3-3线性相关性

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等代数,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等代数,3,线性相关性,重点与难点：,1.,线性组合,2.,向量组等价,3.,线性相关性,4.,极大无关组,一、线性组合,1.,定义,若向量 可表成向量组 的一个线性组,合，则称向量可由向量组,线性表出,.,若 ，也称向量 与 成比例,.,注,:,则称向量,为向量组,的一个,线性组合,，,中的数,使,其中,叫做这个线性组合的,系数,.,如果有数域,P,零,向量,0,可由,任一向量组线性表出,.,一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出,.,任一 维向量,都是向量组,也称为,n,维单位向量组,的一个线性组合,事实上， 对任意都有,若能，写出它的一个线性表示式,解,：设 ，即有方程组,（,1,）,例,1,判断向量能否由向量组线性表出,.,对方程组,(1),的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组,(1),有解它的一般解为,得,(1),的一个解 ，,令,从而有,1,、,定义,二、向量组的等价,向量组等价,.,若向量组,中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组,线性表出,；,皆可经向量组,线性表出，则称向量组,向量组之间的等价关系具有：,1),反身性,2),对称性,3),传递性,2,、等价的性质,注,:,每一个向量组都可以经它自身线性表出；,线性表出具有传递性，但不具对称性。,证,反例,三、线性相关性,1,、,线性相关,特殊情形,2,）,任意一个含零向量的向量组必线性相关,.,定义,1,：,如果向量组,中有一向量,称为,线性相关,的,.,可经,其余向量线性表出，则向量组,1,）向量组,线性相关 成比例,.,注,:,1,l,3,3,2,k,2,定义,1,：,向量组,称为,线性相关,如果存在,P,上,不全为零的数,的,在 时，,定义,1,与,定义,1,是一致的,.,例,2,判断下列向量组是否线性相关,.,使,注,:,证,例,3,判断向量组,是否线性相关？若线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关,.,令,则有,使,定义,2,：,若向量组 不线性相关，则称,若不存在,P,中不,全为零的数,，,使,向量组,为,线性无关的,.,2,、,线性无关,即,则称向量组,为,线性无关的,.,可推出,换句话说，,则称向量组,为,线性无关的,.,对于一个向量组,若由,注,:,3,）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,个向量可由其余向量,(,若有的话,),线性表出,.,3,、线性相关性的有关结论,2,）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关,.,5,）如果向量组,线性无关,，,而向量组,线性相关，则,可,经,向量组,线性表出,，,且表示式唯一。,(,习题,3),都线性,无关,.,4,）一个向量组中若,部分,向量线性,相关,，则,整个,向,量组也线性,相关,；,一个向量组若线性,无关,，则它的,任何一个,部分,组,有无非零解,，,故,是否线性相关就是看方程,判断向量组,有无非零解，即齐次线性方程组,3,、线性相关性的重要性质,1,）充要条件,特别地，对于,n,个,n,维向量,的,缩短组,.,线性无关，则向量组,也线性无关,。,向量组,常称为向量组,的,延伸组,；,称为,而,相关,，,则向量组,也线性相关,.,反之，若向量组,线性,证,2,）结论,注,:,简证：,两向量组相对应的齐次线性方程组分别为,3).,基本性质定理,定理,2,设 与,为两个,i),向量组,可经 线性表出,；,则向量组,必线性相关,.,ii),向量组，若,要证,线性相关,，,即证有不全为零的数,使,证：,由,i),，,有,作线性组合,若能找到不全为,0,的,，,使,中，方程的个数,s,未知量的个数,r,，,在方程组,（,）,从而有不全为零的数,，,使,所以,（,）,有非零解,.,所以,线性相关,。,则也使,推论,2,任意,n,1,个,n,维向量必线性相关,.,推论,3,两个线性无关的等价向量组必含相同个数,推论,1,若向量组,可经向量组,线性表出，且,线,性无关,，,则,的向量,.,（任意,个,n,维向量必线性相关,.,）,(,一,),、,极大线性无关组,i),线性无关；,极大线性无关组,，简称,极大无关组,.,一个部分组,若满足,1.,定义,为,中的一个向量组，它的,设,线性表出,；,ii),对任意的,可,经,四、极大线性无关组与向量组的秩,则称,为向量组,的一个,定义,另定义,总结：,极大线性无关组的定义,为,中的一个向量组，它的,设,I,：,则称,II,为向量组,I,的一个,极大线性无关组,，简称,极大无关组,.,一个向量组的极大无关组不一定是唯一的,.,一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身,.,一个向量组的任意两个极大无关组都等价,.,Th3:,一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量,.,向量组和它的任一极大无关组等价,.,（根据定理,2,的推论,1,即得）,注,1.,定义,向量组的极大线性无关组所含向量个数,2.,性质：,一向量组线性相关,秩,=,它所含向量个数；,秩它所含向量个数,.,称为这个向量组的,秩,.,(,二,),、向量组的秩,一向量组线性无关,等价向量组必有相同的秩,.,注,全部由零向量组成的向量组无极大无关组，规定其秩为,0.,若向量组,可经向量组,线性表出，则秩,秩,（习题,12,）,例,4,设,1,）证明： 线性无关,.,2,）把,扩充成一个极大无关组,.,1,）证：,由于不成比例，,2,）解：,线性无关,.,由,即,为自由未知量,.,解得,线性相关,.,即 可经线性表出,.,由,解得,线性无关,.,即 不能由线性表出,.,即,再由行列式,线性相关,.,故即为由 扩充的一个极大无关组,.,即,例,5,求向量组,的极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表出。,解,：,作矩阵,对矩阵,A,作初等,行,变换化阶梯形,由矩阵,B,知 线性无关且为极大线性无关组,.,行最简形,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：,则就是一个极大无关组,.,第一步,：,作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步,：,用初等行变换化矩阵,A,为阶梯阵,J,.,若,J,中有,r,个非零行，则秩,设,J,中第,i,个非零行第一个非零元所在列标号为,用此方法容易将其余向量用此极大无关组线性表出。,注,五、方程组的解,现在把上面的概念与方程组的解的关系进联系，给定一个方程组,各个方程所对应的向量分别是,设有另一个方程,它对应的分量为,容易验证，方,程组,的解一定满足,(,B,),它的方程所对应的向量为,若,可经,线性表出，则方程组,的解是方程组,的解,.,小结,1,、线性组合，线性表出；,2,、向量组等价；,作业：,P,154,2.2) 3,，,6,，,10,，,11,，,17.,练习：,P,154,2-17,3,、向量组的线性相关性；,4,、极大线性无关组与秩；,谢 谢,也线性无关；对,n,个线性无关向量组,命题是否成立？,命题是否成立？,也线性无关；对,n,个线性无关向量组,练习,由于,线性无关，于是有,设,即,(2).,已知向量组,线性无关，向量,证明：,线性无关,.,解之得,所以,线性无关,.,证：,思考,证明,(1),、,(2),略,(3),充分性,必要性,思考题解答,