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2.4.2,抛物线的简单几何性质,第,1,课时抛物线的简单几何性质,抛物线的简单几何性质,标准方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py,(p0),图象,标准方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py,(p0),性质,范围,_,_,_,_,对称轴,_,轴,_,轴,顶点,_,焦点,_,_,_,_,准线,_,_,_,_,离心率,e=_,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,判断,:(,正确的打,“,”,错误的打,“,”,),(1),抛物线的图象关于点,(0,0),对称,.(,),(2),抛物线没有渐近线,.(,),(3),过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是,p.(,),提示,:,(1),错误,.,抛物线没有对称中心,它的图象不关于点,(0,0),对称,因为,y,2,=2px,中,同时把,x,y,换成,-,x,-y,方程发生了变化,.,(2),正确,.,渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有渐近线,.,(3),错误,.,把,x=,代入,y,2,=2px(p0),得,y=,p,所以过焦点且垂,直于对称轴的弦长是,2p.,答案,:,(1),(2),(3),【,知识点拨,】,1.,在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较,椭圆,双曲线,抛物线,对称轴,x,轴和,y,轴,x,轴或,y,轴,对称中心,(0,0),(0,0),无,顶点,4,个,2,个,1,个,(0,0),焦点,2,个,2,个,1,个,准线,不研究,不研究,1,条,渐近线,无,2,条,无,离心率,e(0,1),e(1,+),e=1,2.,参数,p(p,0),对抛物线开口大小的影响,因为过抛物线的焦点,F,且垂直于对称轴的弦的长度是,2p,所以,p,越大,开口越大,.,3.,抛物线的图象具有的特征,抛物线是轴对称图形,其焦点,F,和准线与对称轴的交点关于原点,O,对称,即若准线与对称轴的交点为,M,则,O,为,MF,的中点,.,4.,点,P(x,0,y,0,),与抛物线,y,2,=2px(p0),的位置关系,(1)P(x,0,y,0,),在抛物线,y,2,=2px(p0),内部,y,0,2,0),上,y,0,2,=2px,0,.,(3)P(x,0,y,0,),在抛物线,y,2,=2px(p0),外部,y,0,2,2px,0,.,类型 一,焦半径和焦点弦问题,【,典型例题,】,1.(2013,鹤岗高二检测,),抛物线,y,2,=8x,上一点,P,到,y,轴的距离是,4,则点,P,到该抛物线焦点的距离是,(,),A.4,B.6,C.8,D.12,2.(2013,大理高二检测,),若抛物线,y,2,=-2px(p0),上有一点,M,其横坐标为,-9,它到焦点的距离为,10,求抛物线方程和,M,点的坐标,.,【,解题探究,】,1.,抛物线,y,2,=8x,的焦点坐标是什么,?,准线方程呢,?,2.,抛物线上的点具有什么性质,?,探究提示,:,1.,焦点坐标为,(2,0),准线方程为,x=-2.,2.,抛物线上的点具有两点性质,:,点的坐标适合方程,;,点满足定义条件,即点,P,到焦点的距离等于到准线的距离,.,【,解析,】,1.,选,B.,抛物线,y,2,=8x,的准线是,x=-2,由条件知,P,到,y,轴距离为,4,点,P,的横坐标,x,P,=4.,根据焦半径公式可得,|PF|=4+2=6.,2.,由抛物线定义知焦点坐标为,F(- ,0),准线方程为,x= ,由题意设,M,到准线的距离为,|MN|,则,|MN|=|MF|=10,即,-(-9)=10,p=2,故抛物线方程为,y,2,=-4x,将,M(-9,y),代入,y,2,=-4x,解得,y=,6,M(-9,6),或,M(-9,-6).,【,拓展提升,】,1.,抛物线的焦半径,(1),抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段,.,(2),抛物线的焦半径公式,:,抛物线,y,2,=2px(p0),|PF|=|x,0,+ |= +x,0,抛物线,y,2,=-2px(p0),|PF|=|x,0,- |= -x,0,抛物线,x,2,=2py(p0),|PF|=|y,0,+ |= +y,0,抛物线,x,2,=-2py(p0),|PF|=|y,0,- |= -y,0,2.,过抛物线焦点的弦长,设过抛物线焦点的弦的端点为,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,:,y,2,=2px(p0),|AB|=x,1,+x,2,+p,y,2,=-2px(p0),|AB|=p-(x,1,+x,2,),x,2,=2py(p0),|AB|=y,1,+y,2,+p,x,2,=-2py(p0),|AB|=p-(y,1,+y,2,),【,变式训练,】,抛物线的顶点在原点,以,x,轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为,135,的直线被抛物线所截得的弦长为,8,试求抛物线的方程,.,【,解题指南,】,联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程,.,【,解析,】,若抛物线开口向右,如图,.,设抛物线的方程为,y,2,=2px(p0),则直线方程为,y=-x+ p.,设直线交抛物线于,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),两点,则由抛物线定义得,|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x,1,+ +x,2,+ ,即,x,1,+x,2,+p=8.,又,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),是抛物线和直线的交点,由 消去,y,得,x,2,-3px+ =0,x,1,+x,2,=3p.,将其代入,得,p=2.,所求抛物线的方程为,y,2,=4x.,当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为,y,2,=-4x.,综上,抛物线的方程为,y,2,=4x,或,y,2,=-4x.,类型 二,抛物线性质的应用,【,典型例题,】,1.(2013,唐山高二检测,),抛物线,y=4x,2,上一点到直线,y=4x-5,的距离最短,则该点的坐标是,(,),A.( ,1) B.(0,0),C.(1,2) D.(1,4),2.,已知,A,B,是抛物线,y,2,=2px(p0),上两点,O,为坐标原点,若,|OA|=|OB|,且,AOB,的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线,AB,的方程,.,【,解题探究,】,1.,题,1,中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些,?,2.,以原点为一个顶点的三角形的,“,四心,”,在抛物线的对称轴上,另两个顶点的位置关系如何,?,探究提示,:,1.,一般有三种方法,:(1),构造函数法,.(2),数形结合法,.(3),转化法,.,2.,根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称,.,【,解析,】,1.,选,A.,方法一,:,设抛物线上点的坐标为,(x,4x,2,),其中,xR,由点到直线的距离公式得,当,x=,时,d,最小,.,这时点的坐标为,( ,1).,方法二,:,设与,y=4x-5,平行的抛物线,y=4x,2,的切线方程为,y=4x+m,由 得,4x,2,-4x-m=0.,再由,=16-4,4,(-m)=0,得,m=-1.,这时切点为,( ,1),切点,( ,1),到,y=4x-5,的距离最小,.,2.,如图所示,.,设,A(x,0,y,0,),由题意可知,B(x,0,-y,0,),又,F( ,0),是,AOB,的垂心,则,AFOB,k,AF,k,OB,=-1,即,y,0,2,=x,0,(x,0,- ),又,y,0,2,=2px,0,x,0,=2p+ = .,因此直线,AB,的方程为,x= .,【,互动探究,】,题,2,中,若把,“,垂心,”,改为,“,重心,”,AB,的方程如,何,?,【,解析,】,根据抛物线的对称性,因为,F,为,OAB,的重心,所以,A,B,两点关于,x,轴对称,.,又根据重心的性质,|OF|= ,AB,的方程应为,【,拓展提升,】,抛物线的主要性质及应用方向,类型 三,抛物线中的证明问题,【,典型例题,】,1.,证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,.,2.,已知过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点,F,的直线交抛物线于,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),两点,.,求证,:(1)x,1,x,2,为定值,.,(2),为定值,.,【,解题探究,】,1.,判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么,?,2.,什么是定值,?,探究提示,:,1.,判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小,.,2.,定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关,.,【,证明,】,1.,如图,作,AA,1,l,于,A,1,BB,1,l,于,B,1,M,为,AB,的中点,作,MM,1,l,于,M,1,则由抛物线的,定义可知,|AA,1,|=|AF|,|BB,1,|=|BF|,在直角梯形,BB,1,A,1,A,中,|MM,1,|= (|AA,1,|+|BB,1,|)= (|AF|+|BF|)= |AB|,故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切,.,2.