静电场的导体和电介质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 静电场中的导体和电介质,目 录,1、静电场中的导体,2、电容 电容器,3、静电场中的电介质,4、有电介质存在的静电场的基本定理,5、静电场的能量,1,引言：,由于电场与物质之间相互影响、相互制约，故只能根,据静电场遵守的普遍规律（如高斯定理、环路定理）去研究电,场与电荷之间关系，并联系物质本身的电性质，来同时确定物,质上的电荷分布与电场的空间分布., 静电场中的导体,一、静电感应和静电平衡,静电感应,在外电场作用下, 自由电子做宏观的定向,移动, 电荷在导体上重新分布, 使导体带电.,静电平衡状态,在平衡状态下，导体内部和表面都,没有电荷的宏观移动.,E,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,E,E=0,2,静电平衡时的特点,场强特点：,静电平衡条件是由导体的电结构特征和静电平衡的要求决定的, 与导体的形状, 大小无关.,由于导体表面必为等势面，所以有导体时，导体外的场强,分布必受导体表面形状的控制和调整。静电透镜就是根据这,种基本原理设计的。,电势特点:, 导体是等势体(静电平衡条件的另一种表述);, 导体表面是等势面.,其中： 是感应电荷,q,产生的场。,在导体内,3,静电透镜电场等势面分布示意图,4,二、导体上电荷的分布规律, 导体所带电荷只能分布在导体表面, 导体内部(包括内表,面)净电荷处处为零.,处于静电平衡状态的导体，其电荷分布有以下特点,证明:,对导体 体内任意闭合曲面,S，,S,导体,P,d,V,由,高斯定理,而静电平衡条件,5, 导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外紧相邻的电场强度大小成正比.即,S,E,内,=0,由导体静电平衡条件: 表面附近场强垂直于表面，故得,证明:,如图，取与表面平行的导体内外附近两个小面元 为,底面，侧面垂直表面的小圆柱面.由,高斯定理,6, 孤立导体的面电荷密度与其表面的曲率有关, 曲率越大面,电荷密度越大.,说明：设细导线连接两球体, 整体可看成孤立体, 且两球保持等势体; 细导线很长, 忽略两球之间的静电感应, 两球可近似看成孤立导体,B,r,A,R,q,Q,A,球,B,球,表面突出尖锐部分曲率大, 电荷密度大;,表面比较平坦部分曲率小, 电荷密度小;,表面凹进部分曲率为负, 电荷密度最小.,结论：对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体自身的形状,7,尖端放电(电晕现象):,对于具有尖端的带电导体, 在尖端处的场强特别强.空气中残留的离子在强电场作用下将剧烈运动, 并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子，使其电离.,电离的粒子与尖端上的电荷中和，即形成所谓的尖端放电，同时形成可看得见的光晕，称做电晕.尖端放电的典型应用就是避雷针.,导体尖端能产生强电场这一现象，在现代科学技术中有相当广泛的应用.利用该原理制造的场致发射显微镜其放大率可高达200万倍，是分析金属微观结构的有效设备.,注意：导体表面电荷的面密度不仅与该处的曲率半径有关，,还与周围的带电体有关，关系复杂.,8,场致,发射显微镜,范德格,拉夫静电加速器,9,三、导体空腔和静电屏蔽,静电平衡时导体空腔电荷分布特点:,1.导体空腔无带电体的情况,腔内无带电体时, 导体的电荷只分布在它的外表面上,空腔内处处场强为零，空腔内的电势处处相等.,反证：设内表面上有等量异号电荷, 画一根电力线 电力线首尾处电势不等 (和导体等势相矛盾) 内表面不可能有电荷。,若导体腔内无其它带电体,证明:,在导体腔内、外表面之间作一高斯面.,由高斯定理得内表面上,10,2. 