智能传感器系统智能化功能的实现课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,现代传感器技术,第,5,章 智能传感器系统智能化功能的实现方法(),1,第,5,章 智能传感器系统智能化,功能的实现方法(),5.1,非线性自校正技术,5.2,自校零与自校准技术,5.3,噪声抑制技术,2,5.1 非线性自校正技术,测量系统的线性度(非线性误差)是影响系统精度的重要指标之一。智能传感器系统具有非线性自动校正功能，可以消除整个传感器系统的非线性系统误差，提高测量精度。,3,5.1 非线性自校正技术,与经典传感器技术不同的是，智能化非线性自动校正技术是通过软件来实现的。它不在乎测量系统中任一测量环节具有多么严重的非线性特性，也不需要再对改善测量系统中每一个测量环节的非线性特性而耗费精力，只要求它们的输入,输出特性具有重复性。,4,5.1 非线性自校正技术,智能传感器系统的非线性自校正原理如图所示。,5,5.1 非线性自校正技术,1,),传统的软件非线性校正方法。主要有反函数法、查表法、分段内插法、样条函数内插法和曲线拟合法。,(,1,),反函数法。它是直接求出分度函数反函数的解析式，计算该函数求输入。一般只有函数很简单时才有实用意义。例如对热电阻的部分温区采用这种方法。,6,5.1 非线性自校正技术,(,2,),查表法。它是将输入输出关系表存储在只读存储器中，使用时通过查表求得输入。为了节省存储器空间，可采用不同的表格压缩方法；为了提高查表速度，可采用各种快速查表算法。,7,5.1 非线性自校正技术,(,3,)分段内插法。它是将传感器的输入输出关系曲线分成若干段，每段内使用线性或二次曲线内插。为了在指定精度条件下分段数最少，或在指定分段数条件下实现的误差最小，可采用各种优化分段方法。对温度传感器，国内市场上有专用的优化软件销售。,8,5.1 非线性自校正技术,(,4,)样条函数内插法。它也是一种分段内插法，只是在分段点上不仅要求函数连续，还要求函数的一阶导数连续，因此往往采用三次曲线作为样条函数。,(,5,)曲线拟合法。它是用最小二乘法来确定拟合函数的系数。当测量范围比较宽时，即便用曲线拟合法也是要分段的。虽然多项式是最常用的拟合函数，但也常用其他函数形式。,9,5.1 非线性自校正技术,2,)非线性校正新方法。主要有遗传算法、神经网络方法和支持向量机方法。新方法主要用在传感器的特性函数未知时建立实用的函数或反函数关系。,10,5.1 非线性自校正技术,(,1,)遗传算法。主要步骤如下,取得一组实验数据(,q,1,u,1,),(,q,2,u,2,), (,q,n,u,n,)。,建立模型函数。常采用多项式形式作为反函数,q,f,1,(,u,)模型，同时给每一个系数确定数值范围。,11,5.1 非线性自校正技术,建立目标函数。常选误差平方和最小作为评估标准，如下式所示,确定编码方案。常采用二进制编码形式。通过编码形成的编码串将待处理数据表示成遗传空间的基因型结构数据；通过对编码串的运算求解模型函数系数的最佳值。,12,5.1 非线性自校正技术,生成初始群体，随机产生,M,个初始串群体。,转化适应值函数。适应值函数用于判别群体中个体的好坏。适应值函数,F,(,x,(,i,k,)通过对目标函数作简单变换得到，,i,是群体中的个体序号，,k,是遗传的代数。,13,5.1 非线性自校正技术,繁殖。繁殖是为了从当前群体中选取作为遗传父本的优良个体，按下式计算每个个体的繁殖概率，依此概率进行繁殖操作。,14,5.1 非线性自校正技术,杂交。在上一代的父本中，随机选取它们的编码串位(或片段)进行交换，产生新的个体。操作时要选择适当的杂交概率。如图所示为父辈,1与父辈2通过在第6位,的换位产生新的下一代。,15,5.1 非线性自校正技术,变异。对上一代父本中的个体，随机选取它们的编码串位求反(,0,/,1,变换)，产生新的个体。变异操作的概率一般选得较小。如图所示为对父辈第,5,位的求反操作产生的下一代。,16,5.1 非线性自校正技术,反复进行繁殖、杂交和变异三种遗传操作，直到满足事先选定的终止条件。,由于遗传算法不利用模型函数的梯度信息，因此,不会陷于局部最优，它的优点是可以寻求全局最优解,。但由此产生的缺点是无法判断模型函数的收敛性。,应用遗传算法时可以利用,Matlab,等工具。,17,5.1 非线性自校正技术,(,2,)神经网络方法。