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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质,第7课时 双曲线,【命题预测】,1本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率,e,的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题,2考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系,3在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮 点，主要考查：(1)将向量作为工具解答双曲线问题；(2)以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中,【应试对策】,1注意双曲线中一些基本量及其关系：,c,2,a,2,b,2,，,e,， ，两准线间的距离为 ，焦点到相应准线的距离为 ，焦点到一条渐近线的距离为,b,，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为 等，这些量及其关系不会因坐标轴选择而改变,2求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦点不确定，则应分类讨论如不清楚焦点的位置，可设方程为,ax,2,by,2,1(,ab,0)；若已知双曲线的渐近线方程,y,x,，则设双曲线方程为, ,(,0，且,为参数)，从而避免讨论和复杂的计算,3对双曲线定义的理解，应注意有关条件(2,a,1),渐近线,y,y,等轴双曲线,实轴和虚轴,的双曲线叫做等轴双曲线,准线方程,x,y,顶点,等长,探究：,双曲线的离心率的大小与双曲线,“,开口,”,大小有怎样的 关系？,提示：,离心率越大，双曲线的,“,开口,”,越大,1已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)、(4,0)，则双曲线,方程为_,解析：,由题知,c,4，且 2，,a,2，,b,2,c,2,a,2,12，,双,曲线方程为 1.,答案：, 1,且,PF,1,PF,2,1,3，则,F,1,PF,2,的周长等于_,解析：,本题考查双曲线的方程及定义等知识由题意，,a,3，,b,4，,c,5，根据题意，点,P,在靠近焦点,F,1,的那支上，且,PF,2,3,PF,1,，所,以由双曲线的定义，,PF,2,PF,1,2,PF,1,2,a,6，,PF,1,3，,PF,2,9，故,F,1,PF,2,的周长等于391022.,答案：,22,2设点,P,在双曲线 1上，若,F,1,、,F,2,为此双曲线的两个焦点，,3双曲线的渐近线方程为,y,x,，则双曲线的离心率为_,解析：,双曲线的渐近线方程为,y,x,，, 或 .,当 时， ，,e, ；当 时，, ，,e, .,答案：,4若双曲线 1的渐近线方程为,y, ，则双曲线的焦点坐标是,_,解析：,由双曲线方程得出其渐近线方程为,y, ，,m,3，求得双曲线方,程为： 1，,从而得到焦点坐标为( ，0)，( ，0),答案：,( ，0)，( ，0),5双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于_,解析：,2,c,4,，,c,2,4,a,2,.,e,2, 4，,e,2.,答案：,2,【例1】,在,MNG,中，已知,NG,4,.当动点,M,满足条件,sin,G,sin,N, sin,M,时，求动点,M,的轨迹方程,求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及,a,2,和,b,2,的值，其常用的方法是待定系数法,思路点拨：,建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sin,G,sin,N,sin,M,转化成边长之间的关系，并由此关系确定轨迹方程,解,：以,NG,所在的直线为,x,轴，以线段,NG,的垂直平分线为,y,轴建立直角坐标系sin,G,-sin,N,=,由正弦定理，得,MN,-,MG,=,由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)2,c,=4,2,a,=2，即,c,=2，,a,=1.,b,2,=,c,2,-,a,2,=3.动点,M,的轨迹方程为,x,2, =1(,x,0，且,y,0),变式1：,已,知定点,A,(3,0),和定圆,C,：(,x,3),2,y,2,16，,动圆和圆,C,相外,切，并且过点,A,，求动圆圆心,P,的轨迹方程,解：,设,P,的坐标为(,x,，,y,),圆,C,与圆,P,外切且过点,A,，,PC,PA,4.,AC,64，,点,P,的轨迹是以,C,、,A,为焦点，2,a,4的双曲线的右支,a,2，,c,3，,b,2,c,2,a,2,5.,1(,x,0)为动圆圆心,P,的轨迹方程,1双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的,“,六点,”,(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，,“,四线,”,(两条对称轴、两条渐近线)，,“,两形,”,(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系,时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线(2)求已知渐近线的双曲线的方程(3)渐近线的斜率与离心率的关系如,2在双曲线的性