差分方程初步课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,差分方程初步,第一节 差分方程的基本概念,一、 差分的概念,定义,1,设函数,y,t,=,f,(,t,),在,t,=,-,2,-,1,0,1,2,处有定义,对应的函数值为,y,-,2,y,-,1,y,0,y,1,y,2,则函数,y,t,=,f,(,t,),在时间,t,的,一阶差分,定义为,D,y,t,=,y,t,+,1,-,y,t,=,f,(,t,+,1),-,f,(,t,),依此定义类推,有,D,y,t,+,1,=,y,t,+,2,-,y,t,+,1,=,f,(,t,+,2),-,f,(,t,+,1),D,y,t,+,2,=,y,t,+,3,-,y,t,+,2,=,f,(,t,+,3),-,f,(,t,+,2),一阶差分的性质,(1),若,y,t,=,C,(,C,为常数,),则,D,y,t,=,0;,(2),对于任意常数,k,D,(,ky,t,),=,k,D,y,t,;,(3),D,(,y,t,+,z,t,),=,D,y,t,+D,z,t,定义,2,函数,y,t,=,f,(,t,),在时刻,t,的,二阶差分,定义为一阶差分的差分,即,D,2,y,t,= D,(,D,y,t,),= D,y,t,+,1,- D,y,t,=,(,y,t,+,2,-,y,t,+,1,),-,(,y,t,+,1,-,y,t,),=,y,t,+,2,-,2,y,t,+,1,+,y,t,依此定义类推,有,D,2,y,t,+,1,= D,y,t,+,2,- D,y,t,+,1,=,y,t,+,3,-,2,y,t,+,2,+,y,t,+,1,D,2,y,t,+,2,= D,y,t,+,3,- D,y,t,+,2,=,y,t,+,4,-,2,y,t,+,3,+,y,t,+,2,类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到,三阶差分,D,3,y,t,= D,2,y,t,+,1,- D,2,y,t,=,y,t,+,3,-,3,y,t,+,2,+,3,y,t,+,1,-,y,t,D,3,y,t,+,1,= D,2,y,t,+,2,- D,2,y,t,+,1,=,y,t,+,4,-,3,y,t,+,3,+,3,y,t,+,2,-,y,t,+,1,一般地,k,阶差分,(,k,为正整数,),定义为,这里,二、 差分方程,定义,3,含有未知函数,y,t,=,f,(,t,),以及,y,t,的差分,y,t,2,y,t,的函数方程,称为,常差分方程,(,简称差分方程,),;,出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为,差分方程的阶,.,n,阶差分方程的一般形式为,F,(,t,y,t,y,t,n,y,t,),=,0,其中,F,是,t,y,t,y,t,n,y,t,的已知函数,且,n,y,t,一定要在方程中出现,定义,3,含有两个或两个以上函数值,y,t,y,t,+,1,的函数方程,称为,(,常,),差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为,差分方程的阶,n,阶差分方程的一般形式为,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,),=,0,其中,F,为,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,的已知函数,且,y,t,和,y,t,+,n,一定要在差分方程中出现,.,三、 差分方程的解,定义,4,如果将已知函数,y,t,=,j,(,t,),代入方程,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,),=,0,使其对,t,=,-,2,-,1,0,1,2,成为恒等式,则称,y,t,=,j,(,t,),为方程的解,.,含有,n,个任意,(,独立,),常数,C,1,C,2,C,n,的解,y,t,=,(,t,C,1,C,2,C,n,),称为,n,阶差分方程的通解,.,在通解中给任意常数,C,1,C,2,C,n,以确定的值所得的解,称为,n,阶差分方程的特解,.,例如,函数,y,t,=,at,+,C,(,a,为已知常数,C,为任意常数,),是差分方程,y,t,+,1,-,y,t,=,a,的通解,.,而函数,y,t,=,at,y,t,=,at,-,1,均是这个差分方程的特解,.,由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件,.,n,阶差分方程,F,(,t,y,t,y,t,+,1,，,y,t,+,n,),=,0,常见的定解条件为初始条件,.,y,0,=,a,0,y,1,=,a,1,，,y,n,-,1,=,a,n,-,1,，,这里,a,0,a,1,a,2,，,a,n,-,1,均为已知常数,只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对,t,提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解,.,例如,方程,ay,t,+,1,-,by,t,=,0,与方程,ay,t,+,2,-,by,t,+,1,=,0,都是相互等价的,四、 