资源描述
,*,1.2.1,任意角的三角函数,(,二,),1.,了解三角函数线的意义,.,2.,会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切,.,3.,会用三角函数线来解三角不等式问题,.,1.,本课重点是会用三角函数线来表示角的正弦、余弦、正切,.,2.,本课难点是对三角函数线的理解,.,1.,有向线段,(1),定义：带有,_,的线段,.,(2),表示：用大写字母表示，如有向线段,OM,MP.,方向,2.,三角函数线,AT,OM,MP,1.,三角函数线的长度和方向各表示什么？,提示：,长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负,.,2.,三角函数线的方向有何特点？,提示,:,正弦线由垂足指向,的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点,(1,0),指向切线与,终边的交点,.,3.,角,的正弦线长度为,1,，则角,的余弦线的长度为,_.,【,解析,】,若角,的正弦线长度为,1,，则角,的终边在,y,轴上，此时其余弦线的长度为,0.,答案：,0,4.,若,cos0,，则,的取值范围是,_.,【,解析,】,由单位圆中的余弦线可知，若,cos0,，则角,的终边落在,y,轴或其左侧，此时,2k+ 2k+ ,，,kZ,.,答案：,2k+ 2k+ ,，,kZ,解读三角函数线,(1),三角函数线的意义,正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,凡与,x,轴或,y,轴正向同向的为正值,反向的为负值,.,三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便,.,(2),三角函数线的画法,定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角,的三角函数线的画法,即先找到,P,，,M,，,T,点,再画出,MP,，,OM,，,AT.,(3),三角函数线的作用,三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础,.,三角函数线的作法及应用,【,技法点拨,】,应用三角函数线作,f(,)=m(-1m1),的三角函数的角的终边的方法,(1),先作出直线,y=m,或,x=m,与单位圆的交点,.,(2),将原点与交点连接，所得射线即为所求角的终边,.,【,典例训练,】,1.,已知,tan,=,，则,的取值集合是,_.,2.,在单位圆中画出适合下列条件的角,的终边范围，并由此写出角,的集合,.,(1)sin,；,(2)cos .,【,解析,】,1.,如图所示,:,在,0,360,),范围,内，正切值为 的角有两个：,60,和,240,，,满足,tan,=,的角,的终边与,60,或,240,的终边重合，则,的取值集合是,|,=60,+k,360,或,=240,+k,360,kZ,，即,|,=60,+k,180,kZ.,答案：,x|x,=60,+k,180,kZ,2.(1),作直线,y=,交单位圆于,A,，,B,两点，连接,OA,，,OB,，,则角,的终边在如图所示的阴影区域内,.,故角,的集合为,|2k+ 2k+,，,kZ,.,(2),作直线,x=,交单位圆于,C,，,D,两点，连接,OC,，,OD,，则角,的终边在如图所示的阴影区域内,.,故角,的集合为,|2k+ 2k+,，,kZ,.,【,互动探究,】,若将题,2(2),“,cos-,”,改为,“,cos,=,”,，,又如何画出角,的终边？,【,解析,】,作直线,x=,交单位圆于点,A,B,连接,OA,OB,则射线,OA,OB,即为角,的终边,如图所示,.,【,思考,】,解答题,2,的关键是什么？在解题,1,的过程中体现了什么数学思想,.,提示：,(1),解答题,2,的关键在于借助于单位圆，作出符合条件的三角函数线，然后利用运动的观点，找出符合条件的角或角的范围,.,(2),在解题过程中实现了转化，即把代数问题几何化，把抽象问题具体化，体现了数形结合的思想,.,【,变式训练,】,已知,a=sin,，,b=,cos,，,c=tan,，则,( ),(,A)a,b,c (,B)a,c,b,(,C)b,c,a (,D)b,a,c,【,解析,】,选,D.,，作出角 的三角函数线如图,:,可知：,b,a,c.,利用三角函数线解三角不等式,【,技法点拨,】,利用三角函数线解三角不等式,(1),三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具,利用它会使解不等式更加简便,.,(2),求三角函数的定义域时,一般应转化为求不等式,(,组,),的解的问题,然后利用数轴或三角函数线求解,.,【,典例训练,】,1.,若,0,2),，且,cos,，则,的取值范围是,_.,2.,求函数,y, 的定义域,.,【,解析,】,1.,如图，,OM,为,0,2),内的角 和,的余弦线，欲使,cos,，角,的余,弦,OM,，当,OM,伸长时，,OP,与,OQ,扫过部分为扇,形,POQ,，,0,或,2.,答案：,0,，,，,2),2.,解题流程：,转化,结论,观察,作图,2cosx-10cosx,作出余弦值等于 