经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 经济时间序列的 季节调整、分解与平滑,本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解，指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。,1,经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期趋势要素,T,、循环要素,C,、季节变动要素,S,和不规则要素,I,。,长期趋势要素 (,T,):,代表经济时间序列长期的趋势特性。,循环要素 (,C,):,是以数年为周期的一种周期性变动。,季节要素 (,S,):,是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。,不规则要素 (,I,):,又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。,经济时间序列的分解,2,图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形 图2 工业总产值的趋势循环要素 TC 图形,图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形 图4 工业总产值的不规则要素 I 图形,3,季节调整的概念,季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，,以月份或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的“季节调整”,(Seasonal Adjustment)。,4,2.2,.1,X-11,季节调整方法,1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Depart- ment of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上，开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法，X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季节调整方法,2.2,经济时间序列的季节调整方法,5,X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。正因为如此，X-11方法受到很高的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机构(IMF)等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。,6,2.2.2,X12,季节调整方法,美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：,(1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；,(2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能；,(3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。,7,X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调整时，时间序列中不允许有零和负数。, 加法模型 (2.2.1), 乘法模型： (2.2.2), 对数加法模型： (2.2.3), 伪加法模型： (2.2.4),1,季节调整的模型选择,8,例2.1 利用X12加法模型进行季节调整,图2.1a 社会消费品零售总额原序列 图2.1b 社会消费品零售总额的TC序列,图2.1c 社会消费品零售总额 I,序列,图2.1d 社会消费品零售总额的 S 序列,9,由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各周的影响，这种影响称为贸易日影响（或周工作日影响）。例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售额比该周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的星期天数是一周的前五天，那么该月份销售额将较低；如果多出的星期天数是一周的星期六、星期日，那么该月份销售额将较高。又如，在流量序列中平均每天的影响将产生“月长度”影响。因为在每年中二月份的长度是不相同的，所以这种影响不可能完全被季节因素承受。二月份残留的影响被称为润年影响。,3贸易日和节假日影响,（1）贸易日影响,10,Young(1965)讨论了浮动贸易日的影响，Cleveland and Grupe(1983)讨论了固定贸易日的影响。贸易日影响和季节影响一样使得比较各月的序列值变得困难，而且不利于研究序列间的相互影响。由于这个原因，当贸易日影响的估计在统计上显著时，通常在季节调整之前先把贸易日的影响从序列中剔除。