总结向量组的有关结论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,总结:,向量组的有关结论,一、,理解,A=BC,二、,S,的,极大无关组,(1),定义,(2),S,则 可被极大无关组线表,且表法唯一,(3),S,与,极大无关组;,极大无关组,极大无关组,(4),S,的各,极大无关组含向量个数相等,-秩,三、,重要结论,Pr,(,5,),Th4.4,组,(I),可被,(II),线表示,(I),无关,r,s,组,(I),与,(II),等价,(I)(II),无关,r,=,s,推,1,推,3,组,(I),可被,(II),线表,秩,(I),秩,(II),组,(I),与,(II),等价,秩,(I),=,秩,(II),四、,秩、极大无关组、表示系数的求法,Th4.5,1,将,A,=,=,B,行,秩,等,;,极大无关组的位置对应相同;,表示系数对应相同,当 时,n,维列向量组,S,:,则向量组 与,见,P81-44,初等变换法,极大无关组和秩的求法,行初等变换不改变,A,的秩,不改变,列向量组,之间的,线性关系.,2,求矩阵,A,列,向量组的一个极大无关组和秩, 并把其余列向量用所求出,的极大无关组线性表示.,解,通过初等,行,变换把,A,化为行最简形,例4,3,为一个极大无关组,4,设有向量组,1,0,1,0,=,，,=,1,1,0,0,=,2,1,1,0,=,0,0,1,1,，,，,求向量组的,(1),秩;(,2),极大无关组;,(3),表示系数.,解法1,设,1 1 2 0,0 1 1 0,1 0 1 1,0 0 0 1,A,=,=,是该向量组的一个极大无关组.,1 1 0 0 1 1 0 0 1,D,=,=,1,0,由,而,|,A,|=,0,知秩,=,3,例5,5,解法2,设,A,=,1 1 2 0,0 1 1 0,1 0 1 1,0 0 0 1,=,1 1 2 0,0 1 1 0,0 0 0 1,0 0 0 0,行,A,1 0 1 0,0 1 1 0,0 0 0 1,0 0 0 0,行,=,B,=,(2),是该向量组的一个极大无关组,(,和 也是,),.,=,(3),(1),秩,=,3,;,6,例题选讲,7,判断以下命题是否正确？,(1) 假设向量组线性相关, 那么其中每一向量都,是其余向量的线性组合.,解 不正确. 如e1,e2,2e2线性相关, e1不能用,e2, 2e2线性表示 (ei是第i个单位向量).,(2) 假设 不能表为1,2线性组合,那么 ,1,2,线性无关.,解 不正确.上例.,例1,8,(3) 假设一个向量组线性无关, 那么其中每一向,量都不是其余向量的线性组合.,解 正确. 用反证法:假设存在一向量是其余,向量的线性组合, 那么线性相关.,(4) 假设1,2线性相关, 1,2线性相关, 那么,1+1, 2+2也线性相关.,解 不正确.如(1,0), (2,0)线性相关, (0,1),(0,3) 线性相关, 但(1,1), (2,3) 线性无关;,9,(5) 假设1,2,3线性相关, 那么1+2, 2+3,3+1也线性相关.,解 正确. 不妨设1可由2,3线性表示, 那么,1+2,2+3,3+1可由2,3线性表示.,(6) 1, 2, m线性无关 1, 2, m,中任何两个都线性无关.,解,不正确,.,只是必要条件,非充分.,反例,两两无关, 但,线性相关,.,10,设向量组, , 线性无关, , , 线性,相关, 以下命题正确的选项是( ).,(A) 可以由, , 线性表示;,(B) 不可由, , 线性表示.,(C) 可以由, , 线性表示;,(D) 不可由, , 线性表示.,例2,11,重要结论,设,线性无关,且,=,K,mt,特别地,当,m= t,时,线性无关,线性相关,例3,P124-25,则,线性无关,线性相关,12,证,故,线性无关,线性相关,13,设,1,2,n,线(,n,2,),性无关,讨论向量,组,1,+,2,2,+,3, ,n,+,1,的线性相关性,.,解,(,1,+,2,2,+,3, ,n,+,1,),= (,1,2,n,),K,其中,K,是如下的,n,阶矩阵,:,例4,14,根据前面我们得到的结论,1,+,2,2,+,3, ,n,+,1,的线性相关,|,K,|=,0,.,计算,|,K,|,按第一行展开,|,K,|=,1+(,-,1),1+n,故 当,n,为,奇数,时,|,K,|=,2,0,，,K,可逆,1,+,2,2,+,3,n,+,1,线性无关,;,当,n,为,偶数,时,|,K,|=,0，,K,不可逆,1,+,2,2,+,3, ,n,+,1,线性相关,.,15,例5,设向量组 