线性差分方程及其基本定理,形如,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,2,(,t,),y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,f,(,t,),的差分方程,称为,n,阶非齐次线性差分方程,.,其中,a,1,(,t,),a,2,(,t,),a,n,-,1,(,t,),a,n,(,t,),和,f,(,t,),都是,t,的已知函数,且,a,n,(,t,),0,f,(,t,),0,.,而形如,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,+,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,0,的差分方程,称为,n,阶齐次线性差分方程,.,其中,a,i,(,t,)(,i,=,1,2,，,n,),为,t,的已知函数,且,a,n,(,t,),0,.,如果,a,i,(,t,),=,a,i,(,i,=,1,2,n,),均为常数,(,a,n,0),则有,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,f,(,t,),，,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,分别称为,n,阶常系数非齐次线性差分方程,和,n,阶常系数齐次线性差分方程,.,定理,1(,齐次线性差分方程解的叠加原理,),若,y,1,(,t,),y,2,(,t,),y,m,(,t,),是齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,的,m,个特解,(,m,2),则其线性组合,y,(,t,),=,A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,m,y,m,(,t,),也是方程,的解,其中,A,1,，,A,2,，,，,A,m,为任意常数,定理,2,n,阶齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,一定存在,n,个线性无关的特解,定理,3(,齐次线性差分方程通解结构定理,),如果,y,1,(,t,),y,2,(,t,),y,n,(,t,),是齐次线性差分方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,的,n,个线性无关的特解,则方程,的通解为：,y,A,(,t,),A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,n,y,n,(,t,),，,其中,A,1,，,A,2,，,，,A,n,为,n,个任意,(,独立,),常数,定理,4(,非齐次线性差分方程通解结构定理,),如果,(,t,),是非齐次线性方程,y,t,+,n,+,a,1,(,t,),y,t,+,n,-,1,+,a,2,(,t,),y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,(,t,),y,t,1,+,a,n,(,t,),y,t,=,f,(,t,),的一个特解,y,A,(,t,),是其对应的齐次线性方程,y,t,+,n,+,a,1,y,t,+,n,-,1,+,a,2,y,t,+,n,-,2,+,+,a,n,-,1,y,t,+,1,+,a,n,y,t,=,0,的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为：,y,(,t,),=,y,A,(,t,),+,(,t,),即,y,(,t,),=,A,1,y,1,(,t,),+,A,2,y,2,(,t,),+,+,A,n,y,n,(,t,),+,(,t,),，,这里,A,1,，,A,2,A,n,为,n,个任意,(,独立,),常数,第二节 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,y,t,+1,+,ay,t,=,f,(,t,),和,y,t,+1,+,ay,t,=,0,其中,f,(,t,),为,t,的已知函数,a,0,为常数,.,分别称为,一阶常系数非齐次线性差分方程,和其对应的,齐次差分方程,.,一、 齐次差分方程的通解,将方程,y,t,+1,+,ay,t,=,0,改写为,:,y,t,+1,=-,ay,t,t,=,0,1,2,假定在初始时刻,(,即,t,=,0),时,函数,y,t,取任意值,A,那么由上式逐次迭代,算得,y,1,=-,ay,0,=-,aA,y,2,=-,ay,1,=,(,-,a,),2,A,方程的通解为,y,t,=,A,(,-,a,),t,t,=,0,1,2,如果给定初始条件,t,=,0,时,y,t,=,y,0,则,A,=,y,0,此时特解为：,y,t,=,y,0,(,-,a,),t,二、 