利用人工神经网络如函数链神经网络等，通过对样本数据的学习，来建立传感器的输入输出关系。,(,3,)支,持向量机方法。,支,持向量机方法是一种基于统计学习理论的模式识别方法，主要,用于模式识别领域。它在文本分类、手写识别、图像分类、生物信息学等领域中获得了较好的应用。,18,5.1 非线性自校正技术,例如，,使用遗传算法对0 以上时铂电阻阻值的经验公式系数进行拟合，即对,中的,A,、,B,两个系数在0300 之间进行拟合。,试验得出的铂电阻的部分温度和阻值对应关系如下表所示。,19,5.1 非线性自校正技术,拟合结果如下,A,3.968010,3,，,B,6.000010,7,。,20,5.1 非线性自校正技术,5.1.1,查 表 法,5.1.2,曲线拟合法,5.1.3,函数链神经网络法,21,5.1.1 查 表 法,查表法是一种分段线性插值法。根据精度要求对反非线性曲线进行分段，用若干段折线逼近曲线，将折点坐标值存入数据表中。测量时，首先由测量值确定应该选用哪一段，然后根据线性插值法求输出值。,22,5.1.1 查 表 法,设反非线性特性曲线如图所示，,下面以四段为例，折点坐标值为,横坐标：,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,；,纵坐标：,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,。,各线性段的输出表达式为,23,5.1.1 查 表 法,24,5.1.1 查 表 法,输出,y,x,表达式的通式为,式中，,k,为折点的序数，四条折线有五个折点，,k,1,2,3,4,。,25,5.1.1 查 表 法,折线与折点的确定有两种方法，即,D,近似法与截线近似法。不论哪种方法所确定的折线段与折点坐标值都与所要逼近的曲线之间存在误差,D,，按照精度要求，各点误差,D,i,都不得超过允许的最大误差界,D,m,，即,D,i,D,m,。,26,5.1.1 查 表 法,1、,D,近似法,如图所示，,折点不在曲线上，一般在,折点处的误差最大，折点在,D,m,误差界上。折线与逼近的曲线之间的误差最大值为,D,m,，且有正有负。,27,5.1.1 查 表 法,如图所示，在预定的误差界,D,m,内，在被逼近的函数,f,(,x,),附近作两个新的函数,f,(,x,),D,m,和,f,(,x,),D,m,，在这二者之间来回作穿越,f,(,x,),的最长折线。,28,2、截线近似法,折点在曲线上且误差最小，这是利用标定值作为折点的坐标值。折线与被逼近的曲线之间的最大误差在折线段中部，应控制该误差值不大于允许的误差界,D,m,。,折线段内误差符号一般相同，但各折线段之间一般不同。,5.1.1 查 表 法,29,5.1.2 曲线拟合法,这种方法是采用,n,次多项式来逼近反非线性曲线，该多项式方程的各个系数由最小二乘法确定。,30,一、列出逼近反非线性曲线的多项式方程,5.1.2 曲线拟合法,(,1,)对传感器及调理电路进行静态实验标定，得校准曲线。标定点的数据为,31,n,的数值由所要求的精度来定。若,n,3,，则,式中，,a,0,、,a,1,、,a,2,、,a,3,为待定常数。,5.1.2 曲线拟合法,(,2,)假设反非线性特性拟合方程为,32,(,3,),求解待定常数,a,0,、,a,1,、,a,2,、,a,3,。最小二乘法的思想是误差的平方和最小。即,5.1.2 曲线拟合法,33,为了求得函数,F,(,a,0,a,1,a,2,a,3,)取,最小值时的常数,a,0,、,a,1,、,a,2,、,a,3,，对函数求导并令它为零，即令,5.1.2 曲线拟合法,34,得,5.1.2 曲线拟合法,35,经整理后得方程组,5.1.2 曲线拟合法,式中，,N,为实验标定点个数；其他各量如下,36,5.1.2 曲线拟合法,通过求解上面的方程组可得待定常数,a,0,、,a,1,、,a,2,、,a,3,如下,37,5.1.2 曲线拟合法,38,二、将所求得的常系数,a,0,a,3,存入内存,将已知的反非线性特性拟合方程写成下面形式,即可根据,u,求得输入被测值,x,。,这种方法的缺点是，当存在噪声时，可能遇到病态矩阵而使求解受阻。,5.1.2 曲线拟合法,39,一、传感器及其调理电路的实验标定,5.1.3 函数链神经网络法,由静态标定实验数据列出标定点的标定值为,40,二、列出反非线性特性拟合方程,5.1.3 函数链神经网络法,反非线性特性拟合方程表示如下,下面采用函数链神经网络法求上式中的待定常数,a,0,a,n,。