2111数列极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 极限与连续,2.1,数列极限,一、数列,1、概念：,数列函数的定义域是由离散的一系列孤立点构成，不是区间，而是数集。,2、简单性态：,因数列函数定义域的特殊性，故不能考虑其奇偶性和周期性,（1）数列的有界性,【2-1-1】,1,（2）数列的单调性,单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列，若上述定义中不等号,下不带等号，则称数列为严格单调数列。,【2-1-2】,2,二、数列极限,1、收敛数列,（1）定义：,【2-1-3】,3,（2）数学定义的几何意义,X,(,),【2-1-4】,4,3、定义理解举例,解：,【2-1-5】,5,播放,例3.,6,4、数列极限四则运算法则,【2-1-6】,7,注：,当然，实际计算时，是利用法则将极限计算转化为一些已用定义证明,了正确性的已知结论的数列极限上，利用已知结论进行计算。,使用法则求极限时，要首先检查是否满足法则的条件,下面通过一些例题来了解四则运算法则的使用,【2-1-7】,8,例2 求下列函数极限,解：,【2-1-8】,9,解：,【2-1-9】,10,解：,【2-1-10】,11,解：,【2-1-11】,12,三、收敛数列极限性质,1、性质1,因此，数列的敛散性与其最初的有限项无关，决定于某一项后的无穷项,2、性质2,3、性质3,思考：,【2-1-12】,13,4、性质1 夹逼定理（迫敛性定理、两边夹法则）,夹逼定理不但是收敛数列的性质，而且是一种非常有用的极限计算方法，通过对极限式进行放大和缩小，将极限的计算转化到较易计算的一些极限式的计算上。,例3,求下列数列的极限,【2-1-13】,14,解,：（1）,【2-1-14】,15,【2-1-15】,16,5、性质5：,单调有界数列一定收敛,（1）性质的分解：,性质的结论可分解为单调递增且有上界数列一定收敛和单调递减且,有下界数列一定收敛两个方面,（2）性质结论仅为充分而不必要的结论，即满足条件一定收敛，但收敛,数列不一定单调有界，当然，有界性是必要的，不具有必要性的是单调性,如,收敛于0，但不是单调数列,此性质在考察数列单调性上非常有用，当然，也可用于极限计算,【2-1-16】,17,单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,18,（3）应用举例,例4,证明：,先用数学归纳法证明伯努利不等式,所以依数学归纳法原理知伯努利不等式的结论成立,【2-1-17】,19,证,(舍去),20,【2-1-18】,21,【2-1-19】,22,因而依性质5知，两数列均单调有界，都是收敛数列，且有,此极限值为无理数，规定为自然对数的底，因此有,本节作业： P49 2（3、4、5） 6 7,【2-1-20】,23,练习,24,25,解,26,设,则当（ ）时有,.,(A),； (B),(C),； (D),任意取 .,27,