MPA联考数学-不定积分

*,第四章 不 定 积 分,求原来那个函数的问题,.,已知某曲线的切线斜率为,2,x,本章研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算,.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数,.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分,.,indefinite integral,1,第一节,不定积分,的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分公式,不定积分的性质,小结 思考题 作业,indefinite integral,第四章 不定积分,2,一、原函数与不定积分的概念,几何问题,解,例,设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点,处横坐标的两倍,求曲线的方程,.,设曲线方程为,满足此条件的函数有无穷多个,如,等都是,.,一般,所求曲线方程为,C,为,任意常数,.,不定积分的概念与性质,3,定义,1,例,1.,原函数,如果在区间,I,上,则称,或,原函数,.,一个,或由,知,是,原函数,.,也是,的原函数,其中,为任意常数,.,不定积分的概念与性质,4,一般,的原函数,(,C,为任意常数,),.,因,一个函数如果有原函数,就有无穷多个,.,在区间,I,上的一个,在区间,I,上的任一原函数都,其中,C,为,某一常数,.,则,定理,定理表明,:,的一整族函数,形如,是,f,(,x,),的全部原函数,.,原函数,结 论,的,形式,不定积分的概念与性质,可表为,5,故,证,的,另,一个原函数,则,又,只要找到,f,(,x,),的一个原函数,就知道,它的全部原函数,.,在区间,I,上的一个原函数,则,f,(,x,),在区间,I,上的任一原函数都可表为,其中,C,为,某一常数,.,定理,的,形式,要证,常数,因为,不定积分的概念与性质,导数恒为零的函数必为常数,某个常数,6,积分变量,积分常数,被积函数,定义,2,被积表达式,2.,不定积分,不定积分,.,(1),定义,全部原函数的一般表达式,称为函数,f,(,x,),的,总和,(,summa),记为,不定积分的概念与性质,积分号,7,1.,被积函数是原函数的导数,被积表达式是,原函数的微分,.,2.,不定积分表示那些导数等于被积函数的所,或说其微分等于被积表达式的所,有,函数,.,有函数,.,因此,绝不能漏写积分常数,C.,3.,求已知函数的原函数或不定积分的运算称,为积分运算,它是微分运算的逆运算,.,不定积分的概念与性质,8,例,求,解,解,例,不定积分的概念与性质,9,(,2),不定积分的几何意义,积分曲线,称为,的,积分曲线,.,的图形,向平行于,y,轴的方向任意,上下移动,得出的无穷多条曲线,称为,的图形是,平面的一条曲线,是将曲线,族,.,不定积分的概念与性质,10,由于不论常数,C,取何值,同一,x,处其导数等于,f,(,x,),各切线相互平行,.,有积分曲线族,即,x,不定积分的概念与性质,11,不定积分的概念与性质,解,故所求曲线方程为,(3),积分常数的确定,求通过点 且其切线斜率为,2,x,曲线,.,例,在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数,C,的值,从而找出需要的原函数.,的曲线,族,为,有,12,解,例,所以,不定积分的概念与性质,13,（原函数存在定理）,连续函数一定有原函数,.,则它必有原函数,.,(4),原函数存在问题,定理,2,哪些函数有原函数,又如何求其原函数,不定积分的概念与性质,原函数是否必为连续函数,14,由不定积分的定义,结论,微分,运算与,求不定积分,的运算是,如,(1),或,或,互逆,的,.,二、不定积分的性质,不定积分的概念与性质,15,证,等式成立,.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,(2),(2),，,(3),称为线性性质,.,思考,:,k,=,0,等式是否成立,?,(3),不定积分的概念与性质,16,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式,结论,要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数,.,求导公式,积分公式,.,三、基本积分公式,不定积分的概念与性质,积分运算和微分运算是互逆的，,17,基本积分公式,(,k,是常数,),说明：,简写为,不定积分的概念与性质,18,不定积分的概念与性质,19,熟 记,不定积分的概念与性质,20,例,求积分,解,出一些简单函数的不定积分,称为,利用,不定积分的性质,和,基本积分公式,可求,由公式,直接积分法,.,不定积分的概念与性质,21,例,求积分,解,不定积分的概念与性质,22,例,求积分,解,不定积分的概念与性质,23,例,求积分,解,称为,分项积分法,.,分项积分法,利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形,不定积分的概念与性质,24,例,求积分,解,不定积分的概念与性质,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表,.,25,解,例,不定积分的概念与性质,26,解,所求曲线方程为,不定积分的概念与性质,已知一曲线,y,=,f,(,x,),在点,(,x,f,(,x,),处的切线,例,斜率为,且此曲线与,y,轴的交点为,(0,5),求此曲线的方程,.,27,练习,不定积分的概念与性质,28,练习,不定积分的概念与性质,29,熟记,基本积分公式,不定积分的性质,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,不定积分的概念与性质,不定积分的几何意义,30,应先将绝对值符号化掉,即将,|,x,|,化作分段函数,:,不定积分的概念与性质,思考题,解,31,因此在,x,=,0,处必连续,由于原函数可导,所以原函数必定连续,于是有,不定积分的概念与性质,32,例,求,解,法一,换元积分法,33,法二,换元积分法,34,例,解,原式,=,换元积分法,35,例,求,解,换元积分法,隐 