非齐次方程的通解与特解,1.,迭代法求通解,将方程改写为,y,t,+1,=,(,-,a,),y,t,+,f,(,t,),t,=,0,1,2,逐步迭代,则有,y,1,=,(,-,a,),y,0,+,f,(0),y,2,=,(,-,a,),2,y,0,+(,-,a,),f,(0)+,f,(1),y,3,=,(,-,a,),3,y,0,+(,-,a,),2,f,(0)+(,-,a,),f,(1)+,f,(2),由数学归纳法,可得,y,t,=,(,-,a,),t,y,0,+(,-,a,),t,-,1,f,(0)+(,-,a,),t,-,2,f,(1)+,f,(,t,-,1),=,(,-,a,),t,y,0,+ , (,t,=,0,1,2,),，,y,A,(,t,),=,(,-,a,),t,y,0,为,对应的齐次方程,的通解,.,解,例,方程的通解,2.,待定系数法求特解,情形,f,(,t,),为常数,方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,a,b,均为非零常数,试以,(,为待定常数,),形式的特解代入方程得,+,a,=,(1+,a,),=,b,当,a,-1,时,可求得特解,当,a,=-,1,时,改设特解,(,为待定系数,),将其代入方程得,(,t,+1)+,a,t,=,(1+,a,),t,+,=,b,求得特解,方程的通解为,解,例,情形,f,(,t,),为,t,的多项式,不妨设,f,(,t,),=,b,0,+,b,1,t,(,t,的一次多项式,),即,y,t,+1,+,ay,t,=,b,0,+,b,1,t,t,=,1,2,，,其中,a,b,0,b,1,均为常数,且,a,0,b,1,0,试以特解,=,a,+,b,t,(,a,b,为待定系数,),代入方程得,a,+,b,(,t,+1)+,a,(,a,+,b,t,),=,b,0,+,b,1,t,，,上式对一切,t,值均成立,其充分必要条件是：,当,1+,a,0,时,即,a,-1,时，,方程的特解为,当,a,=-1,时,改设特解,=,(,a,+,b,t,),t,=,a,t,+,b,t,2,将其代入方程可求得特解,方程的通解为,解,例,情形,f,(,t,),为指数函数,不妨设,f,(,t,),=,b,d,t,b,d,均为非零常数,方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,d,t,t,=,0,1,2,求得特解,当,a,+,d,0,时,设方程有特解,=,m,d,t,m,为,待定系数,.,将其代入方程得,m,d,t,+1,+,a,m,d,t,=,b,d,t,当,a,+,d,=,0,时,改设,方程,的特解,=,td,t,为待定系数,将其代入方程可求得特解,=,btd,t,方程的通解为,解,例,情形,f,(,t,),为正弦、余弦型三角函数,设,f,(,t,),=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,其中,b,1,b,2,均为常数,且,0,b,1,与,b,2,不同时为零,.,于是非齐次方程变为,y,t,+1,+,ay,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,a,0,t,=,0,1,2,设方程有特解,=,a,cos,t,+,b,sin,t,a,b,均为待定系数,.,将其代入方程得,a,cos,(,t,+1)+,b,sin,(,t,+1)+,a,a,cos,t,+,a,b,sin,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,(,a,cos,+,b,sin,+,a,a,)cos,t,+(,-,a,sin,+,b,cos,+,a,b,)sin,w,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,(,a,cos,+,b,sin,+,a,a,)cos,t,+(,-,a,sin,+,b,cos,+,a,b,)sin,w,t,=,b,1,cos,t,+,b,2,sin,t,上式对,t,=0,1,2,恒成立的充分必要条件是,其系数行列式,当,D,0,时,则可求得其解,当,D,=,(,a,+cos,w,),2,sin,2,w,=,0,时,则有,改设特解,代入方程并整理可得,方程的通解为,例,求差分方程,y,t,+1,-,2,y,t,=,cos,t,的通解,解,对应齐次方程的通解为,y,A,(,t,),=,A,2,t,设非齐次方程的特解为,=,a,cos,t,+,b,sin,t,其中,a,b,为待定系数,将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式,得,所给方程的通解为,第三节 二阶常系数线性差分方程,二阶常系数线性差分方程的一般形式为,y,t,+,2,+,a,1,y,t,+,1,+,a,2,y,t,=,f,(,t,),，,t,=0,1,2,，,其中,f,(,t,),为,t,的已知函数,a,1,a,2,为已知常数,且,a,2,0,称为,二阶常系数非齐次线性差分方程,特别地,当,f,(,t,),0,时,方程变为,y,t,+,2,+,a,1,y,t,+,1,+,a,2,y,t,=0,称为,对应的齐次差分方程,一、 