导体空腔有带电体的情况,腔内有其它带电体时, 导体空腔的内表面所带电荷与腔内,电荷的代数和为零.空腔内各点的场强分布由空腔内电荷及空,腔内表面电荷的分布唯一地确定。,证明：（1）在导体空腔内、外表面之间作高斯 面，由高斯定,理得,可见，,S,面内总电量为零。而空腔内有带电体,q，,故内表面,必定带电,q。,（2）由于静电平衡时，导体内场强处处为零，电场线不,能穿越，因此，导体空腔将空间“分割”成了两部分。,腔内场,强分布由腔内带电体及内表面电荷的分布唯一地确定，不受,外部场强的影响，起着静电屏蔽的作用。,11,若将空腔导体接地，使外表面不再带电，外部便无电场，从而可保护腔外空间不受腔内带电体的影响,外壳不接地,外壳接地,总之，接地的导体空腔可以有效地消除内、外电荷产生的电场的相互影响, 实现,静电屏蔽.,金属壳是极好的导体空腔。,讨论：导体空腔虽然能使它包围的空间不受外部电荷产生的,电场的影响，但无法阻止空腔内部电荷对外部电场的影响,12,例题2-1-1: 无限大带电平面场中平行放置一无限大金,属平板.求: 金属板两面电荷面密度？,联立(1)和(2)可得:,设带电平面面电荷密度,0, 导体感应两面电荷面密度,1,和,2,(均设为正),电荷守恒:,(1),解:,0,1,2,(2),导体内场强为零(三层电荷产生),13,例题2-1-2 导体球,A,(,带电,q,),与导体球壳,B,(,带电,Q,),同心放置.求,:,1) 各表面电荷分布,;,2),A,的电势,U,A,B,的电势,U,B,;,3),将,B,接地,各表面电荷分布,;,4) 将,B,的地线拆掉,再将,A,接地,此时各表面电荷分布,.,解：,导体球,A,的电荷,q,只分布在,A,的,表面，导体,B,有两个表面,在两表,面上电荷均匀分布.在两表面间做,一高斯面可知,由电荷守恒,A,q,Q,B,A,q,-q,B,Q+q,14,方法二：电势叠加法, 导体组可看成三层均匀带电球面,A,q,-q,B,Q+q,方法一：场强积分,2),A,的电势,U,A,15,方法一：场强积分,B,的电势,U,B,:,方法二：电势叠加法,A,q,-q,B,Q+q,16,根据电势叠加,:,得,3) 将,B,接地,A,分布,q,B,内表面分布,q,外表面为零,;,A,q,q,B,4) 将,B,地线拆掉后,将,A,接地,此时,A,上电荷为,q,B,内表面,q, ,外表面为,q,+,q,.,A,B,17,例题2-1-3 一个金属球内有两个球形空腔，两空腔中心,相距为,a，,它们的联线通过球心；在两腔中心各有一个,点电荷，电量分别为 。球外有一电荷量为,q,的点电,荷，处在 到 的延长线上，到 的距离为,b。,已知,金属球上所有电荷量的代数和为零。试求金属球上的电,荷作用在 的力。,18,解金属球上的电荷包括金属球外表面上的电荷和两腔内,表面上的电荷。根据对称性和高斯定理，两腔内表面上的电,荷量分别为 和 ，它们都均匀分布在各自内腔表面上,。故 作用在 上的力为,由于金属球上所有电荷量的代数和为零，故在它的外表面的,电荷量为 ，其中 和 都均匀分布在外表面上,，故作用在 上的力都为零。,由于是均匀分布在球面上，故它作用在 的力为零。即,式,中 是从 指向 的单位矢量,19,是 所引起的感应电荷， 和 在导体内产生的场强互,相抵消，处处为零，故 作用在 上的力便等于 作用在,上的力的负值，即,于是得出，金属球上的电荷作用在 上的力为,20, 电容 电容器,定义,电容,:,一、孤立导体的电容,孤立,导体球的电势,:,当,R,确定时,例:,用孤立导体球要得到1,F,的电容，球半径为大？,单位,: 1,F（,法拉,）=1,C/V=,R,Q,21,二、导体组的电容,由静电屏蔽知道,导体壳内部的场只由腔内电量,Q,和几何尺寸及介质决定,由靠近的两金属板所组成的系统,就是一种,电容器,. 