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绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 平面问题的复变函数法,1,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题的复变函数法,直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。,2,5-4,多连通域内应力与位移的单值条件,5-3,边界条件的复变函数表示,5-2,应力和位移的复变函数表示,5-1,应力函数的复变函数表示,5-,6,含孔口的无限大板问题,5-5,无限大多连体的情形,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题的复变函数法,3,5-1,应力函数的复变函数表示,在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数,，,它是位置坐标的重调和函数，即,现在，引入复变数,z,=,x,i,y,和,z,x,i,y,以代替实变数,x,和,y,。,注意,平面问题的复变函数法,4,可以得到变换式,进而,平面问题的复变函数法,5,令,于是可将方程式,变换成为,由,平面问题的复变函数法,6,可知，,P,是调和函数可由解析函数的实部得到。设,f,(,z,),为解析函数，可令,由,令,得,则,平面问题的复变函数法,7,将上式对,积分，得到,再对,z,积分，得到,令,即,则,平面问题的复变函数法,8,注意上式左边的重调和函数,是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：,令,即得有名的古萨公式,也可以写成,平面问题的复变函数法,9,于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数,总可以用复变数,z,的两个解析函,(,z,),和,(,z,),来表示，称为,K-M,函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。,平面问题的复变函数法,10,5-2,应力和位移的复变函数表示,根据应力分量和应力函数的关系,一 应力分量的复变函数表示,平面问题的复变函数法,11,可得到应力分量的复变函数表示,由,可得,而由,平面问题的复变函数法,12,可得,或,平面问题的复变函数法,13,只要已知,(,z,),及,(,z,),，,就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出,xy,，,由实部得出,y,-,x,。,和,就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把,x,、,y,、,xy,三者分开用,(,z,),和,(,z,),来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。,平面问题的复变函数法,14,二 位移分量的复变函数表示,假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程,可得,平面问题的复变函数法,15,由于,并注意到,同理,可得,平面问题的复变函数法,16,将,上两式分别对,x,及,y,积分，得,其中的,f,1,及,f,2,为任意函数。将上式代入式,平面问题的复变函数法,17,由于,平面问题的复变函数法,18,从而得到,于是得到刚体位移,f,1,(,y,),u,0,y,，,f,2,(,x,),v,0,x,故有,平面问题的复变函数法,19,若不计刚体位移，则有,由式,得到,平面问题的复变函数法,20,这就是位移分量的复变函数表示。若已知,(,z,),及,(,z,),，,就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出,u,和,v,。,平面问题的复变函数法,将结果回代,并两边除以 得,上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的,E,改换为,，,改换为,。,21,5-3,边界条件的复变函数表示,为了求得边界上各结点处的,值，须要应用应力边界条件，即：,而,代入上式，即得：,平面问题的复变函数法,22,由图可见，,l,=,cos,(,N,x,)=,d,y,/,d,s,m,=,cos,(,N,y,)=-,d,x,/,d,s,于是，前式可改写为,：,由此得：,平面问题的复变函数法,23,设,A,是边界上的固定点,B,为任意一点,，,则从,A,到,B,边界上的合力，可用上式从,A,点到,B,点对,s,积分得到：,将式,平面问题的复变函数法,24,代入，整理得：,把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数,A,处的值设为零，于是对于边界上的,有,或,这,就是应力边界条件。,平面问题的复变函数法,25,对于位移边界条件,将其代入下式,即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示,平面问题的复变函数法,对于平面应变，须将式中的,E,改换为,，,改换为,。,26,5-4,多连通域内应力与位移的单值条件,应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时,K-M,函数并未完全确定。对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得,K-M,函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论,K-M,函数在多连通区域内满足单值的条件。