齐次差分方程的通解,称,2,a,1,+,a,2,=0,为,二阶常系数非齐次线性差分方程,或其,对应的齐次差分方程,的,特征方程,它的解,(,或根,),称为方程的,特征根,(,值,),特征方程的两个根为,(1),特征根为相异的两实根,当,0,时,1,2,为两相异的实根,.,y,1,(,t,)=,1,t,与,y,2,(,t,)=,2,t,是齐次差分方程的两个线性无关的特解,.,齐次差分方程的通解,1,2,由特征方程确定,A,1,A,2,为两任意,(,独立,),常数,例,求差分方程,y,t,+,2,-,7,y,t,+,1,+,12,y,t,=0,的通解,解,特征方程为,2,-,7,+,12=(,-,3)(,-,4)=0,有两相异实特征根,1,=3,2,=4,原方程的通解为,(2),特征根为两相等的实根,当,=0,时,=,1,=,2,=,为两相等的实根,.,方程的一个特解：,y,t,(,t,)=,t,方程的另一个特解为,y,(,t,)=,t,t,，,且与,t,线性无关,.,方程的通解为,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=0,的通解,.,解,特征方程为,2,-,4,+,4=(,-,2),2,=,0,，,方程有重特征根,=,1,=,2,=,2,原方程的通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,),2,t,A,1,A,2,为任意常数,(3),特征根为一对共轭复根,当,0,时,1,2,为一对共轭复根,.,1,2,=,i,=,r,(cos,isin,),y,1,(,t,)=,r,t,cos,t,y,2,(,t,)=,r,t,sin,t,是方程的两个线性无关特解,.,方程的通解为,y,A,(,t,)=,r,t,(,A,1,cos,t,+,A,2,sin,t,),其中,A,1,，,A,2,为任意常数,.,例,求差分方程,y,t,+,2,-,2,y,t,+,1,+,2,y,t,=0,的通解,解,特征方程,2,-,2,+,2=(,-,1),2,1=0,特征根为一对共轭复根,1,2,=1,i,方程的通解为,二、 非齐次方程的特解与通解,例,求差分方程,y,t,+,2,-,7,y,t,+,1,+,12,y,t,=6,的通解,解,对应的齐次方程的通解为,y,A,(,t,)=,A,1,3,t,+,A,2,4,t,，,原方程的通解为,y,t,=,y,A,(,t,),+,=,A,1,3,t,+,A,2,4,t,+,1,，,这里,A,1,A,2,为任意常数,由于,1,+,a,1,+,a,2,=1,-,7,+,12,0,设特解,=,B,B,为待定常数,将其代入原方程,求得,B,=1.,例,求差分方程,y,t,+,2,-,3,y,t,+,1,+,2,y,t,=4,的通解,解,特征方程为,2,-,3,+,2=(,-,1)(,-,2),=0,特征根,1,=,1,2,=,2,.,对应齐次方程的通解为,y,A,(,t,)=,A,1,+,A,2,2,t,因,1,+,a,1,+,a,2,=1,-,3,+,2=0,故应设非齐次方程的特解为,=,Bt,B,为待定系数,将其代入原方程,求得,B,=,-,4,原方程的通解为,y,t,=,y,A,(,t,),+,=,A,1,+,A,2,2,t,-,4,t,，,这里,A,1,A,2,为任意常数,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=3,+,2,t,的通解,.,解,对应齐次方程的通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,),2,t,此式对,t,=0,1,2,恒成立的充要条件是,B,0,-,2,B,1,=3,B,1,=2.,由此解得：,B,0,=7,，,B,1,=2,设非齐次方程有特解,=,B,0,+,B,1,t,B,0,B,1,为待定系数,.,将其代入原方程中,得,(,B,0,-,2,B,1,),+,B,1,t,=3,+,2,t,所求非齐次方程的特解为,原方程的通解为,A,1,A,2,为任意常数,例,求差分方程,y,t,+,2,-,4,y,t,+,1,+,4,y,t,=5,t,的通解,解,对应齐次方程的通解为,y,A,(,t,)=(,A,1,+,A,2,t,),2,t,设所给非齐次方程的特特为,=,B,5,t,B,为待定系数,.,将其代入所给方程,可得,B,5,t,+,2,-,4,B,5,t,+,1,+,4,B,5,t,=5,t,非齐次方程的特解为,所给方程的通解为,其中,A,1,A,2,为任意常数,第四节 差分方程在经济学中的应用,一、 存款模型,设,S,t,为,t,期存款总额,i,为存款利率,则,S,t,与,i,有如下关系式：,S,t,+1,=,S,t,+,iS,t,=(1+,i,),S,i,t,=0,1,2,，,其中,S,0,为初始存款总额,二、 