在调整的内容中，形成了又一个分解要素：贸易日要素,D,。,在X12季节调整中，假设贸易日影响要素包含在不规则要素中，即不规则要素的形式是,ID,，假设已从原序列,Y,中分解出,ID,。然后用回归分析求出星期一，星期二，星期日的相应权重，从而可以将,ID,分解为真正的不规则要素,I,和贸易日要素,D,。,11,美国的圣诞节、复活节及感恩节等节假日对经济时间序列也会产生影响。例如，圣诞节的影响可以增加当周或前一周商品的零售额，或者是降低特定工厂在圣诞节前几天的产量。在X12方法中，贸易日和节假日影响可以从不规则要素中同时估计得到。在X12方法中，可以对不规则要素建立ARIMAX模型，包括贸易日和节假日影响的回归变量，而且还可以指明奇异值的影响，并在估计其他回归影响的同时消除它们。注意EViews中的节假日调整只针对美国，不能应用于其他国家。,（2）节假日影响的调整,12,X12方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的一个主要缺点是在进行季节调整时，需要在原序列的两端补欠项，如果补欠项的方法不当，就会造成信息损失。X12 - ARIMA方法是由X12方法和时间序列模型组合而成的季节调整方法。通过用ARIMA模型 (autoregressive integrated moving Average) 延长原序列，弥补了移动平均法末端项补欠值的问题。,建立ARIMA(,p,d,q,)模型，需要确定模型的参数，包括单整阶数,d,；自回归模型(AR)的延迟阶数,p,；动平均模型(MA)的延迟阶数,q,。也可以在模型中指定一些外生回归因子，建立ARIMAX模型。对于时间序列中的一些确定性的影响（如节假日和贸易日影响），应在季节调整之前去掉。,4X12 - ARIMA模型,13,外部影响调整包括附加的外部冲击(addtive outlier，,AO,)和水平变换(level shift，,LS,)。附加的外部冲击(,AO,)调整是指对序列中存在的奇异点数据进行调整，水平变换(,LS,)是指对水平上发生突然变化的序列的处理。,5外部影响调整,图2.2 经济时间序列水平变换示意图,14,通过对ARIMAX模型中的回归方程添加外部冲击和水平变换回归变量，可以处理奇异点数据和在水平上发生突然变化的序列。在对序列进行预调整的同时得到外部影响调整是X12-ARIMA模型的特殊能力。,在奇异点,t,0,的外部冲击变量：,(2.2.26),在水平位移点,t,0,的水平变换变量：,(2.2.27),15,TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用来估计和预测具有缺失观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA过程的误差项的参数进行估计。SEATS(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。,这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环要素、季节要素及不规则要素4个部分。,2.2.3 TRAMO/SEATS方法,16,本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入存放时间序列的工作表中，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：,2.,2.,4 季节调整相关操作 (EViews软件),17,1.,Census X12,方法,EViews是将美国国势调查局的X12季节调整程序直接安装到EViews子目录中，建立了一个接口程序。 EViews进行季节调整时将执行以下步骤：,1给出一个被调整序列的说明文件和数据文件；,2利用给定的信息执行X12程序；,3返回一个输出文件，将调整后的结果存在EViews工作文件中。,X12的EViews接口菜单只是一个简短的描述， EViews还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序。,18,调用X12季节调整过程，在序列窗口选择Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打开一个对话框：,X12方法有5种选择框，下面分别介绍。,19,一、季节调整选择,（Seasonal Ajustment Option）, X11,方法,（X11 Method）,这一部分指定季节调整分解的形式：乘法；加法；伪加法（此形式必须伴随ARIMA说明）；对数加法。注意乘法；伪加法和对数加法不允许有零和负数。,季节滤波,(Seasonal Filter),当估计季节因子时，允许选择季节移动平均滤波（可能是月别移动平均项数），缺省是X12自动确定。近似地可选择(X11 defaul)缺省选择。需要注意如果序列短于20年，X12不允许指定315的季节滤波。,20,存调整后的分量序列名,（,Component Series to save,）,X12将被调整的序列名作为缺省列在Base name框中，可以改变序列名。