与,1,2,m,1,2,m,的秩相等,证明两向量组等价.,证,(,I,):,(,II,):,1,2,m,1,2,m,R,(,I,)=,R,(,II,)=,r,不妨设,1,2,r,是,(,I,),的极大无关组,由,(,I,),与,(,II,),等秩知,1,2,r,也,是,(,II,),的极大无关组,所以,能由,1,2,r,线性表示,即,也能由,(,I,),线性表示.,所以,(,I,),与,(,II,),等价.,显然,(,I,),能由,(,II,),线性表示,只须证,能由,(,I,),线性表示即可.,16,例6,设向量组,1,2,m,与,1,2,s,的秩,相等,且,1,2,m,可由,1,2,s,线性,表示,证明两向量组等价,.,证法1,设,(,I,):,(,II,):,1,2,s,1,2,m,R,(,I,)=,R,(,II,)=,r,因为,(,I,),能由,(,II,),线性表示,所以,(,I,),能由,(,II,),线性表示,(,I,):,1,2,r,为,(,I,),的极大无关组;,(,II,):,1,2,r,为,(,II,),的极大无关组.,17,即,可得,C,可逆.,所以,即,(,II,),能由,(,I,),线性表示,故,(,I,),与,(,II,),等价,(,I,),与,(,II,),等价.,证法2,见习题解答.,18,设向量组1, 2, m的秩为r, 证明,其中任意选取s个向量所构成的向量组的,秩r+s-m.,证法1 从原向量组中任意删去一个向量,秩最多减少1, 这样去掉没有被选取的m-s,个向量,秩最多减少m-s. 因此,剩下的s个向量的秩r-(m-s)=r+s-m.,证法2 设取出的向量组为(I), 剩下的向量,组为(II), 那么,rr(I)+r(II) r(I)+m-sr(I) r+s-m,例7,19,例8,已知,3,阶矩阵,A,及,3,维列向量,x,使向量组,线性无关,且满足, 记,求,3,阶方阵,C,使 .,解,=,BC,线性无关,唯一.,20,例9,n,维列向量组,1,2,n,线性无关,证,设,A,=(,1,2,n,),故,1,2,n,线性无关,21,1.定义,数域,F,上的,n,维向量,构成的非空集,合,V,且对向量的线性运算封闭,即,4.3.2,线性空间,(加法封闭),(数乘封闭),如,0,V,都是向量空间,.,那么称V为数域F上的线性空间.,是,线性,空间.,不是,线性,空间.,例1,22,V,1,V,2,是同一数域F上的线性空间,假设V1 V2,那么称V1是V2的子空间.,0,和,R,3,都,是,R,3,的子空间,称为平凡子空间,.,其中 是 的子空间.,V,例2,即,V,对,加法不封闭,从而不构成子空间,.,V,=(,1,0,-,z,),T,|,z,R,不是,R,3,的子空间,.,2.子空间,23,由线性空间的封闭性知,除,0,空间外都,含有无穷多个向量,所以有必要研究线,性空间的结构.,1.定义 设V是线性空间, 称V的极大无关组,为V的基. V的基所含向量的个数为,V的维数. 假设V的维数为r,那么称V为r,维线性空间,记作 dimV=r.,规定:dim 0 =0.,4.5,基、维数,与,坐标,4.5.1,线性空间的,基、维数,与,坐标,24,本书只讨论有限维,线性,空间,2.,有限维向量空间:,0,维与,r,维的,线性,空间.,设,e,1,e,2,e,n,是,n,维,线性,空间,R,n,的一组基,.,称为 的,自然基,且,dim(,R,n,)=,n,.,R,n,基的概念是坐标系概念的推广,n,维向量,是,R,n,的一组基,线性无关.,例3,25,设,是,F,上,n,维,线性,空间,使,称,x,1,x,2,x,n,为,在基 下的,坐标,.,3,.坐标:,由基 线性表示,且表法,唯一,.,的一个基,对,26,4,.,线性空间的构成,与其等价的线性无关组,是,那么,可看成由基,生成的,线性,空间,.,(2),若,是 的基,也是 的基.,(1,),为线性空间 的一个基,若,27,(3),对应,向量组,线性,空间,极大无关组,基,表示系数,坐标,秩,维数,设,证明,是 的一个基,并求 在,这个基下的坐标.,例,4,28,解,由,是 的一个基.,那么,关于这个基的坐标是,知,29,问题:,同一个向量在不同基下的坐标有什,么关系,?,或者说基改变影响坐标如何改,变,?,这就是,基变换与坐标变换的问题,.,坐标变换,30,及 是,V,的两个基,且,即,称为基变换公式,.,1.基变换公式,31,称,可逆阵,为由基,的,过渡矩阵.,到基,2,.,过渡矩阵,为了得到,n,维向量空间,V,中一个向量在不,同基下坐标之间的关系,先证明下面定理,.,32,3,.,坐标变换公式,X,=(,x,1,x,2, ,x,n,),T,和,Y,=(,y,1,y,2, ,y,n,),T,X=PY,或,Y=,P,-,1,X,定理4.6,设向量空间,V,的基,到基,的过渡矩阵是,P,如果向量,在两组基下的坐标分别是,那么有坐标变换公式,33,证,34,比较两式右端, 可以得到,由,P,可逆,得到,:,X=PY,或,Y=P,-,1,X,35,对于向量空间,要掌握解决下面根本,问题的方法:,1. 判断给定的集合关于所定义的运算,是不是向量空间.,2. 求给定向量空间的基和维数.,3. 求不同基之间的过渡矩阵.,4. 求向量在指定基下的坐标.,内容总结与方法提示,36,方法:,初等变换法,:,求不同基之间的过渡矩阵,37,方法,:,方法1.,解方程组法,方法2,.,初等变换法,:,求,n,维列向量,在基 下的坐标,.,求向量在指定基下的坐标,方法3,.,利用基变换与坐标变换的关系,那么 X = PY 或 Y = P-1X,38,例1,在 中有两个基,求,(1),由基 到 的过渡矩阵,(2),在基 和,下的坐标,.,解法1,(1),39,解法2,40,(2),41,再见,预习,P,105-109,欧氏空间,42,