MATLAB数据分析与多项式计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,MATLAB,数据分析与多项式计算,1,数据统计处理,2,数据插值,3,曲线拟合,4,多项式计算,1,数据统计处理,1.1,最大值和最小值,MATLAB,提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为,max,和,min,，两个函数的调用格式和操作过程类似。,1,求向量的最大值和最小值,求一个向量,X,的最大值的函数有两种调用格式，分别是：,(1) y=,max(X,),：返回向量,X,的最大值存入,y,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,(2) y, I=,max(X,),：返回向量,X,的最大值存入,y,，最大值的序号存入,I,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,求向量,X,的最小值的函数是,min(X,),，用法和,max(X,),完全相同。,例,1,求向量,x,的最大值。,命令如下：,x=-43,72,9,16,23,47;,y=,max(x,) %,求向量,x,中的最大值,y,t,=,max(x,) %,求向量,x,中的最大值及其该元素的位置,2,求矩阵的最大值和最小值,求矩阵,A,的最大值的函数有,3,种调用格式，分别是：,(1),max(A,),：返回一个行向量，向量的第,i,个元素是矩阵,A,的,第,i,列,上的最大值。,(2) Y,U=,max(A,),：返回行向量,Y,和,U,，,Y,向量记录,A,的每列的最大值，,U,向量记录每列最大值的,行,号。,(3),max(A,dim,),：,dim,取,1,或,2,。,dim,取,1,时，该函数和,max(A,),完全相同；,dim,取,2,时，该函数返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,矩阵的第,i,行上的最大值。,求最小值的函数是,min,，其用法和,max,完全相同。,例,2,分别求,magic(5),中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,max(max(magic(5),min(min(magic(5),3,两个向量或矩阵对应元素的比较,函数,max,和,min,还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：,(1) U=,max(A,B,),：,A,B,是两个同型的向量或矩阵，结果,U,是与,A,B,同型的向量或矩阵，,U,的每个元素等于,A,B,对应元素的较大者。,(2) U=,max(A,n,),：,n,是一个标量，结果,U,是与,A,同型的向量或矩阵，,U,的每个元素等于,A,对应元素和,n,中的较大者。,min,函数的用法和,max,完全相同。,1.2,求和与求积,数据序列求和与求积的函数是,sum,和,prod,，其使用方法类似。设,X,是一个向量，,A,是一个矩阵，函数的调用格式为：,sum(X,),：返回向量,X,各元素的和。,prod(X,),：返回向量,X,各元素的乘积。,sum(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素和。,prod(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素乘积。,sum(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,sum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的各元素之和。,prod(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,prod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的各元素乘积。,例,4,求矩阵,A,全部元素的乘积。,1.3,平均值和中值,求数据序列平均值的函数是,mean,，求数据序列中值的函数是,median,。两个函数的调用格式为：,mean(X,),：返回向量,X,的,算术平均值,。,median(X,),：返回向量,X,的,中值,。,mean(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的算术平均值。,median(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的中值。,mean(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,mean(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的算术平均值。,median(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,median(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的中值。,1.4,累加和与累乘积,在,MATLAB,中，使用,cumsum,和,cumprod,函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：,cumsum(X,),：返回向量,X,累加和向量。,cumprod(X,),：返回向量,X,累乘积向量。,cumsum(A,),：返回一个矩阵，其第,i,列是,A,的第,i,列的累加和向量。,cumprod(A,),：返回一个矩阵，其第,i,列是,A,的第,i,列的累乘积向量。,cumsum(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,cumsum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个矩阵，其第,i,行是,A,的第,i,行的累加和向量。,cumprod(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,cumprod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个向量，其第,i,行是,A,的第,i,行的累乘积向量。,1.5,排序,MATLAB,中对向量,X,是排序函数是,sort(X,),，函数返回一个对,X,中的元素按升序排列的新向量。,sort,函数也可以对矩阵,A,的各列或各行重新排序，其调用格式为：,Y,I=,sort(A,dim,),其中,dim,指明对,A,的列还是行进行排序。若,dim=1,，则按列排；若,dim=2,，则按行排。,Y,是排序后的矩阵，而,I,记录,Y,中的元素在,A,中位置。,2,数据插值,2.1,一维数据插值,在,MATLAB,中，实现这些插值的函数是,interp1,，其调用格式为：,Y1=interp1(X,Y,X1,method),函数根据,X,Y,的值，计算函数在,X1,处的值。,X,Y,是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，,X1,是一个向量或标量，描述欲插值的点，,Y1,是一个与,X1,等长的插值结果。,method,是插值方法，允许的取值有,linear,、,nearest,、,cubic,、,spline,。