在下面的多选钮中选择要保存的季节调整后分量序列，X12将加上相应的后缀存在工作文件中：,最终的季节调整后序列（SA）；,最终的季节因子（SF）；,最终的趋势循环序列（TC）；,最终的不规则要素分量（IR）；,季节/贸易日因子（D16）；,假日/贸易日因子（D18）；,趋势滤波,（Trend Filter (Henderson)）,当估计趋势循环分量时，允许指定亨德松移动平均的项数，可以输入大于1和小于等于101的奇数，缺省是由X12自动选择。,21,二、,ARIMA,选择,（,ARIMA Option,）,点击ARIMA Option标签，可出现下列对话框,：,X12允许在季节调整前对被调整序列建立一个合适的ARIMA模型。,22,(1) 数据转换（Data Transformation）,在配备一个合适的ARMA模型之前允许转换序列：,(1) 缺省是不转换；,(2) Auto选择是根据计算出来的AIC准则自动确定是不做转换还是进行对数转换；,(3) Logistic选择将序列,y,转换为 log(,y,/(1-,y,)，序列的值被定义在0和1之间；,(4) Box-Cox power选择要求提供一个参数,，做下列转换：,23,(2),ARIMA说明(ARIMA Spec),允许在2种不同的方法中选择ARIMA模型。,Specify in-line,选择,要求提供ARIMA模型阶数的说明（p d q）(P D Q),p,非季节的AR阶数,d,非季节的差分阶数,q,非季节的MA阶数,P,季节AR阶数,D,季节差分阶数,Q,季节MA阶数,24,缺省的指定是“(0 1 1)(0 1 1)”是指季节的IMA模型：,L,是滞后算子，这里季节差分是指 (1,L,s,),y,t,=,y,t,y,t,s,，季度数据时,s,=4；月度数据时,s,=12。下面是一些例子：,注意在模型中总的AR、MA、和差分的系数不超过25；AR或MA参数的最大延迟为24；在ARIMA因子中的最大差分阶数不超过3。,25,Select from file,选择,X12将从一个外部文件提供的说明集合中选择ARIMA模型。EViews将利用一个包含一系列缺省模型指定说明的文件（X12A.MDL）：,(0 1 1)(0 1 1) *,(0 1 2)(0 1 1) X,(2 1 0)(0 1 1) X,(0 2 2)(0 1 1) X,(2 1 2)(0 1 1),缺省说明用“*”表示，除最后一个外，中间的用“X”结尾。有2个选择：,Select best 检验列表中的所有模型，选一个最小预测误差的模型，缺省是第一个模型。,Select by out-of-sample-fit 对模型的评价用外部样本误差，缺省是用内部样本预测误差。,26,(3),回归因子选择（,Regressors,）,允许在ARIMA模型中指定一些外生回归因子，利用多选钮可选择常数项，或季节虚拟变量，事先定义的回归因子可以捕捉贸易日和节假日的影响。,三、贸易日和节假日影响,可以在进行季节调整和利用ARIMA模型得到用于季节调整的向前/向后预测值之前，先去掉确定性的影响（例如节假日和贸易日影响）。首先要选择（Ajustment Option）是否进行这项调整？，确定在那一个步骤里调整：在ARIMA步骤，还是X-11步骤？,27, Trading Day Effects消除贸易日影响有2种选择，依赖于序列是流量序列还是存量序列（诸如存货）。对于流量序列还有2种选择，是对周工作日影响进行调整还是对仅对周日-周末影响进行调整。存量序列仅对月度序列进行调整，需给出被观测序列的月天数。, Holiday effects 仅对流量序列做节假日调整。对每一个节日，必须提供一个数，是到这个节日之前影响的持续天数。,Easter 复活节,Labor 美国、加拿大的劳工节，九月第一个星期一,Thanksgiving 感恩节（在美国为11月第4个星期4；加拿大为10月第2个星期1）,Christmas 圣诞节,注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。,28,四、外部影响,(Outlier Effects),外部影响调整也是分别在ARIMA步骤和X11步骤中进行。然而，必须在X11步骤中作了贸易日/节日调整，才能在X11步骤中做外部调整，而且只能做附加的外部调整；,在ARIMA步骤中有4种外部调整：,附加的外部调整；,水平变换；,暂时的水平变化；,弯道影响。,29,五、诊断,（Diagnostics）,这项选择提供了各种诊断：, 季节因素的稳定性分析,（Stability Analysis of Seasonals）, Sliding spans 移动间距 检验被调整序列在固定大小的移动样本上的变化；, Historical revisions 历史修正检验被调整序列增加一个新观测值，即增加一个样本时的变化。, 其他诊断,（Other Diagnostics）,还可以选择显示各种诊断输出。,30,2. X11,方法,X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型适用于序列可被分解为趋势项与季节项的乘积，加法模型适用于序列可被分解为趋势项与季节项的和。乘法模型只适用于序列值都为正的情形。,31,如果在季节调整对话框中选择X-11选项，调整后的序列及因子序列会被自动存入EViews工作文件中，在过程的结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。