9-2多属性决策

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9 多属性决策,9.7 确定权的常用方法(AHP法),9.8 权的灵敏度分析,9.9 TOPSIS法,9.10 基于估计相对位置的方案排队法,9.11 ELECTRE法,9.12 PROMETHEE法,9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,1,9.7 确定权的常用方法,1) 最小二乘法,2) 本征向量法,3) 层次分析法(AHP),2,1) 最小二乘法,3,目标重要性判断矩阵A中元素的取值,相对重,要程度,定 义,说 明,1,同等重要,两个目标同样重要,3,略微重要,由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要些,5,相当重要,由经验或判断，认为一个目标比另一个重要,7,明显重要,深感一个目标比另一个重要,且这种重要性已有实践证明,9,绝对重要,强烈的感到一个目标比另一个重要的多,2,4,6,8,两个相邻判断的中间值,需要折衷时采用,4,1) 最小二乘法,5,1) 最小二乘法,6,2) 本征向量法,7,一致性检验,8,3) 层次分析法(AHP),9,第四步 方案排序,10,Saaty求最大本征值的近似算法,11,例1:买车(AHP法确定权),备选车,价格 (万元),y1,油耗 (升/百公里),y2,舒适度,y3,x1,40,25,10,x2,15,18,3,x3,25,10,6,x4,35,15,8,12,步骤1: 构造矩阵A,13,步骤2:求权重,(1),A中每行元素连乘并开n次方:,(2),w,i,*,规范化,:,14,步骤2:求权重,规范化: w,1,*+ w,2,*+ w,3,*=4.39,w,1,=w,1,* /4.39=2.62/4.39=0.6,w,2,=w,2,* /4.39=1.52/4.39=0.35,w,3,=w,3,* /4.39=0.25/4.39=0.05,15,步骤3:一致性检验,(1),A,中每列元素求和,:,(2),计算,max,的值,(3),与,临界值,max,比较,:,16,步骤3:一致性检验,S1=1+1/2+1/9,=1.61,S2=2+1+1/7,=3.14,S3=9+7+1,=17,W1=0.6,W2=0.35,W3=0.05,max =0.6,1.61+0.35 3.14+0.05 17= 2.9150 x3 x4 x1,19,例2:层次分析法,例9.3,设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平和工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A为：,20,权重的本征向量,21,属性值的AHP法,三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。,22,属性的最大本征值,23,属性值的调整,调整前,调整后,24,结果,25,9.8 权的灵敏度分析,灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会影响决策结果。,例子：买车。为了简化分析，我们做了如下假设：w1=w2，有：,w1+w2+w3=1，则：w1+w2=1-w3，其中w3,0,1；,由于w1=w2，则： w1=w2=(1-w3,)/2。,26,综合评价值,备选车,价格 (万元),y1,w1,=(1-w3,)/2,油耗 (升/百公里),y2,w2,=(1-w3,)/2,舒适度,y3,w3,综合评价值,(Ci),x1,0,0,1.0000,w3,x2,1.0,0.4667,0,0.73-0.73*w3,x3,0.6,1.0000,0.4286,0.8-1.23*w3,x4,0.2,0.6667,0.7143,0.43-1.14*w3,27,权的灵敏度分析结果,C1,C2,C3,C4,28,9.9 TOPSIS法,TOPSIS是,逼近理想解的排序方法,（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）的英文缩略。它借助多属性问题的,理想解,和,负理想解,给方案集X中各方案排序。,29,2TOPSIS法的算法步骤,30,2TOPSIS法的算法步骤,31,2TOPSIS法的算法步骤,32,2TOPSIS法的算法步骤,33,例1:用TOPSIS法解”买车”问题,效益指标,成本指标,备选车,价格 (万元),y1,(w1=0.6),油耗 (升/百公里),y2,(w2=0.35),舒适度,y3,(w3=0.05),x1,40,25,10,x2,15,18,3,x3,25,10,6,x4,35,15,8,成本指标,34,步骤1:规范化,备选车,价格,(,万元,),y1,(w1=0.6),油耗,(,升,/,百公里,),y2,(w2=0.35),舒适度,y3,(w3=0.05),x1,0.6598,0.7004,0.6917,x2,0.2474,0.5043,0.2075,x3,0.4124,0.2802,0.4150,x4,0.5774,0.4202,0.5534,35,步骤2:加权规范阵,备选车,价格,(,万元,),y1,(w1=0.6),油耗,(,升,/,百公里,),y2,(w2=0.35),舒适度,y3,(w3=0.05),x1,0.3959,0.2451,0.0346,x2,0.1485,0.1765,0.0104,x3,0.2474,0.0981,0.0208,x4,0.3464,0.1471,0.0277,36,步骤3:理想解与负理想解,x*=0.1485, 0.0981, 0.0346,x,0,=0.3959, 0.2451, 