其比值则定义为它的电容,实际应用中, 要设计一种导体组合, 使其具备以下两点特点, 这类导体系统称为电容器.,电容大, 体积小;,导体组合的电容不受其它物体的影响.,取无穷远处为电势0点和取大地为电势0点应注意什么问题?,思考题：,22,三、,几种典型的电容器,及电容,d,S,1) 平行板电容器,板间场强：,电势差：,电容：,2) 圆柱形电容器,23,3) 球形电容器,24,结论:,电容器大小只决定于电容器极板的形状, 大小, 相对位置以及板间电介质的性质, 而与电容器所带电量和两板间电压无关.,计算电容的一般步骤:,设电容器两个极板带有等量异号电荷;,求出极板间的电场强度分布;,计算两板间的电势差;,由电容器电容的定义式求电容.,例题2-2-1：半径都是,a,的两根平行长直导线相距为,d,（da），,求单位长度的电容?,（,实际上任何导体之间都存在电容，如导线之间、人体与仪器,之间等，称为,分布电荷,。）,25,解：设两导线单位长度带电 .则二导线垂直截面 联线上,p,点场强为,x,x,x,x,d,d,+,+,-,-,两导线的电势差为,26,五,、电容器的,连接,2,. 电容器的,连接方式,1. 电容器,主要性能参数,电容器,的,标称值,电容量（,C）,击穿电压（,V）,并联,:,串联,:,27,例题2-2-2 五个电容联接如图，,己知 ，,试求,A、B,间电容.,解：,把原图变换成右图，就可看出，因,故为对称的桥路电容.若在,A、B,两点间加上电压，则,E、D,两点间的电势相等，因此 可以去掉，即让 ，而不影响的 值，便得,28,或者，把 短路，即让 ，也 不影响的值，,这样便得,两种方法结论相同,29, 静电场中的电介质,1. 电介质与导体的区别,一、电介质及其极化,电介质,导体,导电性,不,导电,导电,在,静电场中,电子和原子核在电场力作用下在原子范围内作微观的相对位移,自由电子在电场力作用下脱离所属原子作宏观移动,静电平衡时,内部场强,E,0,内部场强,E,=,0,30,2,.电介质的极化,1) 电介质微观模型,分子正, 负电荷分布在一个线度为10,-,10,m,数量级体积内;,分子内存在正, 负电荷中心;,分子是由正, 负点电荷相隔一定距离组成的,电偶极子,.,2) 电介质类型,分子内部电荷分布的对称性决定于分子的正, 负电荷中心的重合性.,有极分子：正、负电荷中心不重合.如 等；,无极分子：正负电荷中心重合.如 等。,31,几种有极分子的固有电矩,6.1,10,-,30,H,2,O,0.9,10,-,30,CO,4.8,10,-,30,NH,3,3.4,10,-,30,HCl,电矩(,C.m),电介质,3) 电介质的极化方式,a),有极分子的,取向极化,无电场时,+,+,+,+,+,有电场时,+,+,+,+,束缚,电荷,外场,32,分子有固有电矩,无外电场：由于热运动而杂乱无章,按外电场方向排列,有外电场：,b),无极分子的,位移极化,无电场时,有电场时,+,+,+,+,+,+,束缚,电荷,无外电场：,外场,33,有外电场时，正负电荷中心产生相对位移，按外电场方向排列称位移极化.,极化电荷只能在分子范围内移动，故称束缚电荷,。,因此，两类电介质极化的机制不同, 但极化的宏观效果都,是使电介质表面出现束缚电荷.,二、电极化强度矢量,单位：,C. m,-2,1. 电极化强度矢量,定义：单位体积内的电矩矢量和.是描述电介质极化程度的物理量.,34,2,. 电极化强度矢量与束缚电荷之间关系,束缚面电荷密度:,证明：,以非极性分子电介质为例，考虑电介质表面小面元,dS,处的电极化.,以,q,表示每个分子的正电荷量，,n,表示单位体积内分子数，则,由于电极化而移出,dS,面的总电荷为,如图，在电场,E,的作用下，分子的正负电荷的重心沿电场方向发生位移,.,在面元,dS,取一斜高为,、,底面积为,dS,的体积元,dV,.,则此体积内所有分子的正电荷重心将移出,dS,外而成为束缚电荷.,p,35,讨论：如图，当 为锐角时，,电介质表面将出现一层正极化电,荷；当 为钝角时，电介质表面,将出现一层负极化电荷.,p,36,在电介质内部取一任意闭合曲面,S.,则通过整个闭合曲面,S,向外移动极化电荷总量应为,根据电荷守恒定律，这等于闭合曲面,S,内净余的极化,电荷总量的负值，故有,利用数学上的高斯定理，有,37,实验表明，,各向同性电介质,的极化规律是,电介质内部实际的电场强度,原来的外场,退极化场,e,:,电极化率, :,相对介电常数,，,E,不是原来的外场强,是总场强。