,41,函数链神经网络的一般结构如图所示,。图中，,W,j,(,j,0,1,n,)为网络的连接权值。,三、函数链神经网络,5.1.3 函数链神经网络法,42,函数链神经网络的输出为,5.1.3 函数链神经网络法,43,轮流使用各组标定值，将第,k,步的估计输出,x,i,est,(,k,),与标定值,x,i,进行比较，经神经网络学习算法不断调整权值,W,j,(,k,1,),，直至估计误差的均方值足够小。,5.1.3 函数链神经网络法,44,第,k,步的,估计误差为,5.1.3 函数链神经网络法,45,权值调节式为,5.1.3 函数链神经网络法,式中，,h,为学习因子，其取值影响迭代的稳定性和收敛速度。,46,当权值趋于稳定时，所得权值即为多项式待定常数。,5.1.3 函数链神经网络法,47,5.1.3 函数链神经网络法,在,进行学习之前，为了保证学习过程收敛，还应把,u,i,归一化到,1,1,区间上,。即将,u,i,除以,u,max,，,u,max,为,u,i,的最大绝对值，或者稍大于最大绝对值的一个整数值。学习之后，还应该将,W,j,除以,u,j,max,。,在,进行学习之前，还要为连接权值赋初值，它们的初始值可以取,1,1,之间的随机数；或者人为地将,W,0,与,W,1,设为同一数量级，,W,2,比,W,1,低一个数量级，依此类推。,48,学习因子的选取也要合适。学习因子的选择影响到迭代稳定性和收敛速度。,h,大则收敛速度快，但稳定性不好；反之，,h,小则稳定性好，但收敛速度慢。为了兼顾两者，可将,h,取为变数，学习刚开始取一个较大的值，随着学习过程的深入逐渐减小。,5.1.3 函数链神经网络法,49,5.1.3 函数链神经网络法,四、函数链神经网络非线性校正应用实例,以铂电阻为例。铂电阻Pt100在0200 的标定值如表所示。,50,5.1.3 函数链神经网络法,以电阻值作为,u,i,；温度值作为,x,i,；,u,max,取为整数200；取,n,2；,W,j,的初始值为,1,1,之间的随机数；学习因子取为1.2。,51,然后按照上述方法，不断调整网络连接权值，得到的最终结果为,a,0,243.472173,a,1,2.320811,a,2,0.001147,5.1.3 函数链神经网络法,52,该铂电阻的反非线性函数为,由上式计算得到的温度值如表所示。由表可见，温度的计算值与标定值是非常接近的，最大相对误差不超过0.07 %。,5.1.3 函数链神经网络法,53,5.2 自校零与自校准技术,假设一传感器系统经标定实验得到的静态输出,y,与输入,x,之间的关系如下,式中，,a,0,零位值，即,x,0 时的输出值；,a,1,灵敏度，又称传感器系统的转换增益。,54,对于一个理想的传感器系统，,a,0,与,a,1,应为保持恒定不变的常量。但是实际上，由于各种内在和外来因素的影响，,a,0,与,a,1,都不可能保持恒定不变。譬如，决定放大器增益的外接电阻的阻值就会因温度变化而变化，因此就会引起放大器增益改变，从而使得传感器系统总增益改变，也就是系统总的灵敏度发生变化。,5.2 自校零与自校准技术,55,式中，,D,a,0,零位漂移；,D,a,1,灵敏度漂移。,5.2 自校零与自校准技术,设,a,1,S,D,a,1, 其中,S,为增益的恒定部分，,D,a,1,为变化量；又设,a,0,P,D,a,0,，,P,为零位值的恒定部分，,D,a,0,为变化量，则,56,5.2 自校零与自校准技术,传统的传感器技术一直追求精心设计、精心制作、严格挑选高质量的材料及元器件，以期将,D,a,1,及,D,a,0,控制在某一限度内。但这是以高成本为代价的。,智能传感器系统则另辟蹊径，它能够自动校正零位漂移和灵敏度漂移引入的误差。主要实现方法有三种。,57,5.2 自校零与自校准技术,5.2.1,实现自校准功能的方法之一,5.2.2,实现自校准功能的方法之二,5.2.3,实现自校准功能的方法之三,58,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,这种方法的,原理框图如图所示。该实时自校环节不含传感器，,其零点漂移和灵敏度漂移无法消除,。标准发生器产生的,U,R,、0与,U,X,为同类属性。,59,自校准步骤如下,校零。输入信号为零点标准值，输出值为,y,0,a,0,；,标定。