0.0104,37,步骤4:距离计算与排序,方案排序:x2x3x4x1,38,例2:用TOPSIS法解例9.2,设决策人设定的各属性权重分别为,(0.2,0.3,0.4,0.1),效益指标,效益指标,成本指标,区间指标,39,步骤1:数据预处理,40,步骤1:规范化,41,步骤2:加权规范阵,42,步骤3:理想解与负理想解,x*=0.1939, 0.2000, 0.2782, 0.0165,x,0,=0.0069, 0.0000, 0.0158, 0.0648,43,步骤4:距离计算与排序,方案排序:x1x2x4x5x3,44,9.10 基于估计相对位置的方案排队法,前面几节介绍的求解多属性决策问题的方法，包括加权和法，字典序法，加权积法和逼近理想点的排队法,(TOPSIS,法,),，以及后面要介绍的,ELECTRE,法等等，都需要有较多的初始信息，,需要在事先给出决策矩阵,，即需要给出每个备选方案的各属性的数值。,但在很多实际问题中，总有一些,属性无法或很难量化,，这时就给不出决策矩阵，决策人只能给出,每个目标下各方案的优劣次序,。例如，选择干部问题，要给出每个候选人的德、才、体的属性值是令人伤脑筋的事，但要决策人按照德、才、体这几个方面分别排出候选人的优劣次序却并不困难。,对这种可以给出,序数信息,，但,给不出基数信息,的问题，应当有适当的方法求解。,Navarrete,1979,提出的基于估计相对位置的方案排队法是求解这类问题的一种较好的方法。,45,1. 方案优先关系的表述,首先根据各方案对在各目标下的,优先次序,（即序数信息）及各目标的,权重,进行排序。各方案间的优先关系可以用语言说明，也可以用第三章介绍和等符号描述。但是它们都不如指向图直观，也不如0-1矩阵便于运算。,46, 指向图,指向图用小圆表示,方案,，称为节点；,有向弧表示优先关系,，,箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点,。例如，若,x,i,x,k,，则有向弧从节点,x,i,出发，指向节点,x,k,；若,x,i,x,k,，则在,x,i,和,x,k,之间画两条有向弧，一条从从,x,i,指向,x,k,，另一条从从,x,k,指向,x,i,；,若方案,x,i,与,x,k,不可比，则节点x,k,和x,i,之间不画有向弧,。,图9.6所示为某个方案集中各方案的指向图。其中方案,x,1优于方案,x,2和,x,3，方案,x,1与方案,x,4无差异，方案,x,1和方案,x,5不可比。,47,(2),表示优先关系的0-1矩阵,优先关系还可以用0-1矩阵（或称优先关系表）P=,p,ik,mm,来表示。与图9.6对应的优先关系表如表9.15所示。其中，,若,x,i,x,k,，则,p,ik,1，,p,ki,0；若,x,i,x,k,，则,p,ik,p,ki,1；若,x,i,与,x,k,不可比，则,p,ik,p,ki,0,。,48,(2),表示优先关系的0-1矩阵,利用指向图或优先关系表可以方便地确定方案集,X,中各方案的排序。对指向图，可以设,从,x,i,发出的有向弧为,r,i,条，指向,x,i,的有向弧有,q,i,条,，则排队指示值,:,v,i,r,i,q,i,v,i,的值越大，方案,x,i,越优，根据,v,i,的大小可以排定方案集中各方案的优劣。,对,0-1,矩阵，,x,i,所在,行,中元素为,1,的个数,（,不包括对角线上的元素,）记为,r,i,，,元素为,0,的个数记为,q,i,，仍用上式计算排队指示值。,49,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,第一步 由决策人设定各目标或属性,j,的权,w,j,，,j,1,2,n,，且使 。,第二步 对每一目标或属性,j,，进行方案的成对比较,给出优先关系矩阵或指向图。,x,i,的第,j,个属性值优于,x,k,的第,j,个属性值记作,(,x,i,x,k,),j,，,x,k,的第,j,个属性值优于,x,i,的第,j,个属性值记作,(,x,i,x,k,),j,的各目标,j,的权相加，记作,w,(,x,i,x,k,)，即:,w,(,x,i,x,k,),类似地，把,xi,x,k,的各目标的权相加，记作,w,(,x,i,x,k,)，把,x,i,x,k,的各目标的权相加，记作,w,(,x,i,x,k,若,A,(,x,i,，,x,k,)1/,A,则,x,i,xk,若 1/,A,A,(,x,i,，,x,k,),A,则,x,i,xk, 根据上面判定的方案总体优劣，画出方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表。,53,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,4. 第四步 计算方案,x,i,的总体优劣的排队指标值,根据方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表，可以计算方案,x,i,的总体优劣的排队指标值,i,1,2,m,5. 第五步 按,v,i,的大小排定方案集X中各方案,x,i,(,i,=1,2,m,）的优劣次序。,54,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,55,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,56,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,57,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,58,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,59,评 注,基于估计相对位置的方案排队法采用,序数信息,判断方案间的优劣，它所要求的信息较少，这是一大优点；与此同时，因为没有决策矩阵中的基数信息，所以不能反映方案集,X,中各方案在各自标下的优先程度，,评价可靠性欠佳,，这又是该方法的缺点。