,注意:,是单位为1的量.与电介质的性质有关,若是均匀电介质，,则各点的 值相同.若是不均匀电介质，则呈现不同的极化规,律如各向异性电介质、铁电体（压电效应）、永电体等.,3、电介质的极化规律,38,例题2-3-1 半径,R,的介质球被均匀极化,极化强度为,求: 1) 介质球表面电荷的分布; 2) 极化电荷在球心处,的场,强,?,由此可知, 右半球面上,左半球面上,1) 球面上任一点,解:,x,d,S,处,最大,39,2) 在球面上取环带，则,在球心处的场,沿,x,轴方向,x,d,40,例题2-3-2:平行板电容器原场强为 .在平行板电容器中充满极化率为 的电介质. 求: 电介质中的场强.,又,在平行板电容器中充满极化率,e,的介质，其场强为,解:,思考：以上结论有何意义？,41, 有电介质存在的静电场的基本定理,一、有电介质时的高斯定理,引入电位移矢量,高斯定理:,通过任意闭合曲面的电位移通量等于此闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.,有电介质时的高斯定理为,42,高斯定理在有电介质存在时仍成立.但高斯面内所包含的,应是自由电荷 和极化电荷 ,即,公式推导:,定义电位移矢量,又,将前式乘以 ，与后式相加，即得,43,则得到有介质时的高斯定理,说明：,电位移矢量,D,只是一个辅助物理量，真正描述电场的物,理量仍是,E.,引出,D,的好处是可以绕开极化电荷把静电场规,律表述出来，同时也为求解电场带来方便., 对于各向同性的电介质,值是,值的,倍,上式表明:,（,绝对介电常数,）,44,故对各向同性电介质，其电场强度计算,先用,1),2),再用,计算,D.,求,E,., 对有电介质静电场的高斯定理的微分形式,利用数学上的高斯定理,由于对任何空间体积上述积分都成立，故有,45,二. 有介质电场的环路定理,自由电荷产生的外电场 及极化电荷产生的退极化场 都,是保守场，均满足环路定理，即,利用数学上的斯托克斯定理，有,环路定理的微分形式,46,三,. 介质分界面两侧电场之间的边值关系, 介质分界面两侧的电场场强切向分量连续.,介质分界面两侧电场之间满足的关系称为边值关系.研究空,间存在不同介质的静电场问题时，边界关系是非常重要的。,证：,如,图，在电介质的分界面上，,取一极小的矩形环路,L，,令其,长为,，,宽为 。,当 时 ，由环路定理知,各向同性介质,47, 介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续.,故有,证：在介质分界面处，跨越分,界面作一极小的圆柱闭合曲,面,S，,其底为 ，高为 。,当 时，由高斯定理知,故有,各向同性介质,各向同性介质,48, 介质分界面两侧的电势连续.,当,介质分界面上没有自由电荷时，有,证：在介质分界面两侧取距界面为 的,1，2两点，两点的电势分别为 ，,当 时，两点的电势差即为,各向同性介质,注意：,由上面边值关系可以看出，由于通过分界面的,E,通,量只和场强的法向分量有关，而和与界面平行的切向分量无关，,因此电场线在介质的分界面上是不连续的。