7_3_抽样分布及其上分位数（PPT44页)

概 率 论 与 数 理 统 计,7.3 抽样分布及其上分位数,为了进一步研究未知参数的统计推断问题，本节介绍几个重要的抽样分布及其定理.,一 抽样分布,统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布” .,研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分布,分别表示样本均值和样本方差.,时，也称 是来自总体,的样本，仍用,如果 是来自总体,X,的样本，当,统计上的三大分布,记为,定义3.1:,如果随机变量 有概率密度,分布(卡方分布),1、,称 服从自由度为,n,的 分布.,来定义.,其中伽玛函数,通过积分,分布的密度函数图形自由度依次为,n,=1,3,5,7,n,=1,n,=3,n,=5,n,=7,分布的性质,定理3.1:,如果,是来自总体,N,(0,1),的样本, 则平方和,分别为样本均值和样本方差,则有,定理3.2:,如果,是来自总体,N,(0,1),的样本，,推论3.3:,如果,，则,这个性质叫 分布的可加性.,则有,定理,3.4,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,t,分布又称学生氏,(student),分布.,记做,T,t,(,n,).,定义3.2: 如果随机变量,T,具有概率密度,称,T,服从自由度为,n,的,t,分布.,2,、t,分布,形状:中间高,两边低,左右对称.,当,n,充分大时,，,t,分布近似,N,(0,1),分布,.,但对于较小的,n,，,t,分布与,N,(0,1),分布相差很大.,t,分布的图形(红色的是标准正态分布),n,=,1,n,=,20,t,(2),与,N,(0,1),概率密度曲线的对比,t,(20),与,N,(0,1),概率密度曲线的对比,t,分布的性质,定理3.5: 如果,Z,N,(0,1) ,且,Z,与 相互独立，则有,定理 3.6,如果,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,且它们独立. 则由,定理3.5得到,证明：由定理3.4,具有自由度为,n,的,t,分布的随机变量,T,的数学期望和方差为:,E,(,T,)=0;,Var,(,T,)=,n,/(,n,-2) ,对,n,2,t,分布的性质,3、,F,(,n,m,),分布,定义3.3 如果随机变量,F,有概率密度,称,F,服从自由度为(,n,m,)的,F,分布,，,记做,F,F,(,n,m,).,其中,n,称为第一自由度,，,m,称为第二自由度.,图形：,m,=10,m,=7,m,=3,m,=1,F,(6,m,)的密度图形，,m,=1,3,7,10,F,分布的性质,例,1,设,X,与,Y,相互独立,，,X N,(0,16),Y N,(0,9) ,X,1,X,2,X,9,与,Y,1,Y,2,Y,16,分别是取自,X,与,Y,的,简单随机样本, 求统计量,所服从的分布,解,从而,例2 设总体,的样本,为总体,X,试确定常数,c,使,cY,服从,分布.,解,故,因此,二 抽样分布的上分位数,由标准正态分布和,t,分布的密度函数图形的对称性及分位数的定义有：,