函数的极值与最大值最小值课件

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,5.,函数的极值与最大值最小值,函数极值的定义,函数极值的求法,最值的求法,应用举例,一、函数极值的定义,定义,使函数取得极值的点称为,极值点,.,极 值,二、函数极值的求法,定理,1(,必要条件,),定义,注意,:,例如,极值点,驻点,可导,定理,2(,第一充分条件,),(,是极值点情形,),定理,2(,第一充分条件,),(,不是极值点情形,),求极值的步骤,:,(,不是极值点情形,),(,是极值点情形,),例,1,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求可能的极值点,令,得,令,得,3),列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,例,2,解,注意,:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,.,(,不是极值点,弯曲方向改变,),(,是极值点,曲线弯曲方向不变,),定理,3(,第二充分条件,),定理,3(,第二充分条件,),证,同理可证,(2).,由极限的局部保号性,例,3,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值,;,又,故需用第一判别法判别,.,P156-2,定理,3(,第二充分条件,),三、最值的求法,步骤,:,1.,求驻点和不可导点,;,2.,求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值,.,注意,:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,.(,最大值或最小值,),四、应用举例,例,4,解,计算,比较得,实际问题求最值应注意,:,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,(,k,R,),例,5.,铁路上,AB,段的距离为,100 km ,工厂,C,距,A,处,20,AC,AB ,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为,3,:,5 ,为使货,D,点应如何选取,?,20,解,:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15,km,时运费最省,.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,km,公路,某房地产公司有,50,套公寓要出租，当租金定为每月,180,元时，公寓会全部租出去当租金每月增加,10,元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费,20,元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,例,6,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（目标函数）,未租出房子为 套，,P161-15,（唯一驻点）,故每月每套租金为,350,元时收入最高,.,最大收入为,点击图片任意处播放,暂停,例,6,解,如图,解得,五、小 结,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,2.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得,.,3.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),1.,注意最值与极值的区别,.,最值,是,整体,概念而,极值,是,局部,概念,.,4.,实际问题求最值的步骤,.,作业,:,P162:1-(1)(7),、,3,、,4-,（,2,）、,6,、,9,、,13,、,思考题,1,下命题正确吗？,思考题,1,解答,不正确,例,在,1,和,1,之间振荡,故命题不成立,思考题,2,思考题,2,解答,结论不成立,.,因为最值点不一定是内点,.,例,在 有最小值，但,解,令,f,(,x,)=0,得,x,=1,，,x,=1,为极大值点，极大值,在,(-1,，,0),内，,f,(,x,)0;,例,6,求,的极值，并求其在,-1,1,上的最值。,x,=0,为极小值点，极小值,f,(0)=0.,例,5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁，,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大,?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择,.,