凑,36,例,求,原式,解,换元积分法,37,例,解,原式,=,2.,某些三角函数,换元积分法,38,例,求,解,（,使用了三角函数恒等变形）,分步凑,法一,换元积分法,39,类似可推出,法二,换元积分法,40,例,求,解,换元积分法,41,例,求,解,凑微分,;,用,倍角公式,降幂,再积分,.,注,换元积分法,42,例,求,解,不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简,.,注,换元积分法,43,例,求,解,换元积分法,44,例,求,解,换元积分法,45,解,令,对此类题,一般可用下列各种解法,法一,思考题,1,换元积分法,46,法二,令,则,换元积分法,它是,函数,此方法中应注意,的涵义,47,求,解,思考题,2,换元积分法,原式,=,48,作业,习题,4-2 (204,页,),2.,双数至,(32),换元积分法,49,二、第二换元积分法,有根式,解决方法,消去根式,困难,即,则,回代,换元积分法,50,对,积分,作变换,有公式,第二类换元公式,第二换元积分法,不易计算时,可作适当变换,化为不定积分,积分后再将,若积分,计算,代入,.,换元积分法,51,例,求,解,令,辅助三角形,回代,换元积分法,52,例,求,解,令,回代,辅助三角形,换元积分法,53,通过变换,利用相应的三角变换,相仿地,可算出,还可得到,重要公式,换元积分法,54,注,以上几例所使用的均为,三角代换的,目的,当,被积函数,中含有,令,令,令,双曲代换,回代时,一定要借助,辅助三角形,.,三角代换,.,是化掉根式,.,一般规律,:,双曲函数的恒等式,换元积分法,55,例,（三角代换很繁琐）,令,解,回代,换元积分法,56,三角代换,(,或双曲代换,),注,需根据被积函数的情况来定,.,积分中为了化掉根式是否一定采用,并不是绝对的,换元积分法,57,例,求,解,令,法一,原,式,=,回代,换元积分法,58,法二,原,式,=,回代,换元积分法,59,例,求,解,令,回代,换元积分法,60,例,令,解,法一,回代,换元积分法,倒代换,注,可用来消去分母中的变量,.,一些情况下,(,如被积函数是分式,分母的方幂,较高时,),61,法二,回代,还有别的方法吗？,换元积分法,62,法三,换元积分法,63,如,:,倒代换,对如下形式,都适用,.,换元积分法,64,例,求,解,令,（分母的阶较高）,换元积分法,65,回代,换元积分法,66,为各根指数的,最小公倍数,）,注,当被积函数含有两种或两种以上,的根式,时，,可采用令,（其中,换元积分法,67,例,令,解,换元积分法,68,基本积分表,(2),换元积分法,69,希,自己添加,!,换元积分法,70,练习,解,换元积分法,71,下列各题求积方法有何不同,?,思考题,换元积分法,72,两类换元积分法,凑微分,三角代换、倒代换、根式代换,熟记基本积分表,(2),三、小结,换元积分法,第一,换元积分法,:,第二,换元积分法,:,73,解,换元积分法,思考题,求积分,74,第三节 分部积分法,分部积分公式,例 题,小结 思考题 作业,integration by parts,第四章 不定积分,75,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则,.,分部积分公式,特点,被积函数是两个不同函数的乘积,具有连续导数,.,两边积分,一、,分部积分公式,分部积分法,76,恰当选取,u,和,d,v,是一个关键,v,要易求,;,分部积分公式,选取,u,和,d,v,的一般原则是,:,(1),(2),易求,.,分部积分法,77,例,求,解,显然,法一,法二,二、例 题,选择不当,积分更难进行,.,分部积分法,78,例,求,解,（再次使用分部积分法）,分部积分法,79,分部积分法,80,例,求,解,分部积分法,81,例,求,解,化简型,分部积分法,82,注,利用,可把,的积分,化为,分部积分法,83,分部积分法,例,求,解,注意循环形式,u,u,d,v,u,u,d,v,应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取,u,、,d,v,而直接套用公式,.(,对较简单的情况,),84,注意前后几次所选的 应为同类型函数,.,分部积分法,85,例,求,解,u,d,v,循环型,分部积分法,86,使用分部积分法的关键是正确地选取,(,因为“幂三指”好积,分部积分法,把被积函数视为两个函数的乘积,按,“反对幂三指”的顺序,前者为,后者为,常用的方法,:,自己简单,.),小结,“反对”的导数比它,87,有时在用分部积分之前,须先变形,.,例,求,解,分部积分法,88,分部积分法,2002,年考研数学三, 6,分,解,令,则有,于是,练习,在积分过程中常常兼用各种积分法,.,89,曾用换元积分做过,现可用分部积分做,!,例,u,分部积分法,90,d,v,u,利用分部积分法可以得到一些递推公式,:,例,试证递推公式,证,由分部积分法得,分部积分法,91,由此推出,分部积分法,92,利用这个递推公式及公式,递推型,如,递推型,递推公式,虽然积分没有具体求出来,但每用一次公式,n,就降低一次至两次,连续应用,.,分部积分法,93,练习,解,试比较一下哪种做法简单,.,分部积分法,94,分部积分公式,1.,原则,:,2.,经验,:,3.,题目,类型,:,化简型,;,循环型,;,递推型,.,三、小结,分部积分法,v,要易求,;,易求,.,“反对幂三指”的顺序,前为,后为,95,两边同时对,x,求导，,得,分部积分,解,分部积分法,思考题,96,