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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为,n,阶导数 ,或,的,二阶导数,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例,1.,思考:,设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3.,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,.,设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设,求使,存在的最高,分析,:,但是,不存在 .,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有,n,阶导数 , 则,(,C,为常数),莱布尼兹(,Leibniz,),公式,及,设函数,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证,莱布尼兹公式,成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求,n,阶,导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,如何求下列函数的,n,阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,3),提示:,令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(填空题) (1) 设,则,提示:,各项均含因子,(,x, 2 ),(,2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,试从,导出,解：,同样可求,(见,P101,题,4 ),作业,P101 1 (9) , (12) ;,3 ;,4 (2) ;,8 (2) , (3) ;,9 (2) , (3),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设,求,其中,f,二阶可导.,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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