资源描述
第一次,1,某人射击目标,3,次,记,A,i,=,第,i,次击中目标,(i=1,2,3),用,A,1,A,2,A,3,表示下列事件,（,1,）,仅有一次击中目标,（,2,）至少有一次击中目标,（,3,）第一次击中且第二三次至少有一次击中,（,4,）,最多击中一次,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,2,袋中有红球，白球，从中抽取三次，每次抽去一个，取出后不放回记,A,i,=,第,i,次抽出红球,（,i=1,2,3,）,用,A,1, A,2, A,3,表示下列事件,（,1,）前两次都取红球（,2,）至少有一次取红球 （,3,）第二次取白球 （,4,）恰有两次取红球,（,5,） 后两次至多有一次取红球,.,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,3,随机抽查三件产品，,A=,三件中至少有一件废品, B=,三件中至少有二件废品, C=,三件正品,，问,各表示什么事件（用文字描述）,解,-,三件产品全为正品,-,三件中至多一件废品,-,恰有一件废品,4,下列各式是否成立 （,1),（,A-B)+B=A,（,2,）,(A+B)-C=A+(B-C,）,5,下列各式说明什么关系？,.,（,1,）,AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A,解,第,2,次,1,罐中有围棋子,8,白子,4,黑子，今任取,3,子 ，求下列事件的概率,(1),全是白子,(2),取到,2,黑子,1,白子 （,3,）至少有一颗黑子,.,8,白子,4,黑子,取,3,子,解,A= ,全是白子,B=,取到,2,黑子,1,白子,C=,至少有一颗黑子,2,从,1,至,200,的正整数中任取一数,求此数能被,6,或,8,整除的概率,解,A=,此数能被,6,整除, B=,此数能被,8,整除,=,3,从一副扑克牌的,13,张红桃中,一张接一张有放回抽取,3,次,求,(1),三张号码不同的概率,.,(2),三张中有相同号码的概率,.,解,A=,三张号码不同, B=,三张中有相同号码,4,袋中有,9,红球,3,白球,任取,5,球,求,(1),其中至少有,1,个白球的概率,(2),其中至多有,2,个白球的概率,3,个白球,9,个红球,取,5,个球,解,A=,其中至少有,1,个白球,B= ,其中至多有,2,个白球,5,设,A,B,为两个事件,且,P(A)=0.5 P(B)=0.4,P(A+B)=0.8,求,(1),(2),解,6,设,求证,证明,第三次,1,袋中有,3,红球,2,白球,不放回地抽取,2,次,每次取一个,求,(1),第二次取红的概率,(2),已知第一次取白球,求第二次取红球的概率,2,白球,3,红球,不放回,取,2,次,解,A,i,=,第,i,次取红球, (i=1,2),E,2,袋中有,3,红球,2,白球,抽取,3,次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出的球颜色相同的两个球,求 连续,3,次取白球的概率,解,A,i,=,第,i,次取白球,（,i=1,，,2,，,3,）,2,白球,3,红球,3 10,件产品中有,7,件正品，,3,件次品（,1,）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到,3,件次品的概率 （,2,）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到,3,件次品的概率,.,解,A,i,=,第,i,次取次品,（,i=1,，,2,，,3,）,（,1,）,（,2,）,4 100,件产品中有,10,件次品,90,件正品，每次取,1,件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率,10,件次品,90,件正品,解,A,i,=,第,i,次取正品,（,i=1,，,2,，,3,）,5,某人有一笔资金,他投入基金的概率为,0.58,买股票的概率为,0.28,两项同时投入的概率为,0.19,求,(1),已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率,(2),已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率,解,（,2,）,A=,买基金, B=,买股票,（,1,）,6,某厂有编号为,1,2,3,的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的,25%, 35% 40%,次品率分别为,5%,4% 2%,今从总产品中取一件,(1),产品为次品的概率,(2),若抽取的为次品求它是编号为,2,的机器生产的概率,解,A,i,（,i=1,，,2,，,3,）,B=,任取一件产品为次品,A,1,E,A,2,A,3,B,B,B,(1),(2),第四次,1,设,P(A)=0.4, P(A+B)=0.7,在下列条件下求,P(B) (1) A,B,互不相容,(2) A,B,独立,解,(1) A,B,互不相容,(2)A,B,独立,2,设,P(A)=0.3, P(A+B)=0.6,在下列条件下求,P(B) (1) A,B,互不相容,(2) A,B,独立,(3),解,(1) A,B,互不相容,(2)A,B,独立,3,两种花籽，发芽率分别为,0.8,，,0.9,， 