动态供需均衡模型,(,蛛网定理,),设,D,t,表示,t,期的需求量,S,t,表示,t,期的供给量,P,t,表示商品,t,期价格,则传统的动态供需均衡模型为：,其中,a,b,a,1,b,1,均为已知常数,.,(1),式表示,t,期,(,现期,),需求依赖于同期价格；,(2),式表示,t,期,(,现期,),供给依赖于,(,t,-1),期,(,前期,),价格,(3),式为供需均衡条件,若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变,即,P,t,=,P,t,-,1,=,P,e,，,静态均衡价格,需求曲线与供给曲线的交点,(,P,e,Q,e,),即为该种商品的静态均衡点,动态供需均衡模型的等价差分方程,方程的一个特解,方程的通解为,若初始价格,P,0,已知时,将其代入通解,可求得任意常数,A,=,P,0,-,P,e,此时,通解改写为,如果初始价格,P,0,=,P,e,那么,P,t,=,P,e,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值,P,e,上,即静态均衡,如果初始价格,P,0,P,e,那么价格,P,t,将随,t,的变化而变化,.,动态价格,P,t,随着,t,的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格,P,e,.,普通商品的价格与供需关系图,三、 凯恩斯,(,Keynes.J.M,),乘数动力学模型,设,Y,t,表示,t,期国民收入,C,t,为,t,期消费,I,t,为,t,期投资,I,0,为自发,(,固定,),投资,I,为周期固定投资增量,.,凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：,(1),式为均衡条件,即国民收入等于同期消费与同期投资之和,;,(2),式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入,(,消费滞后于收入一个周期,),a,(,0),为基本消费水平,b,为边际消费倾向,(0,b,1);(3),式为投资函数,这里仅考虑为固定投资,在,(1)(2)(3),式中消去,C,t,和,I,t,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：,Y,t,-,bY,t,-,1,=,a,+,I,0,+,I,方程的一个特解,方程的通解为,其中,A,为任意常数,.,称系数 为凯恩斯乘数,.,四、 哈罗德,(,Harrod.R.H,),经济增长模型,设,S,t,为,t,期储蓄,Y,t,为,t,期国民收入,I,t,为,t,期投资,s,称为边际储蓄倾向,(,即平均储蓄倾向,),0,s,1,k,为加速系数,.,哈罗德宏观经济增长模型为：,其中,s,k,为已知常数,(1),式表示,t,期储蓄依赖于前期的国民收入,;(2),式表示,t,期投资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速系数,k,为常数,;(3),式为均衡条件,.,经整理后得齐次差分方程,其通解为,其中,A,为任意常数, ,哈罗德称之为“保证增长率”,其经济意义就是：如果国民收入,Y,t,按保证增长率 增长,那么就能保证,t,期储蓄与,t,期投资达到动态均衡,即,I,t,=,S,t,t,=0,1,2,假定,t,-,1,期收入,Y,t,-,1,满足于通解,而,t,期收入,Y,t,由于某种外部干扰满足,设,B,0,那么有,因,kB,0,故,I,t,S,t,.,表示,:,总投资将大于总供给,(,由储蓄提供,),从而对收入产生一个向上的压力,迫使收入较以前增加得更多,.,充分地说明了,“,保证增长率”保证了国民收入的增长,.,五、 萨缪尔森,(Samuelson P.A),乘数加速数模型,设,Y,t,为,t,期国民收入,C,t,为,t,期消费,I,t,为,t,期投资,G,为政府支出,(,各期均相同,),.,萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型,(,也称为乘数,-,加速数模型,),：,其中,G,0,为常数,b,称为边际消费倾向,(,常数,),k,为加速数,.,将,(2)(3),两式代入,(1),并经整理后得：,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,G,其特解,其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资,G,的乘积,.,对应的齐次方程为,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,=0,，,其特征方程为,2,-,b,(1+,k,),+,bk,=0,，,特征方程的判别式,=,b,2,(,1,k,),2,-,4,bk,=,b,b,(1+,k,),2,-,4,k,当,0,时,特征方程有两相异实根,齐次方程的通解为：,Y,A,(,t,)=,A,1,1,t,+,A,2,2,t,(,A,1,A,2,为任意常数,),当,=0,时,特征方程有一对相等实特征根,齐次,方程的通解为：,(,A,1,A,2,为任意常数,),当,0,时,特征方程有一对共轭复根：,齐次,方程的通解为：,Y,(,t,)=,t,(,A,1,cos,t,+,A,2,sin,t,),A,1,A,2,为任意常数,.,方程,Y,t,-,b,(1+,k,),Y,t,-,1,+,bkY,t,-,2,G,的通解,