第三章线性方程组向量组相关性习题课

,单击此处编辑母版标题样式,第三章 线性方程组习题课,定义,1.,线性组合,2.,线性表出,定义,3.,线性相关,定义,:,如果向量组 中有,一向量,称为,线性相关,的,.,可经其余向量线性表出，则向量组,定义,：,向量组 称为线性相关,如果存在,P,上,不全为零,的数,使,4.,线性无关,定义,：,若向量组 不线性相关，则称,若不存在,P,中不,全为零的数,，,使,向量组,为,线性无关的,.,即,则称向量组,为,线性无关的,.,必有,等价的，对于一个向量组,若由,则称向量组,为,线性无关的,.,线性相关性的性质,1,）一向量组线性相关的,充要条件,是其中至少有一,个向量可由其余向量线性表出,.,部分相关,-,整体相关,（,整体无关,-,部分无关,）,短向量线性无关，则加长向量线性无关；,长向量线性相关，则缩短向量线性相关,定理,2,设 与 为两个,i),向量组,可经 线性表出,；,则向量组,必线性相关,.,ii),向量组，若,推论,1,若向量组,可经向量组,线性表出，且,线,线性无关,，,则,推论,2,任意,n,1,个,n,维向量必线性相关,.,推论,3,两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量,定义,5.,向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于,它的行向量组的秩,定理,设向量组,B,能由向量组,A,线性表示，则向量,组,B,的秩不大于向量组,A,的秩,推论,推论：,一个向量组的任意两个极大无关组都等价,.,命题,2,：一个向量组的任意两个极大无关组都含有,相同个数的向量,.,命题,1,：,向量组和它的任一极大无关组等价,.,极大无关组的性质,1,）一个向量组的极大无关组不是唯一的,.,2,）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身,.,注：,向量组的秩 的性质,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩它所含向量个数,.,1,）一个向量组线性无关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,2,）等价向量组必有相同的秩,.,反之，,有相同的秩的两个向量组不一定等价,.,3,）若向量组,可经向量组,线性表出，则秩,秩,6.,矩阵的秩,矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为,矩阵的秩,，,定义,1.,设，则,定理,5,设 ，,则,推论1,齐次线性方程组,有非零解 系数矩阵 的行列式,=0,只有零解,个 级子式,不等于,0,，且所有 级子式等于0,定理,6,矩阵 的秩为 的充要条件是中有一,7,线性方程组,定理,7,线性方程组有解的充分必要条件是,的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即,7.1,齐次线性方程组,解的性质；基础解系,1.,基础解系的条件,2.,基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组,任意,n-r,个线性无关的解向量,3.,基础解系的求法,7.2,非齐次线性方程组,解的性质,解的结构,推论,非齐次线性方程组（,3,）在有解的条件下，,解是唯一的充要条件是它的导出（,4,）只有零解,.,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、基础解系的证法,四、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法,1,从定义出发,整理得线性方程组,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,例,研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成极大线性无,关组的基本方法就是：,分析,根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系,证明,证明：只需证明向量部分组线性无关即可，,两向量组等价，具有相同的秩,因为向量组个数,=,秩，则该向量组线性无关,即证,证明：向量组,(I),的极大无关组可由向量组,(II),线性表出，而且,(II),的极大无关组与,(II),等价，即，向量组,(I),的极大无关组可由,(II),的极大无关组线性表出，,(I),的极大无关组线性无关，由,定理,2,的推论,1,，知，,R(I)=R(II),证明：,两向量组等价，具有相同的秩,n,因为向量组个数,=,秩，则该向量组线性无关,即证,证明,2,：,R(a1,a2,an)=r=n,，,R(II)=n,向量组,II,可由向量组,(I),线性表出，,所以,R(II)=n=R(I)=r,所以,r=n,因此,(I),线性无关,即证,证明：必要性：已知：向量组,I,线性无关，结论,:,任一,n,维向量可,被向量组,(I),线性表出。,向向量组,I,中任意添加一向量，构成的新向量组共有,n+1,个,n,维,向量构成，线性相关（定理,2,推论,2,）,证明：充分性：已知：任一,n,维向量可被向量组,(I),线性表，,结论,:,出向量组,I,线性无关。,任一,n,维向量可被向量组,I,线性表出，则,n,维单位向量也可被,其线性表出，由,(t13),可知，向量组,I,线性无关,求一个,向量组的秩,，可以把它转化为,矩阵的秩,来求，,这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的,如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量,作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅,可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关,组,二、求向量组的秩,若矩阵,A,经过初等行变换化为矩阵,B,，则,A,和,B,中,任何对应的列向量组都有相同的线性相关性,解,例,5,证明与基础解系等价的线性无关的向量组,也是基础解系,三、基础解系的证法,分析,(3),方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1),该组向量都是方程组的解；,(2),该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组的基础解,系，需要证明三个结论,:,证明,注,当线性方程组有非零解时，基础解系的取,法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,四、解向量的证法,证明,注意,(1),本例是对非齐次线性方程组的解,的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方,程组一定存在着个线性无关的解，题中,(2),的证明表明了它的存在性,(3),对非齐次线性方程组，有时也把,如题中所给的个解称为的基础,解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合,系数之和为,1,时，才是方程组的解,(2),对齐次线性方程组，当时，,有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性,表示,第四章测试题,一、填空题,二、计算题,三、证明题,四、向量组 线性无关,问常数 满足,什么条件时,向量组,线性无关,测试题答案,