,关于调整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA，但也可以改变调整后的序列名，这将被存储在工作文件中。,需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X-11只作用于含季节数据的序列，需要至少4整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。,32,3.,移动平均方法,X-11法与移动平均法的最大不同是：X-11法中季节因子年与年有可能不同，而在移动平均法中，季节因子被假设为是一样的。,33,Tramo(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)是对具有缺失观测值，ARIMA误差、几种外部影响的回归模型完成估计、预测和插值的程序。,Seats(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型的将可观测时间序列分解为不可观测分量的程序。这两个程序是有Victor Gomez 和Agustin Maravall 开发的。,当选择了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时，EViews执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回EViews。,4. tramo/Seats,方法,34,2.3,趋势分解,本章第2节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA方法)、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency (band-pass) filer， BP滤波）。本节主要介绍HP滤波方法。,35,2.3.1 Hodrick-Prescott（HP）,滤波,在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长期趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。,设,Y,t,是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，,Y,t,T,是其中含有的趋势成分， ,Y,t,C,是其中含有的波动成分。则,(2.3.1),计算HP滤波就是从,Y,t,中将,Y,t,T, 分离出来 。,36,一般地，时间序列,Y,t,中的不可观测部分趋势,Y,t,T,常被定义为下面最小化问题的解：,(2.3.2),其中：,c,(,L,)是延迟算子多项式,(2.3.3),将式(2.3.3)代入式(2.3.2)，则HP滤波的问题就是使下面损失函数最小，即,(2.3.4),37,最小化问题用,c,(,L,),Y,t,T,2,来调整趋势的变化，并随着,的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。,= 0 时，满足最小化问题的趋势等于序列,Y,t,；,增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即,越大，估计趋势越光滑；,趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地，,的取值如下：,38,HP滤波的运用比较灵活，它不象阶段平均法那样依赖于经济周期峰和谷的确定。它把经济周期看成宏观经济波动对某些缓慢变动路径的偏离，这种路径在期间内单调地增长，所以称之为趋势。HP滤波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱。,39,使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Procs/ Hodrick Prescott Filter出现下面的HP滤波对话框：,首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。,40,例,2.2,利用,HP,滤波方法求经济时间序列的趋势项,T,利用HP滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间序列和中国GDP季度时间序列的趋势项。,图2.4 实线表示GDP序列、,虚线表示趋势T序列,图2.5 实线表示社会消费品零售总额、,虚线表示趋势T序列,41,例,2.2,利用,HP,滤波方法求潜在产出和产出缺口,设,Y,t,为我国的季度,GDP,指标，利用季节调整方法将GDP中的季节因素和不规则因素去掉，得到,GDP_TC,序列。本例的潜在产出,Y,*,即趋势利用,HP,滤波计算出来的,Y,t,T,来代替，,GDP,的循环要素,Y,t,序列由式,(2.3.6),计算：,(2.3.6),图2.6 蓝线表示GDP的 TC序列、,红线表示趋势序列,图2.7 GDP的循环要素 序列,42,图2.7显示的GDP的循环要素,Y,t,C,序列实际上就是围绕趋势线上下的波动，称为GDP缺口序列。它是一个绝对量的产出缺口。