的角： 和,阴影区域内每一个角,x,，都满足,cosx,，故角的集合为,+2k,，,+2k,（,kZ,）,函数的定义域为,+2k,，,+2k,（,kZ,）,【,归纳,】,解三角不等式的步骤以及常采用的思想方法,.,提示：,(1),解三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，在一定的范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合,.,(2),解决此类问题要注意数形结合思想的运用,.,【,变式训练,】,解不等式,3tan,.,【,解析,】,3tan,，即,tan,.,由正切线知,- +k,+k,，,kZ,.,不等式的解集为,(,k,，,k,)(kZ).,三角函数线的综合应用,【,技法点拨,】,求解角的范围的方法,准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分应用以下几种情形：,【,典例训练,】,1.,已知点,P(sin-cos,tan,),在第一象限，在,0,2,内，,的取值范围为,_.,2.,利用三角函数线证明,|sin|+|cos|1.,【,解析,】,1.,由题意 如图，,由三角函数线可得,或,.,答案：,( )(, ),2.,在,OMP,中，,OP=1,，,OM=|,cos|,MP,=|,sin,|,，,因为三角形两边之和大于第三边，所以,|sin|+|cos|1.,【,想一想,】,解决题,1,的关键点在哪？利用三角函数线来求角的范围时应注意哪些问题？,提示：,(1),关键是明确三角函数在各象限内的符号,.,(2),注意角的终边落在哪个象限，以及三角函数线的方向问题,.,【,变式训练,】,已知集合,E=,|cos,sin,0,2,，,F=,|tan,sin,，则,EF=_.,【,解析,】,结合正弦线、余弦线可知,E=|,，而, 时，,tan,sin,；,=,时，,tan,不存在；,时，,tan,sin;, 时，,tansin,；所以,EF=|,.,答案：,|,【,易错误区,】,三角函数线的解题误区,【,典例,】,已知角,的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角,的终边在,( ),(,A)y,轴的正半轴上,(,B)y,轴的负半轴上,(,C)x,轴上,(,D)y,轴上,【,解题指导,】,【,解析,】,选,D.,由题意可知，,sin,=,1,，故角,的终边在,y,轴上,.,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：,常,见,错,误,选,A,由角,的正弦线是长度为单位长度的有向线段，错误,地认为其正弦值为正值，即,sin,=1,，误判出角,的,终边在,y,轴的正半轴上,.,选,C,由角,的正弦线是长度为单位长度的有向线段,得出,sin,=1,，但把正弦线和余弦线的位置弄错，从而,误判为,x,轴上，错选为,C.,解,题,启,示,(1),对有向线段的理解不到位，没有把握好有向线段是带,有方向的线段，有正也有负,.,(2),对余弦线与正弦线的位置要把握准确，理解好两者的,区别,.,【,即时训练,】,已知角,的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角,的终边在,( ),(A),直线,y=x,上,(B),直线,y=-x,上,(C),直线,y=x,上或直线,y=-x,上,(,D)x,轴上或,y,轴上,【,解析,】,选,C.,由角,的正切线是长度为单位长度的有向线段，得,tan,=,1,，故角,的终边在直线,y=x,上或直线,y=-x,上,.,1.,角 和角 有相同的,( ),(A),正弦线,(B),余弦线,(C),正切线,(D),不能确定,【,解析,】,选,C.,由于,=+,，即两角的终边在一条直线上，,因而它们的正切线相同,.,2.,下列说法不正确的是,( ),(A),当角,的终边在,x,轴上时，角,的正切线是一个点,(B),当角,的终边在,y,轴上时，角,的正切线不存在,(C),正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化,(D),余弦线和正切线的始点都是原点,【,解析,】,选,D.,余弦线始点是原点，正切线的始点是点,(1,，,0).,3.,若,sin( +)0,，则,是,( ),(A),第一象限角,(B),第二象限角,(C),第三象限角,(D),第四象限角,【,解析,】,选,B.sin,( +)=,cos,0,，,是第二象限角,.,4.,比较大小：,tan1_tan (,填,“,”,或,“,”,),【,解析,】,因为,1,，由它们的正切线知,tan,tan .,答案：,5.,利用单位圆写出满足,sin, ，且,(0,),的角,的集合,【,解析,】,作出正弦线如图：,MP=NQ=,，当,sin,时，角,对应的正弦线变短，所以,0, 或 ,，即,(0, )( ,).,
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