输入信号为标准值,U,R,，输出值为,y,R,；,测量。输入信号为传感器的输出,U,X,，输出值为,y,X,。,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,60,于是，可根据下式得到被校环节的增益,a,1,被测信号,U,X,则为,这种方法是实时测量零点，实时标定灵敏度。,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,61,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,对宽量程多挡多增益系统，一般对每挡增益都应实时进行自校。因此，标准发生器给出的标准值也应该有多个。多个标准值的建立有时不太经济，可以采用如图所示的斜率比动态校准法进行自校。,62,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,标准发生器产生三角波信号,U,R,，被校增益环节,G,的输出信号,y,R,可能为三角波或梯形波,。增益值不同,三角波或梯形波,的斜率也将不同。测出输入与输出波形斜率比即可确定增益的数值。,63,将阈值电压比较器的下限比较电平置为,4.5 V，上限比较电平置为4.5 V。输入到阈值电压比较器的电压在,4.54.5 V范围内时，阈值电压比较器输出,U,C,为高电平，否则为低电平。,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,64,微处理器系统记录,U,C,为高电平的起始与结束时刻。设标准信号,U,R,从,4.5 V升至4.5 V的时间间隔为,(,t,R2,t,R1,)，,如图所示,。,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,65,再设被校环节输出信号,y,R,从,4.5 V升至4.5 V的时间间隔为,(,t,y2,t,y1,)，,如图所示,。,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,66,则被校环节的增益,G,即为时间间隔比,5.2.1 实现自校准功能的方法之一,67,5.2.2 实现自校准功能的方法之二,这种方法的原理框图如图所示，能实现包含传感器在内的自校。,标准值,x,R,、零点标准值,x,0,与被测量,x,的属性相同。,68,例,如输入压力传感器的被测目标参量是压力,P,x,，则标准发生器为压力发生器，其产生的标准压力,P,R,x,R,，若传感器测量的是相对大气压,P,B,的压差,(,又称表压,),，那么零点标准值就是通大气,x,0,P,B,，多路转换器则是非电型的可传输流体介质的气动多路开关,扫描阈。同样，微处理器在每一特定的周期内发出指令，控制多路转换器执行校零、标定、测量三步测量法，可得全传感器系统的增益,/,灵敏度,a,1,为,5.2.2 实现自校准功能的方法之二,69,被测目标参量,x,为,式中，,y,X,被测目标参量,x,为输入量时的输出值；,y,R,标准值,x,R,为输入量时的输出值；,y,0,零点标准值,x,0,为输入量时的输出值。,5.2.2 实现自校准功能的方法之二,70,整个传感器系统的精度由标准发生器产生的标准值的精度来决定。只要求被校系统的各环节如传感器、放大器、A,/,D转换器等在三步测量所需时间内保持短暂稳定。在三步测量所需时间间隔之前和之后产生的零点、灵敏度时漂、温漂都不会引入测量误差。因此，这种实时在线自校准功能可以采用低精度的传感器、放大器、A,/,D转换器等环节，达到高精度测量结果的目的。,5.2.2 实现自校准功能的方法之二,71,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,上面所述实现自校准功能的两种方法都要求被校系统的输出,输入特性呈线性，这样仅需两个标准值(其中一个是零点标准值)就能完善地标定系统的增益/灵敏度。然而，对于输入,输出特性呈非线性的系统，只采用两个标准值的三步测量法来进行自校准则是不够完善的。此时，至少需要三个标定点。,72,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,实施过程如下,对传感器系统进行现场、在线、测量前的实时三点标定，即依次输入三个标准值，,x,R1,、,x,R2,、,x,R3,，测得相应输出值,y,R1,、,y,R2,、,y,R3,。