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同,【例2】,中,心在原点，焦点在,x,轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点,F,1,，,F,2,，,且,F,1,F,2,2,，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为,4，,离心率之比为,3,7.,(1,)求这两曲线的方程,；,(2),若,P,为这两曲线的一个交点，求,cos,F,1,PF,2,的值,思路点拨：,解：(1),由,已知,：,c,设椭圆长、短半轴长分别为,a,、,b,，,双曲线实半轴、虚半,轴长分别为,m,、,n,，,则,解得,a,7，,m,3.,b,6，,n,2.,椭圆方程为,双曲线方程为,(2),不妨设,F,1,，,F,2,分别为左，右焦点，,P,是第一象限的一个交点，,则,PF,1,PF,2,14，,PF,1,PF,2,6，,所以,PF,1,10，,PF,2,4.,又,F,1,F,2, ，,变式2：,已,知双曲线的左、右焦点分别为,F,1,、,F,2,，,离心率为且过点,(4， ),(1),求双曲线的标准方程；,(2,)直线,x,3,与双曲线交于,M,、,N,两点，求证：,F,1,M,F,2,M,.,解：,(1),e, ，则 2，,a,b,.故可设双曲线的方程为,x,2,y,2,(,0),由于双曲线过点(4， )，,4,2,( ),2,.,6.,双曲线方程为,x,2,y,2,6.,(2,),证明,：由,(1)可得,【,规律方法总结,】,1求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用和圆有关问题都是类似的,2当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时，要注意双曲线是两条曲线，点有可能在其中的一支上,3在已知双曲线上一点,P,与两个焦点,F,1,、,F,2,构成的,PF,1,F,2,中，|,PF,1,| |,PF,2,|2,a,，,F,1,F,2,2,c,，再给出一个条件时，焦点,PF,1,F,2,可解.,【,高考真题,】,【例3】 (2009湖南卷),已知以双曲线,C,的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线,C,的离心率为_,分析：,根据四边形的特征，寻找,a,，,c,之间的关系，注意双曲线中,a,，,b,，,c,的关系,规范解答,：设双曲线方程为,如右图所示，由于在双曲线中,c,b,，故在Rt,OF,1,B,2,中，只能是,OF,1,B,2=30，所以,所以 所以,a,=,答案：,本题考查双曲线的简单几何性质，在题目给出的四边形中隐含着对内角等于60的选择 ，以此检测考生对双曲线几何性质的掌握程度，是一道有较好区分度的试题,【,全解密,】,【命题探究】,【,知识链接,】,双曲线,(,a,0,，,b,0),中有三类特殊点：焦点,(,c,0)，,顶点(,a,0)，虚轴的两个端点(0，,b,),双曲线中,c,2,a,2,b,2,，说明双曲线中,c,最大，解决双曲线问题时不 要忽视了这个问题，如本题就是根据这个关系得出只有,OF,1,B,2,30的结论记不要和椭圆中,a，b，c,的关系相混淆.,求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中,a,，,c,的关系，在,用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质分析解决,【,方法探究,】,【,误点警示,】,1,已知,F,1,，,F,2,分别是双曲线,的左、右两焦点,，,过,F,2,作垂直,于,x,轴的直线，在第一象限交双曲线于点,P,，,若,PF,1,F,2,30,，,求双曲线的渐近线方程,分析：,采用数形结合思想，知道点,P,在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|,PF,1,|,PF,2,|2,a,，从,“,过,F,2,作垂直于,x,轴的直线，在第一象限交双曲线于点,P,”,可知,PF,2,F,1,F,2,，再利用直角三角形求解,解,：如图，由双曲线定义可知,|,PF,1,|,PF,2,|=2a，,PF,2,F,1,F,2,，,PF,1,F,2,30，,|,PF,1,|2|,PF,2,|.,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,|,F,1,F,2,|,2,|,PF,2,|,2,(2,c,),2,.,由,可得|,PF,2,|2,a,，|,PF,1,|4,a,，代入,，可得3,a,2,c,2,.,又,c,2,a,2,b,2,，,由得2,a,2,b,2,.,双曲线的渐近线方程为,y,2双曲线 (,a,1，,b,0)的焦距为2,c,，直线,l,过点(,a,0)和(0，,b,)，且点(1,0),到直线,l,的距离与点(1,0)到直线,l,的距离之和,s, 求双曲线的离心率,e,的取,值范围,分析：,首先求出,s,，将不等式,s,转化为,a,、,b,、,c,的关系，将,b,用,a,、,c,表示，再由,e, 即可化为,e,的关系式，进而求出,e,的范围,解：,直,线,l,的方程为,即,bx,ay,ab,0,.由点到直线的距离公式且,a,1，,得到点,(1,0),到直线l的距离,d,1,同理得到点(1,0)到直线,l,的距离,d,2,s,d,1,d,2, 由,s,即5,a,2,c,2,.于是得5,2,e,2,，即4,e,4,25,e,2,250.解不等式，得,e,2,5.由于,e,1，,e,的取值范围是,
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