13行列式展开

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,手机 关了吗？,9/16/2024,1,1.3 行列式的展开定理,设,一、行列式按某行,(,列,),展开,1.,两个概念,(1),元素,a,ij,的余子式：在 中划去元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列元素，得到的,n,-1阶行列式。记,M,ij,(2),元素,a,ij,的,代数,余子式：,例,M,32,A,ij,(1),i,+,j,M,ij,A,23,=,(-1),2+3,M,23,=,9/16/2024,2,2. 行列式按某行,(,列,),展开定理,证明思路:,先,证,特殊,情形,再,证,一般,情形；,一般,情形的证明通过,转化为特殊,情形完成.,证先证,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,+,a,in,A,in,a,1,j,A,1,j,+,a,2,j,A,2,j,+,+,a,nj,A,nj,9/16/2024,3,次证,i,行逐一向下交换经,n,i,次至末行,j,列逐一向右交换经,n,j,次至末列,D,9/16/2024,4,(1),i,j,a,ij,M,ij,a,ij,A,ij,(1),i,j,a,ij,M,nn,由,9/16/2024,5,最后,证毕,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,+,a,in,A,in,由,6,典型例题:,例1.计算,解:法1,(化上三角形法),计算方法,D,57,化上(下)三角形法;降阶法.,?,！,9/16/2024,7,法2(降阶法),D,57,=,(-1),1+1,=,(-1),3+1,9/16/2024,8,利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多,0,的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将,某行(列),化到只剩一非零元时降阶处理. 例：,= 10,=,(-1),2+2,=5,(-1),2+3,9,例2 计算行列式,首列元素全是,1,第一行乘以,(,1),加到下面各行只能使下面元素变为,0,其它元素却没有规律,分析,利用,相邻两行元素较接近,的特点:从首行起,每行加其下行的,(,1),倍,按首列展开后再使用该手法,9/16/2024,10,解：,9/16/2024,11,例3 计算4阶,范德蒙,(Vandermonde),行列式,分析,相邻两行元素较接近!,末行始, 后一行加上其前行的(,-,x,1,)倍,a,11,下面元素都变为0,按首列展开,= (1),n,+1,x,n,-2,9/16/2024,12,按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始, 后一行加上其前行的(,x,2,)倍,解：,9/16/2024,13,=(,x,2,x,1,)(,x,3,x,1,)(,x,4,x,1,)(,x,3,x,2,)(,x,4,x,2,)(,x,4,x,3,),14,可以证明,n,阶“范德蒙行列式”,9/16/2024,15,3.推论:,行列式,某一行,(,列,)的各元素与,另一行,(,列,)的,对应,元素的,代数余子式,乘积之和,等于,零,.,即,第,s,行,理解：,第,s,行,0,a,i,1,A,s,1,+,a,i,2,A,s,2,+,+,a,in,A,sn,=0 (,i,s,),a,1,j,A,1,t,+,a,2,j,A,2,t,+,+,a,nj,A,nt,=0 (,j,t,),9/16/2024,16,综合定理及推论得 “,代数余子式的,重要性质,” :,例4 设,0,，计算,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,=,a,31,A,41,+,a,32,A,42,+,a,33,A,43,+,a,34,A,44,9/16/2024,17,分析,注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将,A,31,+,A,32,+,A,33,与,A,34,+,A,35,分别看成整体，列方程组求解。,解:,，求(1),A,31,+,A,32,+,A,33,(2),A,34,+,A,35,例5 设,a,21,A,31,+,a,22,A,32,+,a,23,A,33,+,a,24,A,34,+,a,25,A,35,0,a,41,A,31,+,a,42,A,32,+,a,43,A,33,+,a,44,A,34,+,a,45,A,35,0,2(,A,31,+,A,32,+,A,33,) +(,A,34,+,A,35,),0,(,A,31,+,A,32,+,A,33,)+2(,A,34,+,A,35,),0,A,31,+,A,32,+,A,33,=0,A,34,+,A,35,=0,18,解:,D,=,例6 设,，计算,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,a,31,A,41,+,a,32,A,42,+,a,33,A,43,+,a,34,A,44,0,a,41,A,41,+,a,42,A,42,+,a,43,A,43,+,a,44,A,44,D,(1)6,A,41,+,A,42,+2,A,43,+3,A,44,0,2,A,41,+2,A,42,+3,A,43,+4,A,44,D,两式相减得,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,D,(6),19,二、行列式按某,k,行,(,列,),展开,(,k,=1,的特例即是,一,),1.,几个概念,(1),k,阶子式：任选,k,行,k,列,k,阶行列式，记,M,(,a,ij,是行列式的一阶子式),(2),k,阶子式的余子式：划去,k,阶子式所在的,k,行,k,列,n,k,阶行列式，,记,M,(3),k,阶子式的代数余子式:,2.,行列式按某,k,行,(,列,),展开定理,(,拉普拉斯定理,),：,的所有,k,阶子式(共 个)与各自的代数余子式的乘积之和等于,D.,即：,行列式,D,中任意选定,k,行,(1,k,n,),这,k,行元素组成,D,M,1,A,1,M,2,A,2,M,t,A,t,( ),9/16/2024,20,例,7,用拉普拉斯定理,计算行列式,解：,1(3)(15)(1)(4)(9)(8)9,9/16/2024,21,例,8,计算行列式,解：,法二. 按第五列展开后再,法一. 按末三行展开,20(54)1080,按第一列展开,9/16/2024,22,应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:,前一式按前,k,行展开,后一式按前,k,列展开,9/16/2024,23,作业,P32:,8(3)(6),9，15.,预习1.4、1.5,9/16/2024,24,下课,9/16/2024,25,