,列出反非线性特性拟合方程式,(,二阶多项式,)如下,73,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,由标定值求反非线性特性曲线拟合方程的系数,C,0,、,C,1,、,C,2,。按照最小二乘法的方差最小原则，即,根据函数求极小值的条件，令偏导数为零，即,74,得,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,整理后得矩阵方程,75,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,式中，,N,3为在线实时标定点个数；其他量如下,76,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,由标定值计算出,P,、,Q,、,R,、,S,、,D,、,E,、,F,后，解上面矩阵方程可得待定系数,C,0,、,C,1,、,C,2,的表达式为,77,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,已知,C,0,、,C,1,、,C,2,后，反非线性特性拟合方程即被确定，这时智能传感器系统可由转换开关转向测量状态，按式,(,5-22,),求出,x,(,y,),即代表系统测出的输入待测目标参量,x,。因此，只要传感器系统在实时标定与测量期间保持输出,输入特性不变，传感器系统的测量精度就决定于实时标定的精度，其他任何时间特性的漂移带来的不稳定性都不会引入误差。,78,实验证明，对一个零漂、温漂在100 温度变化范围内总误差达1 %的压力传感器系统，采用满度值精度为0.02 %的标准压力值进行实时三点校准,/,标定，系统的短时精度可优于0.1 %FS。但是，这种实时校准,/,标定方法要求提供至少三个标准值的一套外围设备，这不是任一个待测目标参量都能方便地做到的事。目前已经成熟应用这种实时校准法的目标参量是压力。,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,79,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,如图所示为780B,(,PCU,),压力自校准系统原理示意图。,80,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,图中EV,1,EV,5,为电驱动阀门，由微处理器经控制线,P,1.1,、,P,1.2,、,P,1.3,、,P,1.4,、,P,1.5,发出控制信号来控制气路是,“,通,”,还是,“,断,”,。,81,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,气动开关受气动控制压力,P,1,、,P,2,的控制。EV,1,接通时EV,2,断开，推动气动开关使压力传感器与校准管路接通，处于校准状态。,82,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,此时,有三个标准压力值,P,R1,、,P,R2,和,P,R3,按顺序施加到被校传感器上。,83,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,校准结束后，EV,2,接通，EV,1,断开，推动气动开关使传感器回到测量状态。,84,5.2.3 实现自校准功能的方法之三,R,1,、,R,2,、,R,3,是三个压力调节器，将它们事先调节到合适位置，则可得到三个不同数值的标准压力值,P,R1,、,P,R2,、,P,R3,，由高精度压力传感器读出。,85,5.3 噪声抑制技术,如果信号的频谱和噪声的频谱不重合，可以用滤波消除噪声；当信号的频谱和噪声的频谱重叠或者噪声的幅值比信号还大时，则需要采用其他噪声抑制方法，如相关技术、平均技术等来消除噪声。,86,5.3 噪声抑制技术,5.3.1,滤 波,5.3.2,相 关,5.3.3,其他滤波技术,87,5.3.1 滤 波,如果信号的频谱和噪声的频谱不重合，可以使用的滤波器有,模拟滤波器，由硬件实现的连续时间系统；,数字滤波器，由软件实现的离散时间系统。,88,5.3.1 滤 波,数字滤波器主要指具体实现数字滤波器算法的软件。