从中各取一粒，设花籽发芽独立，求（,1,）两颗都发芽的概率 （,2,）至少有一颗发芽的概率（,3,）恰有一颗发芽的概率,.,解,A=,第一种花籽发芽, B=,第二种花籽发芽,(1),(2),(3),4,甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是,1/2,1/3,1/4,求密码被破译的概率,解,A=,密码被甲破译, B=,密码被乙破译, C=,密码被丙破译,密码被破译,=A+B+C,5,加工某零件要经过第一,第二,第三,第四道工序,次品率分别为,2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率,解,A,i,=,第,i,道工序出次品, ( i=1,2,3,),B=,加工出来的零件为次品,6 3,次独立重复试验,事件,A,至少出现一次的概率为,求,A,在一次试验中出现的概率,解,A,在一次试验中出现的概率为,p,X,表示,3,次实验中,A,出现的次数,则,X,B(3,p),1,判断是否为分布表,第五次,X,P,1 2 3 .n,解,等比数列求和公式为,所以此表不是分布表,2,已知离散型随机变量的分布律如下,求常数,a=?,(1),(2),m=0,1,2,3,m=1,2,325,解,(1),(2),注意到,:,3,袋中有,2,红球,4,白球,取,3,球,求取到的红球数,X,的分布律,.,解,X,P,0 1 2,4,某人有,6,发子弹,射击一次命中率为,0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数,Y,的分布律,.,解,X,P,1 2 3 4 5 6,5,有一大批产品的次品率为,0.006,现从中抽取,500,件,求其中只有,4,件次品的概率,.,解,X-,抽取,500,件中的次品数,则,XB(500,0.006,）,6,一本合订本,100,页，,平均每页上有,2,个印刷错误,，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订本,各页错误都不超过,4,个,的概率,.,解,X,i,-,合订本第,i,页错误,则,A=,合订本,各页错误都不超过,4,个,第六次,1,若,a,在,(1,6),上服从均匀分布，求,x,2,+ax+1=0,有实根的概率,解,x,2,+ax+1=0,有实根的充要条件是,:,即,: a-2,或,a2,P a-2,或,a2,a,在,(1,6),上服从均匀分布,1,2,6,1/5,p,(,x,),x,2,设随机变量,X,的概率密度为,(1),求常数,C (2) P0.4X0.6(3),若,求,a,(4),若,求,b,解,(1) c=2,(2),(3),(4),显然,0b1,3,已知,求,(1),(2),(3),解,(2),(3),(1),4,设随机变量,X,的概率密度为,(1),求常数,C (2),解,(2),(1),5,且,求,解,显然,6,设最高洪水水位,X,有概率密度为,:,今要修建河堤能防,100,年一遇的洪水,(,即,:,遇到的概率不超过,0.01),河堤至少要修多高,?,解,设河堤至少要修,H,米,X-,连续型随机变量,则,PX=a=0,但,X=a,不是不可能事件,.,7,简答题,(1),随机变量,X,在闭区间,a,b,上取每个值得概率均相等,则,X,服从均匀分布,对吗,?,(2),概率为,0,的事件即为不可能事件,对吗,?,注意到连续型随机变量在每点上的概率为,0,解,(1),不对,(2),不对,1,设随机变量,X,为分布表,第,7,次,X,P,-1 2 4,1/4,1/2,1/4,求,X,的分布函数,F(x),并绘图,解,=,2,设随机变量,X,的分布函数为,求,(1),概率密度函数,(2) (3),解,(1),(2),(3),3,设随机变量,X,的概率密度为,(1),求,X,的分布函数,F(x),并绘图,(2),解 注意,F(x),连续且,4,设随机变量,X,为分布表,X,P,求下列随机变量的分布律,(1),(2),解,P,P,5,设随机变量,X,的分布函数为,求,X,的分布律,解,P,6,设随机变量,X,的概率密度为,求,的概率密度,解法一,解法二,单调上升 ，,其反函数为,1,从,1,2,3,4,5,中任取,3,个数,设,X,Y,分别是这三个数中的最大数 与最小数,求,(X,Y),的联合分布律,第次,解,1,2,3,3,4,5,Y,X,2 (X,Y),的分布律如下,问,X,与,Y,是否独立,?,X,y,0,1,0,1,2,解,X,与,Y,不独立,3 (X,Y),的分布律如下,且,X,与,Y,独立,求,a=? b=?,y,x,2,3,4,1/12,a,5,b,1/2,解,X,与,Y,独立,或,4 (X,Y),的分布律如下,求分布律,X,y,0,1,-1,0,1,解,-1,0,1,2,-1,0,1,5,设,X,与,Y,各自的分布律为,且,X,与,Y,独立,求,X+Y,的分布律,取值,概率,1 