而电位移线在介质,的分界面上则是连续的,49,平行板电容器中正插入电,介质时的,D,线和,E,线,D,线,E,线,平行板电容器中斜插入电,介质时的,D,线和,E,线,D,线,E,线,50,唯一性定理：静电平衡条件和边值条件可以把存在于空间,的电场分布唯一地确定下来.,电位移线在介质的分界面虽是连续的，但它的方向在越,过界面后却要发生偏折，由上面两式,可得,由图,知 ，代入得,电位移线折射定律,51,例题2-4-1 金属球半径,R ,带电,q ,放入,相对介电系数,r,的油中求,:,1) 球外电场分布,;,2) 紧贴金属球的油面上,q,是真空中电场的1/,r,倍。,1) 过球外油中任一点做球面,解,:,2),紧贴金属球面处, 指向球心, 与 相反,R,r,52,例题2-4-2,:,同轴电缆,R,1, R,2,其间充满电介质 ,r1, ,r2,分界的半径,为,R .,求,:,单位长度电缆的电容,在介质中做底面半径为,r,长为,l,的圆柱面,则,设,内外电缆线密度,为,解,:,R,2,R,1,R,53,利用电容器电容的计算公式，得,54,例题2-4-3 平行金属板, 带电,0,及 , 板间,U,0,=300V.,若保持板上电荷不变,板间一半空间充介质,r,=5.,求,:,1) 板间电压,;,2) 电介质上、下表面束缚电荷面密度,;,3) 电容,;,4) 若改为如图二,所示的情况, 又,如何？,则,充介质后电荷重新分布, 设,左半部,E,1,D,1,1,，,右半部,E,2,D,2,2,左半部取高斯面如图,1) 设板面积,S,间距,d,充介质前,带电,0,解,:,S,图一,（图一）,图二,55,则,同理，右半部,该高斯面包围的自由电荷为 ，故,S,图一,56,左右两部分电势相等,因为金属板总电量保持不变。,故,S,57,2),电介质上、下表面束缚电荷面密度,S,58,C,1,C,2,并联,3),电容,59,4) 若保持电荷不变，充介质如图,则,60,C,1,C,2,串联,61,注：以上填充介质后,是由特例导出的。但结论普遍成立，成立的条件是：,1) 电介质充满整个空间；,2) 介质表面是等势面。,在电介质表面有,思考：若平板电容器两板极接在固定电源上，上述情况将如变化？,62, 静电场的能量,一、点电荷之间的相互作用能,以三个点电荷的系统为例.设想依次把 三个点电荷从无穷,远处移到所在位置（如图）.根据电场力的叠加原理,迁移 各点,电荷时外力反抗电场力所作的功分别为,q,1,q,2,q,3,r,12,r,23,r,13,任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动过程，外,力必须克服电场力做功，转化为系统能量的增量，所以任何带,电系统都具有能量.,63,因此，该系统所具有的电势能应为：,64,U,i,为除,q,i,以外其他点电荷在,q,i,处产生的电势的代数和,推广：,点电荷系的相互作用能 为,故点电荷组的相互作用能等于点电荷组中每个点电荷在其他点电荷电场中电势能之和的1/2倍.,65,例题2-5-1：如图所示，在一边长为,d,的立方体的每,个顶点上放有一个点电荷-,e，,立方体中心放有一个,点电荷+2,e，,求此带电系统的相互作用能量.,解：,方法一, 8个顶点上的负电荷的相,互作用能为12对，即, 6个面上对角顶点负电荷的相,互作用能为12对，即,66,对对角顶点负电荷间的相互作用能,为4对，即,立方体中心与8个顶点负电荷间的相互,作用能为8对，即,故系统的总相互作用能量为,67,在体心处的电势为,方法二,任一顶点处的电势为,得点电荷系的相互作用能量为,68,二、连续带电体的静电能,对电荷连续分布的带电体，设想分割成许多小电荷元,，则,使,注意，上面式虽说是是由式演变而来，但在物理内容上,是有差别的,.式算出的能量不但包括了各个带电体之间的相互,作用能，也包含着每个带电体内自身各部分电荷之间的相互作,用能（称为固有能）,而在式中却没有考虑每一个被看作点电,荷的固有能.,为此，把式计算出来的能量称为静电能.,69,除第,i,个电荷以外其余电荷在,r,处产生的电势,笫,i,个电荷在,r,处产生的电势,讨论：, 对,N,个带电体组成的带电系统的静电能.,设,N,个带电体的体积 分别为,，,它们在空间,r,处,产生的总电势可 写成两部分：,70,这里 是带电系统内,N,个带电体之间的相互作用能，,简称为系统的互能. 