与模拟滤波器相比，数字滤波器主要具有以下优点,(,1,)不须增加硬件设备，尤其是在多通道检测装置中，可共用滤波子程序，从而大大降低费用和成本。,(,2,)系统的可靠性高，重复性好。,89,5.3.1 滤 波,(,3,)可构成极低频的低通滤波器，而模拟滤波器则很难做到。,(,4,)传递函数的参数易于调整。,(,5,)易于实现复杂的滤波性能，且具有良好的一致性。,(,6,)不必考虑阻抗匹配的问题。,90,一、数字滤波器的数学基础,Z,变换简介,对于如图所示的连续时间系统，它的输入与输出信号在时域中的关系由微分方程来描述。经拉氏变换，在频域或复频域中的关系则变为代数方程。,5.3.1 滤 波,91,对于具有采样/保持的计算机系统，即离散时间系统，如图所示。因信号不是连续的，其输入与输出的关系不能再用微分方程描述。,5.3.1 滤 波,92,采样时间间隔很小时，在时域中可近似由差分方程描述。经,Z,变换，在,Z,域中的关系也为代数方程。图中，,W,(,z,)称为离散时间系统的脉冲传递函数。,5.3.1 滤 波,93,当幅值上也被量化时，系统中含有,A,/,D,，则称含有,A,/,D,转换器的离散时间系统为数字滤波器。,5.3.1 滤 波,94,1、数值序列,x,(,nT,),或,x,(,n,),的Z变换,对,x,(,t,),求Z变换，就是对,t,0,T,2,T,nT,的离散时间点上的离散时间序列,x,(,nT,),求Z变换，记为,X,(,z,)。Z变换的定义式为,其中,z,e,j,w,T,，为复变量，故,5.3.1 滤 波,95,2、冲激响应序列,g,D,(,nT,),对于如图所示的脉冲传递函数为,G,D,(,z,)的离散时间系统，当,输入为狄拉克函数,d,(,n,),即,5.3.1 滤 波,时，,在,Z,域有如下关系,96,5.3.1 滤 波,因,d,(,z,),1，故,则它们的,Z,反变换，也就是时域中的时间序列有如下关系,97,即离散时间系统的输出,y,(,n,),就是该系统特性,G,D,(,z,),的Z反变换,g,D,(,n,),，称,g,D,(,n,),为冲激响应序列。,5.3.1 滤 波,98,二、连续时间滤波器,H,(,s,)的离散时间等效滤波器,G,D,(,z,),幅值量化了的离散时间等效滤波器称为数字滤波器,G,D,(,z,),。求图中,H,(,s,),的等效,G,D,(,z,),的方法有多种，下面仅介绍三种方法。,5.3.1 滤 波,99,5.3.1 滤 波,1、脉冲响应不变法,(,Z变换法,),用脉冲,/,冲激响应不变法求得等效离散数字滤波器,G,D,(,z,),，它的脉冲响应序列,g,D,(,nT,),是连续滤波器在采样瞬时相应的脉冲,/,冲激响应,h,(,t,),的,T,倍，,T,为采样周期，即,对上式进行,Z,变换后得,100,5.3.1 滤 波,【例】求连续滤波器,H,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,)。已知,H,(,s,)如下,【解】对,H,(,s,),求拉普拉斯反变换，可得其冲激响应,h,(,t,),为,101,再对,h,(,t,),求,Z,变换，查表5-3得,则由式,(,5-33,),可知，,H,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,),为,5.3.1 滤 波,102,5.3.1 滤 波,2,、后向差分法,这是一种数值积分法。以一阶系统为例进行说明。一阶系统的,归一化,微分方程为,传递函数为,103,将上面微分方程的等号两边从0到,t,进行积分，即,5.3.1 滤 波,若欲求解每个采样周期,T,时,y,(,t,)的值，可将,t,kT,代入上式，得,104,同理，从0到,t,(,k,1,),T,进行积分，则有,5.3.1 滤 波,两式相减，得,105,5.3.1 滤 波,上式右侧两项在数值上可由各种方法进行积分。运用后向差分法积分就是由矩形面积近似曲线,y,(,t,)和,x,(,t,)下的面积，如下图所示。,106,5.3.1 滤 波,107,5.3.1 滤 波,则,变为,对上式两边求,Z,变换，得,108,与,传递函数,W,(,s,)相比可知，,采用后向差分法求等效数字滤波器,G,D,(,z,),时，只需令,即可。,整理后得,5.3.1 滤 波,109,5.3.1 滤 波,3,、双线性变换法(梯形积分法或,Tustin,变换法),式(,5-36,)右侧积分，运用双线性变换法就是由梯形面积近似曲线下的面积，如图所示。