(1),抛物线,y,2,=2px,的焦点为,F( ,0),当,AB,不垂直于,x,轴时,设直线,AB,的方程为,y=,k(x,- )(k0).,由 消去,y,得,k,2,x,2,-p(k,2,+2)x+ =0.,由根与系数的关系得,x,1,x,2,= (,定值,).,当,ABx,轴时,x,1,=x,2,= ,x,1,x,2,=,也成立,.,(2),由抛物线的定义知,|FA|=x,1,+ ,|FB|=x,2,+ .,又由,(1),得,x,1,x,2,= ,所以,=,= (,定值,).,【,拓展提升,】,解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点,【,变式训练,】,如图,M,是抛物线,y,2,=x,上的一点,动弦,ME,MF,分别交,x,轴于,A,B,两点,且,|MA|=|MB|.,若,M,为定点,.,证明,:,直线,EF,的斜率为定值,.,【,证明,】,设,M(y,0,2,y,0,),直线,ME,的斜率为,k(k,0),则直线,MF,的斜率为,-k,直线,ME,的方程为,y-y,0,=k(x-y,0,2,).,由 消去,x,得,ky,2,-y+y,0,(1-ky,0,)=0.,解得,同理可得,=- (,定值,).,直线,EF,的斜率为定值,.,【,易错误区,】,抛物线最值问题中忽视范围致误,【,典例,】,(2013,安阳高二检测,),若抛物线,x,2,=2y,上距离点,A(0,a),的最近点恰好是抛物线的顶点,则,a,的取值范围是,(,),A.a,0,B.00,即,a1,时,y=a-1,时,d,2,取到最小值,不符合题意,.,综上可知,a1.,【,误区警示,】,【,防范措施,】,1.,不要忽视抛物线中范围,抛物线中的变量是有范围的,解题中若忽视了这一点,会使讨论起来更加复杂,或解题中妄加猜测,如本例中,y,的范围为,0,+).,2.,分类讨论思想的应用,求最值时,若对称轴与变量范围不确定时,需分类讨论,如本例中,因,y0,故分,a-10,或,a-10,两种情况讨论,.,【,类题试解,】,设点,A,的坐标为,(a,0)(aR),则曲线,y,2,=2x,上的点到,A,点的距离的最小值为,.,【,解析,】,设曲线,y,2,=2x,上的点到,A,点的距离为,d,抛物线上任一点的坐标为,(,x,y,),则,d,2,=(x-a),2,+y,2,=x,2,-(2a-2)x+a,2,=x-(a-1),2,+(2a-1).,因为,x0,+),所以当,a1,时,d,min,2,=2a-1,d,min,= ;,当,a1,时,d,min,2,=a,2,d,min,=|a|.,答案,:,或,|a|,1.,抛物线,y=-x,2,上的点到直线,4x+3y-8=0,距离的最小值是,(,),A.,B.,C.,D.3,【,解析,】,选,A.,设抛物线,y=-x,2,上一点为,(m,-m,2,),该点到直线,4x+3y-8=0,的距离为 当,m=,时,取得最小值,为,.,2.,方程,(3-m)y,2,=(m-1)x,表示抛物线,其中,m,不能为,(,),A.1 B.3 C.1,或,3 D.1,且,3,【,解析,】,选,D.,由条件知,解得,m3,且,m1,故选,D.,3.,抛物线,y,2,=,mx,的焦点为,F,点,P(2,2 ),在此抛物线上,M,为,线段,PF,的中点,则点,M,到该抛物线准线的距离为,(,),A.1 B. C.2 D.,【,解析,】,选,D.,点,P(2,2 ),在抛物线,y,2,=,mx,上,所以,m=4,抛物线的准线为,x=-1.,抛物线,y,2,=,mx,的焦点为,F(1,0),M,为线段,PF,的中点,M,的坐标为,( ),M,到抛物线的准线,x=-1,的距离,.,4.,抛物线,y,2,=8x,上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为,.,【,解析,】,根据定义知,抛物线上的点,P,到顶点的距离和到焦点的距离相等,P,在,OF,的中垂线上,F(2,0),点,P,的横坐标为,1.,把,x=1,代入,y,2,=8x,得,y=,2 .,故,P(1,2 ).,答案,:,(1,-2 ),和,(1,2 ),5.,抛物线,y,2,=2x,上点,P(1,- ),到其焦点的距离为,.,【,解析,】,焦点为,F( ,0),d=,故,P(1,- ),到抛物线焦点的距离为,.,答案,:,6.,已知抛物线的焦点,F,在,x,轴上,直线,l,过,F,且垂直于,x,轴,l,与抛物线交于,A,B,两点,O,为坐标原点,若,OAB,的面积等于,4,求此抛物线的标准方程,.,【,解析,】,由题意,抛物线方程为,y,2,=2px(p0),焦点,F,直线,l,:x,= ,A,B,两点坐标为,|AB|=2|p|.,OAB,的面积为,4,2|p|=4,p=,2,抛物线方程为,y,2,=,4 x.,
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