也可以用相对量表示产出缺口，本例用,Gap,t,来表示相对产出缺口，可由下式计算得到：,(2.3.7),图2.8 通货膨胀率(红线),产出缺口 (蓝线),43,2,.3.2,指数平滑,指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。下面，我们对 EViews中的指数平滑法作简要讨论。,44,要用指数平滑法预测，选择Procs/Exponential Smoothing 显示如下对话框,45,1,平滑方法,在5种方法中选择一种方法。,2,平滑参数,既可以指定平滑参数也可以让EViews估计它们的值。要估计参数，在填充区内输入字母e，EViews估计使误差平方和最小的参数值。如果估计参数值趋于1，这表明序列趋于随机游走，最近的值对估计将来值最有用。要指定参数值，在填充区内输入参数值，所有参数值在0-1之间，如果你输入的参数值超出这一区间，EViews将会估计这个参数。,46,3,平滑后的序列名,可以为平滑后的序列指定一个名字，EViews在原序列后加SM指定平滑后的序列名，也可以改变。,4,估计样本,必须指定预测的样本区间（不管是否选择估计参数）。缺省值是当前工作文件的样本区间。EViews将从样本区间末尾开始计算预测值。,5,季节循环,可以改变每年的季节数（缺省值为每年12个月、4个季度）。这个选项允许预测不规则间距的数据，在空白处输入循环数。,47,1,.,单指数平滑（一个参数）,这种单指数平滑方法适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，无趋势及季节要素。,y,t,平滑后的序列 计算式如下, ,t,= 2, 3, ,T,其中: ,为平滑因子。,越小， 越平缓，重复迭代，可得到,由此可知为什么这种方法叫指数平滑，,y,的预测值是,y,过去值的加权平均，而权数被定义为以时间为指数的形式。,48,单指数平滑的预测对所有未来的观测值都是常数。这个常数为 （对所有的,k,0）,T,是估计样本的期末值。要开始递归，我们需要 和,的初值。EView使用原来观测值的均值来开始递归。Bowermen和OConnell（1979）建议,值在0.01到0.03之间较好。也可以让EViews估计使一步预测误差平方和最小的,值。,49,2,.,双指数平滑（一个参数）,这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线性趋势的序列。序列y的双指数平滑以递归形式定义为,其中: 0, 1,S,t,是单指数平滑后的序列，,D,t,是双指数平滑序列。注意双指数平滑是阻尼因子为 0, 1,的单指数平滑方法。,50,双指数平滑的预测如下,最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为 2,S,T,D,T,，斜率为,(,S,T,D,T,),/,(1,)，,T,是估计样本的期末值。,51,3,.,Holt-Winters,无季节趋势（两个参数）,这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。,y,t,平滑后的序列 由下式给出,其中:,a,表示截距；,b,表示斜率, 即趋势。,52,这两个参数由如下递归式定义,其中:,k, 0 ,在0-1之间，为阻尼因子。这是一种有两个参数的指数平滑法。,预测值计算如下,这些预测值具有线性趋势，截距为,a,T,，斜率为,b,T,，,T,是估计样本的期末值。,53,4,.,Holt-Winter,加法模型（三个参数）,该方法适用于具有线性时间趋势和加法模型的季节变差。,y,t,平滑后的序列 由下式给出,其中：,a,t,表示截距，,b,t,表示斜率，,a,t,+,b,t,k,表示趋势，,S,t,为加法模型的季节因子，,s,表示季节周期长度，月度数据,s,=12，季度数据,s,= 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。,54,这三个系数由下面的递归式定义,其中：,k, 0，,，,，,在,01,之间，为阻尼因子。预测值由下式计算,其中：,S,T+k-s,用样本数据最后一年的季节因子，,T,是估计样本的期末值。,55,5,.,Holt-winters,乘法模型（三个参数）,这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。,y,t,的平滑序列 由下式给出,其中：,a,t,表示截距，,b,t,表示斜率，,a,t,+,b,t,k,表示趋势，,S,t,为乘法模型的季节因子，,s,表示季节周期长度，月度数据,s,=12，季度数据,s,= 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。,56,这三个系数定义如下,其中：,k, 0，,，,，,在01之间，为阻尼因子。预测值由下式计算,其中：,S,T+k-s,用样本数据最后一年的季节因子，,T,是估计样本的期末值。,57,例2.7 指数平滑方法应用,本例利用指数平滑方法对我国上证收盘指数（时间范围：1991年1月-2003年3月）的月度时间序列 (sh_s) 进行拟合和预测。采用五种平滑模型对1991年1月-2002年9月的数据做指数平滑，并利用预测公式得到2002年10月-2003年3月半年的预测值。,58,