,110,5.3.1 滤 波,即,于是，式(,5-36,)变为,111,上式的Z变换为,5.3.1 滤 波,112,整理后得,即可。,与传递函数比较可知，用双线性变换法求模拟滤波器,W,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,),时，只需令,5.3.1 滤 波,113,5.3.1 滤 波,4、频率预曲折双线性变换法,讨论下式给出的连续滤波器,G,(,s,),由双线性变换法可得,G,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,),为,114,5.3.1 滤 波,1,),检查,G,(,s,),的频率响应,G,(,j,w,),与,G,D,(,z,),的频率响应,G,D,(,e,j,w,t,),。为了进行比较，先令,s,j,w,A,，再将,z,e,j,w,D,T,代入,s,中，于是可得,115,5.3.1 滤 波,由此可得,上式给出的在,s,域中的,w,A,与,z,域中的,w,D,之间的关系为,当,w,D,p,/,T,时，,w,A,w,D,。因此离散滤波器,G,D,(,e,j,w,t,)与连续滤波器,G,(,j,w,)特性近似相同。,116,5.3.1 滤 波,当,w,D,p,/,T,时，,频率畸变大得惊人！因为,如图所示，曲线,a,表示,G,(,j,w,),10,/(,j,w,10,),的波德图，曲线,b,表示由双线性变换法所得G,D,(,z,),的波德图。,117,5.3.1 滤 波,2,),频率预曲折,为了在较宽的范围使,G,(,j,w,A,),与,G,D,(,e,j,w,D,T,),有近似的频率特性，在把,G,(,s,),变到,z,域之前，先使频率刻度曲折。也就是把转折频率,w,t,1,/,t,a,调整到,z,域中所希望的新数值,w,D,，即用 取代,a,。,118,5.3.1 滤 波,即可。,于是，由频率预曲折双线性变换法确定,G,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,),的措施是：令 取代,G,(,s,),中的,a,，且令,119,5.3.1 滤 波,如低通滤波器,120,高通滤波器,5.3.1 滤 波,121,5.3.1 滤 波,【例】,试证明 与式,(,5-41,),给出的,在,w,a,处有相同的幅频特性，即,122,【证明】在,w,a,处，,G,(,s,),的频率特性,G,(,j,w,),的幅值为,因为,z,e,j,w,T,，,G,D,(,z,)的频率特性为,5.3.1 滤 波,123,在,w,a,处，,G,D,(,z,)的幅值为,5.3.1 滤 波,可见，在,w,a,处，,G,(,s,)与,G,D,(,z,),的幅值相同。如下图所示。,124,5.3.1 滤 波,图中，曲线,a,表示,G,(j,w,)10,/(,j,w,10,),的波德图，曲线,b,表示由双线性变换法所得,G,D,(,z,)的波德图，曲线,c,表示由频率预曲折双线性变换法所得,G,D,(,z,)的波德图。,125,5.3.1 滤 波,三、数字滤波器设计应用举例,【例一】设计一个低通滤波器，使它的频域响应特性与下面的模拟滤波器相同,即要求所设计的数字滤波器,G,D,(,z,),在,w,D,a,10,rad,/,s处的幅值为,3 dB。设已知采样周期,T,0.2 s。,126,5.3.1 滤 波,【解】采用频率预曲折双线性变换法。设计步骤如下,令,可得双线性变换法的等效数字滤波器,G,D,(,z,),为,127,5.3.1 滤 波, 频率预曲折。用 取代上式中的,a,，即,128,再将,a,10 rad,/,s与,T,0.2 s代入上式， 得,5.3.1 滤 波,求差分方程。因为,129,5.3.1 滤 波,所以,整理后得,130,5.3.1 滤 波,对上式求反,Z,变换得,于是,131,5.3.1 滤 波,【例二】采用后向差分法求低通滤波器,H,(,s,),的等效数字滤波器,H,(,z,),【解】等效数字滤波器,H,(,z,),的编程实现。令,a,1,/,t,，则,132,再令,s,(,1,z,1,)/,T,，,T,为采样间隔，得等效数字滤波器,5.3.1 滤 波,经整理后有,133,故,对上式求,Z,反变换，得差分方程如下,5.3.1 滤 波,于是,134,即,式中,但,q,p,1，即其和为1。