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第,64,页,第四十六讲,直线平面平行的判定及其性质,回归课本,1.直线与直线,(1)空间两条直线的位置关系有,平行,相交,异面,三种.,(2)过直线外一点,有且仅有,一条直线和这条直线平行.,(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相,平行,又叫做空间平行线的传递性.,(4)定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角,相等,.,(5)空间四边形:顺次连结不共面的四点ABCD所构成的图形,叫做,空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做,四边形的边,;连结不相邻的顶点的线段叫做,空间四边形的对角线,.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.,2.直线与平面平行,(1)直线与平面的位置关系有:,平行:,直线和平面没有公共点,相交,:直线和平面有且只有1个公共点,直线在平面内:,直线和平面有无数个公共点,其中也叫,直线在平面外,(2)直线与平面平行,判定定理:平面外的一条直线与,平面内的一条直线平行,则该直线就与此平面平行.,性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的,交线,也与该直线平行.,3.平面与平面平行,(1)平面与平面的位置关系,平行,两平面无公共点,两平面相交,有一条公共直线,(2)平面与平面的平行,判定定理:,一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行,.,性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们的交线,平行,.,考点陪练,1.设AA是长方体的一条棱,这个长方体中与AA平行的棱共有( ),A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,解析:AABBCCDD.,答案:C,2.b是平面外一条直线,下列条件中可得出b的是( ),A.b与内一条直线不相交,B.b与内两条直线不相交,C.b与内无数条直线不相交,D.b与内任意一条直线不相交,解析:只有在b与内所有直线都不相交,即b与无公共点时,b.,答案:D,3.在空间,下列命题正确的是( ),A.若a,ba,则b,B.若a,b,a,b,则,C.若,b,则b,D.若,a,则a,解析:若a,ba,则b或b,故A错误;由面面平行的判定定理知,B错误;若,b,则b或b,故C错误.,答案:D,4.已知两个不同的平面和两条不重合的直线mn,有下列四个命题:若mn,n,则m;若m,n,则mn;若,m,则m.,其中正确命题的个数是( ),A.1 B.2,C.3 D.0,解析:有可能m,;mn还可能是异面直线;正确,故正确答案是A.,答案:A,5.a,b,c为三条不重合的直线,、为三个不重合的平面,现给出四个命题:,其中正确的命题是,_,.,答案:,类型一直线与直线平行,解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行,【典例1】 如图,若=a,=b,=c,且ab,求证:abc.,分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得.,证明 ba,a,b,b(线线平行,则线面平行).,b,=c,bc(线面平行,则线线平行),abc.,反思感悟 (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结论.(2)本题证明思路是:线线,线面,线线.,类型二直线和平面平行,解题准备:1.证明线面平行的方法,(1)依定义采用反证法;,(2)判定定理法(线线平行,线面平行);,(3)面面平行的性质定理(面面平行,线面平行).,2.应用线面平行判定定理的思路,在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,在找(或作)这一条直线时,由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行,所以要通过平面来找(或作)这一条直线.在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导.,【典例2】 如图,正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中,侧面对角线AB,1,BC,1,上分别有两点E,F且B,1,E=C,1,F.,求证:EF平面ABCD.,分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.,证明 证法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图).则EMBB,1,FNBB,1,EMFN.,AB,1,=BC,1,B,1,E=C,1,F,AE=BF, ,又BB,1,=CC,1,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.,又EF,平面ABCD,MN,平面ABCD,EF平面ABCD.,证法二:连接B,1,F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).,BPB,1,C,1,B,1,FC,1,PFB,AB,1,=BC,1,B,1,E=C,1,F,AE=BF, EFAP.,又EF,平面ABCD,AP,平面ABCD,EF平面ABCD.,证法三:过点E作EHBB,1,于点H,连接FH(如图).,则EHAB,所以,AB,1,=BC,1,B,1,E=C,1,F, ,FHB,1,C,1,.,B,1,C,1,BC,FHBC.,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.,EF,平面EFH,EF平面ABCD.,反思感悟 判断或证明线面平行的常用方法有:,(1)利用线面平行的定义(无公共点);,(2)利用线面平行的判定定理(a,b,ab,a);,(3)利用面面平行的性质定理(,a,a);,(4)利用面面平行的性质(,a,a,a,a).,类型三平面与平面平行的证明方法,解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外,还有:,(1)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行.,(2)如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行.,2.