,设有多连通区域，有一内边界,C,，,设在边界,C,上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设,平面问题的复变函数法,27,D,C,这里,z,k,为内部边界内的任意一点，,f,和,f,为单值的解析函数（全纯函数），而,A,k,，,B,k,为,常数：,平面问题的复变函数法,28,前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当,z,绕,周边一周时，函数值,ln,(,z,k,),产生一个增量,2,i,于是,(,z),和,(z),的,增量分别是,2,i,A,k,和2,i,B,k,这时应力主矢量按照公式,左边将得到应力主矢量,(,沿整个边界），右边得到一增量：,平面问题的复变函数法,29,这时位移按照公式,也将,得到增量，根据单值性这个增量应为零：,结合,可,得到,平面问题的复变函数法,30,于是,当有,m,个内边界时，取,平面问题的复变函数法,31,5-5,无限大多连体的情形,当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。,以坐标原点为圆心，作充分大的圆周,s,R,，,将所有的内边界包围在其内，对于,s,R,之外，弹性体之内的任意一点，可得到,在,s,R,之外的解析函数,平面问题的复变函数法,32,于是,可写为,其中,P,x,P,y,为,m,个边界上沿,x,y,方向的面力之和。,平面问题的复变函数法,33,于是,由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中,n,2,的系数应为零。,平面问题的复变函数法,将多连通区域内的全纯函数 和 展开为罗郎级数：,34,同样从,中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，故有,其中略去了和应力无关的常数项。,平面问题的复变函数法,35,于是,其中,与应力计算无关，可取为零，而,平面问题的复变函数法,36,这时,当,z,时，可得,同样当,z,时，由,可得,从中可求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。,平面问题的复变函数法,37,系数,则,平面问题的复变函数法,38,5-6,含孔口的无限大板问题,以坐标原点为圆心，作充分大的圆周,s,R,，,将所有的内边界包围在其内，对于,s,R,之外，弹性体之内的任意一点，可得到,平面问题的复变函数法,39,平面问题的复变函数法,40,改写为,其中,平面问题的复变函数法,41,对于孔边上的点,平面问题的复变函数法,42,将上列各式代入,就,得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。,设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数,平面问题的复变函数法,43,比较两边,e,i,k,和,e,-,i,k,的,系数，可得,平面问题的复变函数法,44,由,无限远处的应力条件，可得,45,由,位移的单值条件有,及,可,求得,再由,平面问题的复变函数法,46,可,求得,至此，全部系数均已求出。,例,设孔周边为均匀压力,p,，,无限远处的应力为零。,平面问题的复变函数法,47,则有,于是可求得,平面问题的复变函数法,48,最后得到,根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。,平面问题的复变函数法,49,平面问题的复变函数法,练习5,.1,试考察下列复变函数所解决的问题,(1),(2),解:,基本公式为,(1) 将,分别代入,(,a)、(b),式,50,平面问题的复变函数法,得,联立求解以上两式,得,所给的函数可以解决矩形薄板在,x,方向受均布拉力,q,的问题,.,如图,5.1(,a),所示,(2) 将,代入,(,a),(b),两式,得,x,y,q,q,图5.1(a),51,平面问题的复变函数法,联立求解以上两式,得,所给的函数可以解决矩形薄板受纯剪切问题,.,如图,5.1(,b),示.,q,q,x,y,图5.1(b),练习5,.2,如图所示,.,试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解,.,其中,I,为梁截面的惯矩,M,为作用的弯矩,.,M,y,x,z,y,解:,基本公式为,52,平面问题的复变函数法,将,代入,(1,)、(,2)式,由(1),式得,即,53,平面问题的复变函数法,或,由(2),式得,即,将(4,)、(,5),式联立求得,54,平面问题的复变函数法,验证边界条件,(3),在,侧面,:,所以,由,得,55,平面问题的复变函数法,由,得,故,即(3),式恒成立,.,由解答 所表示的是一个纯弯时,梁横截面上的应力状态,.,56,平面问题的复变函数法,练习5,.3,试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量的公式,解:,因为在平面问题中,所以,又,因为在平面问题中,有,57,平面问题的复变函数法,则,58,平面问题的复变函数法,因为,所以,练习5,.4,试用公式,由 导出半平面体在边界上受集中力作用时的应力分量公式,.,59,平面问题的复变函数法,r,y,r,o,P,解： 由,得,因为,60,平面问题的复变函数法,而,所以,61,平面问题的复变函数法,即,由（,1,）、（,2,）、（,3,）式得,62,结 束,平面问题的复变函数法,63,
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