2, ,解,X+Y,P,2,3,4,1/4,2/4,1/4,1,设随机变量,X,为分布表,第,9,次,X,P,-1 0 0.5 1 2,1/3,1/6,1/6,1/12,1/4,求（）,（,2,）,解,2,设随机变量,X,的概率密度为,求（）,（,2,）,解,3,设随机变量,X,的分布函数为,求,(1) EX,（,2) E(3X+5),解,4,对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间,a,b,内,求圆面积的期望,解,X-,直径,则,XUa, b,5,按规定某车站每天,8:00-9:00, 9:00-10:00,恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,到站时刻,8:10 8:30 8:50,9:10 9:30 9:50,概率,0.2 0.4 0.4,(1),旅客,8:00,到站,求他候车时间的数学期望,(2),旅客,8:20,到站,求他候车时间的数学期望,解,(1),旅客,8:00,到站,X-,表示候车时间， 则,X,10 30 50,P,0.2 0.4 0.4,5,按规定某车站每天,8:00-9:00, 9:00-10:00,恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,到站时刻,8:10 8:30 8:50,9:10 9:30 9:50,概率,0.2 0.4 0.4,(1),旅客,8:00,到站,求他候车时间的数学期望,(2),旅客,8:20,到站,求他候车时间的数学期望,解,(2),旅客,8:20,到站,X-,表示候车时间， 则,X,10 30 50 70 90,P,0.4 0.4 0.04 0.08 0.08,1,设随机变量,X,为分布表,第,10,次,X,P,0 1 2 3 4,0.1 0.2 0.1 0.4 0.2,求,(1) D(-X) (2) D(2X+3),解,2,设随机变量,X,的概率密度为,求,(1)k=? (2),解,(3) EX DX (4) E(3X+2) D(-3X+2),3,设随机变量,X,服从,泊松分布,且,PX=1=PX=2,求,EX,DX,解,4,设随机变量,求,Y=3X,的概率密度函数,解,Y=3X,也是正态分布,且,EY=6 DY=81,5,设随机变量,X,的概率密度为,已知,EX=2, P1X3=3/4,求,a,b,c,解,1 (X,Y),的分布律如下,第,12,次,Y,X,0,1,0,1/3,1/6,1,1/2,0,求,(1) E(X+Y) (2) E(XY),解,2 (X,Y),的分布律如下,Y,X,0,1,2,3,1,0,3/8,3/8,0,3,1/8,0,0,1/8,求,(1),(2),解,3,设,X,Y,为两个随机变量,且, DX=1 DY=2,求,解,4,设随机变量,X,Y,相互独立,且都服从正态分布,记,(,常数,),求,(1),(2),解,第,13,次,1,在总体,中抽取样本,指出,(,已知,未知,),，,哪些是统计量,?,解,是统计量,2,给定样本观测值,92,94,103,105,106,求样本均值和方差,解,=42.5,3,在总体,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于,1,的概率,中随机抽取容量为,5,的样本，,解,=0.2628,4,已知,求,(1),（,2,）若,求,解,5,已知,，求（,1,）,，,（,2,）若,求,（,3,）若,求,解 （,1,）,（,2,）,（,3,）,6,设总体,则容量,n,应取多大,才能使得,是,X,的样本,解,所以,n,最小为,35,第,14,次,1,从某正态总体,X,取得样本观测值：,14.7,15.1,14.8,15.0,15.2 ,14.6 ,用矩法估计总体均值,方差,2,解,2,总体,x,的密度为,样本为,求,的矩法估计量,解,3,总体,x,的密度为,样本为,求,的矩法估计量,解,4,为总体 的样本,证明,均为总体均值,的无偏估计量,证明,第,14,次,1,总体,样本观测值为,22.3 21.5 20.0 21.8 21.4,求,(1)=0.3,时,的置信度为,0.95,的置信区间,(2),2,未知时,的置信度为,0.95,的置信区间,解,(1) ,的置信区间为,(,2,已知,),所以,置信区间为,(21.37 , 21.66),(2) ,的置信区间为,(,2,未知,),所以,置信区间为,(20.336, 22.464),第,14,次,2,总体,样本观测值,16,个,.,得样本均值为,20.8,标准差为,1.6,求,的置信度为,0.95,的置信区间,解,(2) ,的置信区间为,(,2,未知,),所以,置信区间为,(19.948, 21.652),3,总体,样本观测值为,510,485,505,505,490,495,520,515,求,(1)=8.6,时,的置信度为,0.9,的置信区间,(2),2,未知时,的置信度为,0.95,的置信区间,解,(1) ,的置信区间为,(,2,已知,),所以,置信区间为,(498.13, 505.20),(2) ,的置信区间为,(,2,未知,),所以,置信区间为,(492.253, 511.0809),490,4,设某种电子管的使用寿命服从正态分布,从中随机抽取,16,个进行检验,得平均寿命,1950,小时,标准差为,S=300,小时,试求,95%,的可靠性求出整批电子管的,平均使用寿命,和,方差,的置信区间,.,解,(1) ,的置信区间为,(,2,未知,),所以,置信区间为,(1790.138, 2109.863),(2),方差,s,2,的置信区间,方差,s,2,的置信区间为（,49112.34,，,215586.1,）,1,已知某炼铁厂的铁水含碳量,(%),正常情况下服从正态分布,且标准铁水含碳量为,4.3,若已知标准差,=0.108,现测量五炉铁水,其含碳量分别为,4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 (%),问这些铁水是否合格,?