,注意,：,X1,的取值范围不能超出,X,的给定范围，否则，会给出“,NaN,”,错误。,MATLAB,中有一个专门的,3,次样条插值函数,Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数,Y1=interp1(X,Y,X1,spline),完全相同。,例,某观测站测得某日,6:00,时至,18:00,时之间每隔,2,小时的室内外温度,(),，用,3,次样条插值分别求得该日室内外,6:30,至,17:30,时之间每隔,2,小时各点的近似温度,(),。,设时间变量,h,为一行向量，温度变量,t,为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：,h =6:2:18;,t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;,XI =6.5:2:17.5,YI=interp1(h,t,XI,spline) %,用,3,次样条插值计算,2.2,二维数据插值,在,MATLAB,中，提供了解决二维插值问题的函数,interp2,，其调用格式为：,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method),其中,X,Y,是两个向量，分别描述两个参数的采样点，,Z,是与参数采样点对应的函数值，,X1,Y1,是两个向量或标量，描述欲插值的点。,Z1,是根据相应的插值方法得到的插值结果。,method,的取值与一维插值函数相同。,X,Y,Z,也可以是矩阵形式。,同样，,X1,Y1,的取值范围不能超出,X,Y,的给定范围，否则，会给出“,NaN,”,错误。,例,某实验对一根长,10,米的钢轨进行热源的温度传播测试。用,x,表示测量点,0:2.5:10(,米,),，用,h,表示测量时间,0:30:60(,秒,),，用,T,表示测试所得各点的温度,(),。试用线性插值求出在一分钟内每隔,20,秒、钢轨每隔,1,米处的温度,TI,。,命令如下：,x=0:2.5:10;,h=0:30:60;,T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;,xi=0:10;,hi=0:20:60;,TI=interp2(x,h,T,xi,hi),3,曲线拟合,在,MATLAB,中，用,polyfit,函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用,polyval,函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。,polyfit,函数的调用格式为：,P,S=,polyfit(X,Y,m,),函数根据采样点,X,和采样点函数值,Y,，产生一个,m,次多项式,P,及其在采样点的误差向量,S,。其中,X,Y,是两个等长的向量，,P,是一个长度为,m+1,的向量，,P,的元素为多项式系数。,polyval,函数,例,x = (0: 0.1: 5);,y =,erf(x,);,p = polyfit(x,y,6);,f =,polyval(p,x,);,plot(x,y,o,x,f,-);,axis(0 5 0 2),5,多项式计算,5.1,多项式的,加减,乘法运算,函数,conv(P1,P2),用于求多项式,P1,和,P2,的乘积。这里，,P1,、,P2,是两个多项式系数向量。,例,1,求多项式,x,2,+2x-1,与多项式,x+3,的乘积,(,笔算,),2,求多项式,x,4,+8x,3,-10,与多项式,2x,2,-x+3,的乘积, p1 = 1 8 0 0 -10;, p2 = 2 -1 3;, conv(p1, p2),3,多项式除法,函数,Q,r,=deconv(P1,P2),用于对多项式,P1,和,P2,作除法运算。其中,Q,返回多项式,P1,除以,P2,的商式，,r,返回,P1,除以,P2,的余式。这里，,Q,和,r,仍是多项式系数向量。,deconv,是,conv,的逆函数，即有,P1=conv(P2,Q)+r,。,例,17,求多项式,x,4,+8x,3,-10,除以多项式,2x,2,-x+3,的结果。,5.2,多项式的导函数,对多项式求导数的函数是：,p=,polyder(P,),：求多项式,P,的导函数,p=,polyder(P,Q,),：求,PQ,的导函数,p,q,=,polyder(P,Q,),：求,P/Q,的导函数，导函数的分子存入,p,，分母存入,q,。,上述函数中，参数,P,Q,是多项式的向量表示，结果,p,q,也是多项式的向量表示。,例,求有理分式的导数。,命令如下：,P=1;,Q=1,0,5;,p,q,=,polyder(P,Q,),5.3,多项式的求值,MATLAB,提供了两种求多项式值的函数：,polyval,与,polyvalm,，它们的输入参数均为多项式系数向量,P,和自变量,x,。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。,1,代数多项式求值,polyval,函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：,Y=,polyval(P,x,),若,x,为一数值，则求多项式在该点的值；若,x,为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,例,已知多项式,x,4,+8x,3,-10,，分别取,x=1.2,和一个,23,矩阵为自变量计算该多项式的值。,2,矩阵多项式求值,polyvalm,函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与,polyval,相同，但含义不同。,polyvalm,函数要求,x,为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设,A,为方阵，,P,代表多项式,x,3,-5x,2,+8,，那么,polyvalm(P,A,),的含义是：,A*A*A-5*A*A+8*,eye(size(A,),而,polyval(P,A,),的含义是：,A.*A.*A-5*A.*A+8*,ones(size(A,),例,对多项式,x,4,+8x,3,-10,，取一个,22,矩阵为自变量分别用,polyval,和,polyvalm,计算该多项式的值。,5.4,多项式求根,n,次多项式具有,n,个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。,MATLAB,提供的,roots,函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：,x=,roots(P,),其中,P,为多项式的系数向量，求得的根赋给向量,x,，即,x(1),x(2),x(n,),分别代表多项式的,n,个根。,例,求多项式,x,4,+8x,3,-10,的根。,命令如下：,A=1,8,0,0,-10;,x=,roots(A,),若已知多项式的全部根，则可以用,poly,函数建立起该多项式，其调用格式为：,P=,poly(x,),若,x,为具有,n,个元素的向量，则,poly(x,),建立以,x,为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量,P,。,例,由方程,f(x,)=0,的根构造一个多项式,g(x,),，并与,f(x,),进行对比。,命令如下：,P=3,0,4,-5,-7.2,5;,X=,roots(P,),G=,poly(X,),p=1,2,1;,x=,roots(p,);,g=,poly(x,);,