平行问题的转化方向如图所示:,注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立.,(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线,有时第三个平面需要作出来.,【典例3】 如图所示,三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,D是BC上一点,且A,1,B平面AC,1,D,D,1,是B,1,C,1,的中点,求证:平面A,1,BD,1,平面AC,1,D.,证明 连接A,1,C交AC,1,于点E,四边形A,1,ACC,1,是平行四边形,E是A,1,C的中点,连接ED,A,1,B平面AC,1,D,平面A,1,BC平面AC,1,D=ED,A,1,BED,E是A,1,C的中点,D是BC的中点.,又D,1,是B,1,C,1,的中点,在三棱柱ABCA,1,B,1,C,1,中,BD,1,C,1,D,A,1,D,1,AD,又A,1,D,1,BD,1,=D,1,ADC,1,D=D,平面A,1,BD,1,平面AC,1,D.,反思感悟 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:,(1)面面平行的定义;,(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;,(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;,(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;,(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,类型四线面平行中的探究问题,解题准备:探究性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.,【典例4】 如图,在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中,点E在PD上,且PEED=21,在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论?,解 当F是棱PC的中点时,BF平面AEC.,证明:取PE的中点M,连接FM,则FMCE.,由EM= PE=ED,知E是MD的中点.,连接BMBD,设BDAC=O,则O为BD的中点,连接OE,所以BMOE.,由知,平面BFM平面AEC.,又BF,平面BFM,所以BF平面AEC.,错源一主观臆断,推理不严谨,【典例1】 如图所示,已知EF分别是正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的棱AA,1,CC,1,的中点.,求证:四边形BED,1,F是平行四边形.,错证 在正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中,平面A,1,ADD,1,平面B,1,BCC,1,由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故D,1,EFB,同理可证D,1,FEB,故四边形EBFD,1,为平行四边形.,剖析 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理.立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.,证明 取DD,1,的中点G,连接AGFG.,AE D,1,G,D,1,E AG,又FG CD,CD AB,FG AB,BF AG,D,1,E BF,四边形EBFD,1,为平行四边形.,错源二以特殊代替一般,以偏概全致误,【典例2】 已知,AB,CD是夹在与间的两,条线段,点E,F分别在AB,CD上,且AE:EB=CF:FD=m:n,求证:EF,EF.,剖析 容易利用下图(1)或图(2)中的特殊图形代替一般证明,对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析,由此产生特殊代替一般的证明错误.,证明 当AB,CD共面时,如图(1)(2)所示,根据平行线分线段成比例定理,知EFAC,EFBD,立即推出EF,EF;当AB,CD异面时,如图(3)所示,过点A作AGCD交平面于点G,连接DG,BG.过点F作FHAC交AG于点H,连接HE.由,知ACGD,则HFGD,所以HF;由于ACHFGD,故CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,则EHBG,所以EH.综上,可知平面EFH平面,又,故平面EFH平面.由于EF,平面EFH,故EF,EF.,评析 在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况,还要把它们异面的情况考虑进去.由于空间图形位置关系的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况,导致解答不全.,技法一题多解,【典例】 一条直线分别与两个相交平面平行,那么这条直线必与它们的交线平行.,已知:平面平面=l,直线a平面,直线a平面.,求证:直线a直线l.,证明 证法一:作辅助平面.,如图,a,过a作平面交平面于c,ac(线面平行的性质定理).,同理过a作平面交平面于d,ad.,由公理4,ac,ad,得cd,又c,d,cd,c(线面平行的判定定理).,c,c,=l,cl(线面平行的判定定理).,又ac,由公理4,al.,证法二:同一法.,如图,在平面和平面的交线l上取一点A,过A作直线la.a,l在内(一条直线与一个平面平行,那么过平面内的一点且与这条直线平行的直线都在这个平面内).,同理a,l也在内.,l既在平面内,又在平面内.,由公理3知l就是平面与平面的交线,即l与l重合.,又la,la.,证法三:利用平行线关系.,如图,a,过a作平面交平面于不同于直线l的直线c,则ca.,又a,c.而平面是过c的平面且与平面相交于直线l.,由线面平行的性质定理,得cl.,又ac,由公理4知,al.,证法四:借助辅助平面.,如图,过平面与平面的交线l上一点A和直线a作平面.,与、有公共点A,则分别与、有过A的一条交线,设为l与l,但过A点有且只有一条直线平行于a,l与l重合,且这条直线既在平面内,又在平面内,故一定是平面与平面的交线l.,l、l、l三条直线重合,则al.,证法五:反证法.,若直线a不平行于直线l,则a与l相交或异面.,当a与l相交时,则a就与l所在的平面和平面相交,这与已知a,相矛盾,所以这是不可能的.,当a与l异面时,过l平行于a的平面只有一个,但已知平面和平面是两个不同的平面都过l且均与直线a平行,因此a与l异面也是不可能的.,因此直线a与直线l既不相交也不异面,故al.,证法六:过a作平行平面研究交线关系.,如图,过直线a作平面与平面平行.,平面与平面相交,平面也必与平面相交.,设平面与平面的交线为b.,a,ab.,又lb(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行).,由公理4,知al.,证法七:借助辅助平面,将平行关系转化为垂直关系来证明.,如图,作平面,使直线a.,a,(一条直线如果平行于一个平面,那么平行于这条直线的平面也垂直于这个平面).,同理可证,.,l(两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面).,l,a,al(垂直于同一平面的两条直线平行).,方法与技巧 (1)证法一、证法三、证法四是利用平行关系(线面平行的判定与性质定理)证明,是直接法;证法二与证法四是同一法,证法五是反证法,同一法与反证法属于间接证明,证法七利用垂直关系证明的.,(2)上述方法主要是掌握证法一、证法三、证法四,这三种证法思路简捷、明快,是直接应用线面平行的判定定理或性质定理来证明的.其他方法仅作了解,以拓宽知识面.,(3)证明过程中用到了一些常用的结论(括号内结论),对这些结论要在理解的基础上牢记它们,这样做有助于我们解决其它问题.,
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