(,显著性水平为,=0.05 ),.,第,15,次,1,提出待检验的,假设,H,0,：,m= 4.3,解,2,选取检验统计量,若假设成立,N,(,0, 1),3,对于给定的检验水平,a,，确定接受域,a =0.05,查表可得,Z,a/2,=,H,0,的接受域为,1.96,-1.96,1.96,4,计算统计量,U,的值,1.325,接受原假设,H,0,：,m= 4.3,均值的检验（方差已知）,2,正常人的脉搏平均为,72,次,/,分,现测得,10,名病人脉搏数据如下,54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69,问患者脉搏与正常人的脉搏有无显著差异,(,显著性水平,=0.05 ),均值的检验（方差未知）,1,提出待检验的,假设,H,0,：,m= 72,解,2,选取检验统计量,若假设成立,t,(9),3,对于给定的检验水平,a,，确定接受域,a =0.05,查表可得,t,a/2,(9),=,H,0,的接受域为,2.26,-2.26,2.26,4,计算统计量,U,的值,-2.45,拒绝原假设,H,0,：,m= 72,3,某机器生产的垫圈厚度,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取,9,个,算得平均厚度为,1.6cm,标准差为,0.1cm,检验机器是否正常,(1),显著性水平为,=0.05 (2),显著性水平为,=0.01,均值的检验（方差未知）,1,提出待检验的,假设,H,0,：,m= 1.5,解,2,选取检验统计量,若假设成立,t,(8),3,对于给定的检验水平,a,，确定接受域,a =0.05,查表可得,t,a/2,(8),=,H,0,的接受域为,2.306,-2.306,2.306,4,计算统计量,U,的值,=3,拒绝原假设,H,0,：,m= 1.5,3,某机器生产的垫圈厚度,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取,9,个,算得平均厚度为,1.6cm,标准差为,0.1cm,检验机器是否正常,(1),显著性水平为,=0.05 (2),显著性水平为,=0.01,均值的检验（方差未知）,1,提出待检验的,假设,H,0,：,m= 1.5,解,2,选取检验统计量,若假设成立,t,(8),3,对于给定的检验水平,a,，确定接受域,a =0.01,查表可得,t,a/2,(8),=,H,0,的接受域为,3.3554,-3.35,3.35,4,计算统计量,U,的值,=3,接受原假设,H,0,：,m= 1.5,1,设总体 样本观测值为,1.34 1.41 1.38 1.39 1.38 1.41 1.37 1.38 1.34 1.40,是否认为,(,显著性水平为,=0.05),1,提出待检验的,假设,解,2,选取检验统计量,若假设成立,方差的检验,3,对于给定的检验水平,a,，查表,2.7,19.0,4,计算统计量,c,2,(n-1),的值,8.96,接受原假设,H,0,：,s,2,=,0.025,2,第,16,次,2,抽取,10,件零件,测得直径的样本均值为,样本方差为,已知机器正常情况下,判断机器工作是否正常,(1-=0.95),1,提出待检验的,假设,解,2,选取检验统计量,若假设成立,3,对于给定的检验水平,a,，查表,2.7,19.0,4,计算统计量,c,2,(n-1),的值,4.959,接受原假设,H,0,：,s,2,=,0.392,3,某厂生产的电缆,抗拉强度现从改进工艺后生产的电缆中抽取,10,根,测量抗拉强度,样本均值为,方差为,问 新工艺生产的电缆抗拉强度，其方差是否有显著变化,? (=0.05),1,提出待检验的,假设,解,2,选取检验统计量,若假设成立,3,对于给定的检验水平,a,，查表,2.7,19.0,4,计算统计量,c,2,(n-1),的值,9.358,接受原假设,H,0,：,s,2,=,82,2,4,零件的直径 ，该厂承诺 ，现从产品中抽取,10,件，测得直径样本均值为 ，方差为,问在显著性水平,=0.05,下,该厂承诺是否可信,?,1,提出待检验的,假设,解,2,选取检验统计量,若假设成立,3,对于给定的检验水平,a,，查表,2.7,19.0,4,计算统计量,c,2,(n-1),的值,14.5,接受原假设,H,0,：,s,2,=,0.392,
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