是每个带电体的静电能之和，简,称为自能.,故多个带电体组成的系统的静电能，等于系统内,互能与自能之和., 点电荷的自能.,设想点电荷,q,是由半径为,R,的均匀带电球收缩半径,而成，则球内一点产生的电势为,71,由上面结论知，当 点电荷自能发散（理论上称,为“发散困难”）,故讨论点电荷组的电能时，只讨论相互作用能.,同时也表明，,真正的点电荷并不存在,.,根据相对论有,这称为电子的经典半径，电子的实际半径远小于此值.,由,72,三、有电介质情况下静,电场的能量,设想从,t=0,开始,每次自下极板把微量电荷,dq,移至上板,外力都要克服静电力做功,. 至,t,时刻带电,q ,再移,dq,外力做功,故电容器储能,最后带电,Q,则,1.,电容器的能量,（以平板电容器为例）,73,对平板电容器有,上式表明: 电容器储有的能量与电场的存在相联系.,大量实验证明:,电容器能量的携带者是电场, 对静电场,也可认为能量携带者是电荷,两者等价. 但对于变化的电磁场,电场可以脱离电荷而传播，故只能说能量的携带者是电场和磁场. 凡是场所在的空间,就有能量的分布.因此，电能是定域在电场中.,由此得，,电场能量的体密度为,74,2. 计算任一带电系统整个,电场中储存的总能量,电场能量密度公式的一般证明：,带电系统的静电能表达式的积分区域,V,可扩大为整个空间,一般情况下，电场的电能密度可以表达为,在电场不均匀时,总电能则为,75,、,利用高斯定理的微分形式,因趋于 的边界面,S,上,76,小结：,根据前两章的内容，当电荷连续分布时，求静电,能量有三个公式,思考：,分别说明这三个公式的物理意义,并以平行板电容器,为例，分别用上列三个公式计算它在电容为,C、,蓄有电荷量,为,Q,时的静电能量.,77,例题2-5-2,:,求半径为,R,带电量为,Q,的均匀带电球的,静电能,设想球体是一层层电荷逐渐聚集而成,某一层已聚集电荷,q,这层电荷,d,q,需做功：,再聚集,解,法一,:,计算带电体系的静电势能,R,r,Q,78,解,法二,:,用,静电能量的公式,这里电势,U,是在电荷己分布完毕，空间各点确定的电势，都不再随时间变化.,根据对称性和高斯定理得,R,r,Q,79,球内离球心,r,处的电势为,由此则得,80,解法三：用场能公式,球体的场强强分布为,81,例题2-5-,3,球形电容器,R,1,R,2,间充满两层电介质,r,1,r,2,以,R,为界,带电量,q,.,求,:,1),w,e,;,2),整个能量,R,2,R,1,R,解: 1,),求,w,e,2,),整个能量,82,四、带电体系受力问题,处在一定位形的带电体系在外电场中，当它的位形发生,微小变化时，电势能将相应地改变 。在位形变化时，,外电场力就作一定的功 。根据能量守恒定律，应有,。这个带电体系的受力有,（,1）平移,（2）转动,取 的极限，则,取 的极限，则,利用上述结论计算力或力矩，往往比直接计算来得简单。,83,例题2-5-,4,平行,板,电容器带电,Q,间距,d,缓慢拉动至2,d,求,:,1) 电容器能量变化,;,2) 外力做功,;,3) 面板间吸引力,.,解：1),2),外力做功,3),面板间吸引力,84,1、掌握导体静电平衡条件, 能用该条件分析带电导体在静电场中的电荷分布;,2、能够利用导体静电平衡的规律求解有导体存在时的场强与电势分布;理解静电屏蔽现象.,3、理解电介质极化的微观机理及宏观束缚电荷的产生.了解电极化强度和介质击穿场强的意义;,4、理解电位移矢量,D,的物理意义及有电介质时的高斯定理,能利用它们求解有电介质存在时具有一定对称性的电场的问题.,5、理解电容的定义, 能计算简单形状电容器的电容;,6、理解带电体相互作用能和电场能量密度的概念,能计算简单电荷系统的电磁能量.,本章基本要求,85,