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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,Ch7.6,一、二元函数的极值(无条件),二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及最值,1,一、 二元函数的极值,定义:,若函数,则称函数在该点取得,极大值(极小值),.,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值,；,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点.,的,某邻域内,有,二元函数极值也是局部性的概念,2,即定理1反之不真!,在(0,0)处两个偏导数均为0,(2) 偏导数不存在的点也可能取得极值.,说明,:(1) 使一阶偏导数都为 0 的点称为,驻点,或,稳定点,.,但驻点不一定是极值点，,例如,在(0,0)取得极大值.,定理1,(极值存在的必要条件),且在该点取得极值 ,则有,函数,偏导数,存在,极值点必在驻点和一阶偏导数不存在的点中取得.,定理1：一阶偏导数存在的极值点必为驻点。,但(0,0)无极值.,如何判断一个驻点是否为极值点？,3,时,具有极值,定理2,(极值存在充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A,0(或C0 (或C0)时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 (P238) .,时,没有极值,.,时,不能确定, 需另行讨论.,若函数,4,二元函数求极值的步骤:,5,例1.,求函数,的极值.,解:,6,例2.,求函数,得驻点,: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,在点,(1,0),处,为极小值;,1.解,的极值.,2.求二阶偏导数,即A,B,C,解:,7,在点,(,3,0),处,不是极值;,在点,(,3,2),处,为极大值.,在点,(1,2),处,不是极值;,8,二、最大值,最小值,函数,f,在有界闭域上连续,函数,f,在有界闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点及偏导数不存在的点,边界上的最值点,依据,-有界闭域上的最值问题,9,在求解实际问题的最值时,如果从实际意义知道所求函数最值存在, 且,只有一个,驻点,P,时,则该驻点就是函数所求的最值点。,为极小 值,为最小 值,(大),(大),10,例,4,.,求最大利润.,某企业生产两种商品的产量分别为x单位和y单位,利润函数为,最大利润为1650单位.,解:,11,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,方法1 无条件化.,基本思想是把条件极值问题化为无条件极值问题,12,方法2 拉格朗日乘数法.,模型:,13,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,例如,求函数,下的极值.,在条件,可得到 的可能的极值点 .,14,解:,15,一、二元函数求极值的步骤:,二、最大值,最小值实际问题的应用,三、条件极值 拉格朗日乘数法.,16,作业,P244 1(1),(7); 2(1),; 3(2) ;6,17,得驻点,: (2, 0) , (0, 0)(舍去）,在点,(2,0),处f(2,0)=4,解:,18,
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