于,a+b,=(,+4,-3,-2),a,=(1,-3),且,(,a+b,),a,所以,(,+4)-3(-3,-2)=0,，即,10,+10=0,所以,=-1,，故选,A.,A,10,题型,1,向量的坐标,1.,设向量,a,=(1,，,-3),，,b,=(-2,，,4),，,c,=(-1,，,-2),，若表示向量,4,a,、,4,b,-2,c,、,2(,a-c,),、,d,的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量,d,的坐标,解,：根据题意，,4,a,+(4,b,-2,c,)+2(,a-c,)+,d,=0,，,即,6,a,+4,b,-4,c,+,d,=0,，,所以,d,=4,c,-6,a,-4,b,=4(-1,，,-2)-6(1,，,-3)-,4(-2,，,4)=(-2,，,-6).,11,点评：,坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可,.,12,点,P,在平面上作匀速直线运动，速度向量,v,=(4,，,-3)(,即点,P,的运动方向与,v,相同，且每秒移动的距离为,|,v,|,个单位长度,).,设开始时点,P,的坐标为,(-10,，,10),，则,5,秒后点,P,的坐标为,( ),A. (-2,，,4) B. (-30,，,25),C. (5,，,-10) D. (10,，,-5),解：,设点,A,(-10,，,10),，,5,秒后点,P,运动到,B,点，则,=5,v,，所以,=5,v,，所以,+5,v,=(-10,，,10)+5(4,，,-3)=(10,，,-5).,故选,D.,D,13,题型,2,向量的模,2.,已知向量,a,=(cos23,，,cos67),，,b,=(cos68,，,cos22),，求,|,a,+,tb,|(,t,R,),的最小值,.,解,：由已知得,a,=(cos23,，,sin23),，,b,=(sin22,，,cos22),，所以,|,a,|=|,b,|=1,，,ab,=sin22cos23+cos22sin23=sin45= .,所以,|,a+tb,|2,=(,a+tb,),2,=,a,2,+2,ta,b,+,t,2,b,2,所以当,t,=-,时，,|,a+tb,|,min,= .,14,点评,：坐标向量,a,=(,x,，,y,),的模 是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解,.,15,已知向量,m,=(,cos,，,sin,),和,n,=( -,sin,，,cos,),，,，,2,.,求,|,m+n,|,的最大值,.,解,：,m+n,=(,cos,-sin,+ ,cos,+sin,),因为,，,2,，所以 所以,cos,( )1,，所以,|,m+n,|,max,= .,16,已知,a,、,b,、,c,是同一平面内的三个向量，,其中,a,=(1,，,2).,(1),若,|,c,|=,，且,c,a,，求,c,的坐标,;,(2),若,|,b,|=,，且,a,+2,b,与,2,a,-,b,垂直,求,a,与,b,的夹角,.,解：,(1),设,c,=(,x,y,),，则,|,c,|=,又,c,a,，则,2,x,=,y,所以 或 所以,c,=(2,4),或,c,=(-2,-4).,题型,3,向量的平行与垂直,17,(2),因为,a,+2,b,与,2,a,-,b,垂直,所以,(,a,+2,b,)(2,a,-,b,)=2|,a,|,2,+3,ab,-2|,b,|,2,=0.,因为,|,b,|=,，,|,a,|=,，所以,ab,=-,所以,所以,a,与,b,的夹角,为,135.,点评：,两坐标向量的平行,(,或垂直,),的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据，注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆,.,18,设向量,m=a,+(,t,2,-,k,),b,，其中,k,0,，且为常数，,n,=-,sa+tb,，其中,s,、,t,是两个非零实数，若,m,n,(1),试将,s,表示成关于,t,的函数,s,=,f,(,t,);,(2),若,s=,f,(,t,),在区间,1,，,+),上是单调函数，,求,k,的取值范围,.,解：,(1),因为,m,n,，所以,mn,=0,，,即,a,+(,t,2,-,k,),b,(-,sa+tb,)=0.,所以,-,sa,2,+,t,(,t,2,-,k,),b,2,+,t-s,(,t,2,-,k,),ab,=0.,19,由题设知,|,a,|=|,b,|=1,，,ab,=0,，,所以,-,s,+,t,(,t,2,-,k,)=0,，即,s,=,t,3,-,kt,.,所以,s,=,f,(,t,)=,t,3,-,kt,(,t,0,，,k,0,，且,k,为常数,).,(2),若,f,(,t,),在区间,1,，,+),上是增函数，则当,t,1,时，,f,(,t,)=3,t,2,-,k,0,恒成立，即,k,3,t,2,恒成立,.,因为,3,t,2,3,，所以,k,3.,若,f,(,t,),在区间,1,，,+),上是减函数,.,则当,t,1,时，,f,(,t,)=3,t,2,-,k,0,恒成立,.,即,k,3,t,2,恒成立，这不可能,.,又,k,0,，所以,k,的取值范围是,(0,，,3,.,20,1.,建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理,.,因此，对所给向量应会根据条件在,x,轴和,y,轴进行分解，求出其坐标,.,2.,向量的坐标表示，实际是向量的代数表示,.,在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来,.,这样，很多几何问题就转化为我们熟知的数量的运算,.,21,3.,已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标,.,4.,本节易忽视点有二：一是将向量的终点坐标误认为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆，须正确区分,.,22,