所以凡是属性值均能定量表示，能给出决策矩阵的，不宜采用这种方法。,基于估计相对位置的方案排序法的评价结果也是,平局太多,。在方案数较小时，方案之间出现平局的可能性较大。,60,9.11 ELECTRE法,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,9.11.2 ELECTRE-I法,9.11.3 ELECTRE-II法,9.11.4 其他ELECTRE法,9.11.5 讨论,61,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,这种方法是法国人Roy (1971)首先提出的，它所构建的是一种较弱的次序关系，叫,级别高于关系,(Outranking Relation)。,定义9.1,级别高于关系,给定方案集,X,，,x,i,，,x,k,X,，给定决策人的偏好次序和属性矩阵,y,ij,，当人们有理由相信,x,i,x,k,，则称,x,i,的级别高于,x,k,，,记作,x,i,O,x,k,。,需要注意的是，级别高于关系是建立在决策人愿望承担因承认,x,i,x,k,所产生的风险的基础上的。,62,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,定义9.2,级别无差异,给定方案集,X,，,x,i,，,x,k,X,，当且仅当,X,中存在,u,1,u,2,u,r,；,v,1,v,2,v,s,；,r,1，,s,1，使,x,i,O,x,k,（或者,x,i,O,u,1,，,u,1,O,u,2,，,u,r,O,x,k,）且,x,k,O,x,i,（或者,x,k,O,v,1,，,v,1,O,v,2,， ，,v,s,O,x,i,），则称,x,i,与,x,k,级别无差异,，记作,x,i,Ir,x,k,。,63,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,级别高于关系的性质,1),弱传递性，即,:,x,i,O,x,0,且,y,(,x,0,),y,(,x,k,),x,i,O,x,k,或者,:,y,(,x,i,),y,(,x,0,),且,x,0,O,x,k,x,i,O,x,k,2),自反性。显然，,x,O,x,和,x,I,r,x,均成立。,3),I,r,是对称的。,4),允许不可比。上面所定义的级别高于关系不要求连通性，它允许,X,中的方案对不可比。,64,9.11.2 ELECTRE-法,ELECTRE-法求解多属性决策主要问题包括两个部分，一是构造级别高于关系，二是利用所构造的级别高于关系对方案集中的方案进行排序。下面分别介绍。,1. 级别高于关系的构造,级别高于关系的构造以,决策矩阵,Y,y,ij,为基础，决策矩阵不作规范化。对于X中的每对方案,x,i,与,x,k,，为了判定是否存在级别高于关系O，需要进行,和谐性检验,(concordance test)和,非不和谐性检验,(non- discordance test) 。,65,ELECTRE-法步骤,66,9.11.2 ELECTRE-法,67,9.11.2 ELECTRE-法,68,9.11.2 ELECTRE-法,69,9.11.2 ELECTRE-法,70,9.11.2 ELECTRE-法,71,9.12 PROMETHEE法,9.12.1 优先函数,9.12.2 几种典型的优先函数,9.12.3 赋值的级别高于关系图,9.12.4 PROMETHEE-I法,9.12.5 PROMETHEE-II法,9.12.6 示例：研究生院综合评估,9.12.7 PROMETHEE法的特点,72,9.12.1 优先函数,73,9.12.1 优先函数,74,9.12.2 几种典型的优先函数,1. 常用准则(Usual Criterion),75,2. 拟准则(Quasi-Criterion),76,3. 具有线性优先关系的准则(Criterion with linear preference),77,4. 分级准则(Level-criterion),78,5. 具有无差异区间的线性优先关系准则(Criterion with linear preference and indifference area),79,6. 高斯准则(Gaussian criterion),80,优先指数的计算,81,PROMETHEE法,82,PROMETHEE法,83,PROMETHEE法,84,9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,在对方案集X中备选方案的数据预处理方法的不同，将有可能影响方案排序的结果。,在对方案集X中的备选方案排序过程中，为了使评价结果更可靠，可以根据问题的特点，在本章前面介绍的简单加权和法、层次分析法(AHP)、加权积法、TOPSIS法、ELECTRE法、基于估计相对位置的方案排队法、PROMETHEE等方法中同时选用几种适当的多属性决策方法求解，获得几种可能相同也可能不同。,85,9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,如果上一步所获得的方案集X中各备选方案的几种排序相同，则问题求解到此为止。,更一般的情况是不同方法的求解结果会有差别，这时需要对产生差别的原因进行分析，排除数据预处理不当和方法选用不当等情况。,86,作业6:,P245: 二、,1试用加权和法求解例 9.1，讨论权重的选择对决策的影响。,2设w,1,=2w,2,，用TOPSIS法求解例9.1。,87,