一阶微分方程习题课

,目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一阶微分方程习题课,一、一阶微分方程求解,1.,一阶标准类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶非标准类型方程求解,(1),变量代换法,代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2),积分因子法,选积分因子,解全微分方程,四个标准类型,:,可分离变量方程,齐次方程,一阶线性线性方程,全微分方程,例,1.,求下列方程的通解,提示,:,(1),故为分离变量方程,:,通解,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y = u x,化为分,离变量方程,.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,.,化为,方法,1,这是一个齐次方程,.,方法,2,化为微分形式,故这是一个全微分方程,.,例,2.,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),令,u = x y ,得,(2),将方程改写为,(,贝努里方程,),(,分离变量方程,),原方程化为,令,y = u t,(,齐次方程,),令,t = x, 1 ,则,可分离变量方程求解,化方程为,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解,:,例,3.,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,:,(1),求,F,(,x,),所满足的一阶微分方程,;,(03,考研,),(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,: (1),所以,F,(,x,),满足的一阶线性非齐次微分方程,:,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,前面三节我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可以通过适当变化化为这三类方程的方法。事实上，还有许多方程可以通过变量变化方法化为已知类型来求解。,变量替换法,例如： 对微分方程,，就将方程变换为,下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。,通过引进新的变量,线性方程：,2.4.1,形如,方程,引进变量,，则,原方程可化为,这是一个变量可分离的方程。,例,1,求方程,对上式分离变量得：,（,1,）,解：,令,则,代入（,1,） 整理得,积分得,代入原变量得到（,2.4.3,）的通解为：,对上式分离变量得：,利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。,2.4.3,其它变化法,例,2,求方程,（,2,）,解：将此方程改写为：,做变化,。因为,代入方程后得：,这是一个变量可分离方程，求解得,故原方程的通解为,例,3,求方程,（,3,）,解：,该方程求解的困难在于右端的根号，,因为,代入（,3,）,我们希望去根号，因此，做变化,这是一个齐次方程：,求解得,故我们做变化,例,4,求方程,解：根据经验，仔细观察该方程的特征：,代人原方程得：,因此得到原方程的解：,例,5,求解方程,解：仔细观察该方程的特征：,对方程做恒等变形得，,自然做变化,求解上面的线性方程得：,原方程化为：,