,5.3.1 滤 波,135,5.3.1 滤 波,低通滤波器转折角频率,w,t,a,1,/,t,的调节。通过调整,p,、,q,的值可以方便地改变低通滤波器的时间常数,t,，从而可以调节低通滤波器的转折角频率,w,t,。,若令,136,则可解得,如果希望时间常数,t,值减小，以使系统动态响应更快，则可加大,q,值并减小,p,值，可再令,5.3.1 滤 波,解得时间常数,t,为,137,可见，,t,值大大减小。,由此例可见，在智能传感器系统中采用软件实现的数字滤波器调整起来非常方便。在信号缓变的流量、压力、温度测量的智能传感器系统中，常用式(,5-46,)所表征的低通数字滤波器来滤除高频噪声。,5.3.1 滤 波,138,5.3.1 滤 波,【例三】,求模拟滤波器,H,(,s,),的等效数字滤波器,G,D,(,z,),【解】采用后向差分法，其步骤如下,将,H,(,s,),整理为标准形式,139,式中，,5.3.1 滤 波,令 则得等效数字滤波器为,140,故有,5.3.1 滤 波, 对上式求Z反变换，得差分方程,141,因而,5.3.1 滤 波,上式即为采用后向差分法实现,H,(,s,),的等效数字滤波器,H,(,z,),Y,(,z,)/,X,(,z,),的编程算式。放大,A,倍即为,H,(,z,),AH,(,z,),。,142,5.3.1 滤 波,【例四】求数字式PID控制器的脉冲传递函数。,【解】广义地说，控制器也是一种滤波器，故本问题也是求与模拟PID控制器等效的数字式PID。由此，智能传感器系统可以方便地具有控制功能。,143,模拟PID控制器的控制作用。通过三种控制作用的适当配合来控制一个变量。这三种控制作用是,a,.,比例控制,控制作用与偏差信号,e,(,t,),成比例；,b,.,积分控制,控制作用与偏差信号,e,(,t,),的积分成比例；,c,.,微分控制,控制作用与偏差信号,e,(,t,),的微分成比例。,5.3.1 滤 波,144,5.3.1 滤 波,控制作用的数学表达式如下,式中，,e,(,t,),控制器的输入信号,(,偏差信号,),；,m,(,t,),控制器的输出信号,(,控制信号,),；,K,比例增益；,T,i,积分时间；,T,d,微分时间。,145,模拟,PID,控制器的原理框图如图所示。其传递函数为,5.3.1 滤 波,146,若采用后向差分法，即令 则得等效数字滤波器为,5.3.1 滤 波,式中，,K,P,K,比例增益；,K,I,KT,/,T,i,积分增益；,K,D,KT,d,/,T,微分增益。,147,5.3.1 滤 波,书上相当于,对积分采用双线性变换法，对微分采用后向差分法，即,148,5.3.1 滤 波,由于,所以,149,5.3.1 滤 波,差别在于，前面,K,P,K,，而此时,数字式,PID,控制器,G,D,(,z,),的计算机编程算式。由式,(,5-52,a,),150,对上式进行,Z,反变换，有,故,5.3.1 滤 波,151,5.3.2 相 关,随机信号是一种不确定性信号，即信号波形的变化不存在任何确定的规律，因而无法准确预测其未来值。随机信号具有两个基本特点,在所定义的观察区间是以时间,t,作为参变量的随机函数；,其随机性表现在信号的取值在事前不可精确地预测，在重复观察时又不是或不能肯定是重复地出现。,152,5.3.2 相 关,几种随机信号如图所示。,153,5.3.2 相 关,在自然界中，经常会遇到这样一类随机过程，它们的特征是，产生随机现象的主要因素不随时间推移而改变。例如，恒温条件下热噪声电压,X,(,t,)是由于电路中电子的热运动引起的，这种热运动不随时间推移而改变。由于产生随机现象的主要因素不随时间推移而改变，因此，这类随机过程的统计特性也不随时间的推移而改变。,154,在相同条件下，对同一个随机信号,x,(,t,),进行多次重复观测记录，如图中的,x,1,(,t,),x,i,1,(,t,),x,i,(,t,),。,5.3.2 相 关,一、随机信号的各种均值,155,它的每一次的观测记录,x,i,(,t,),被称为一个样本函数，称各次观测记录的整体,x,(,t,),x,1,(,t,),x,i,1,(,t,),x,i,(,t,),为样本集合。,5.3.2 相 关,156,5.3.2 相 关,对于实际工程中的信号，大多是随机信号。它们是,平稳的随机过程,，即某一时刻,t,1,的总体平均值等于任一时刻,t,m,的总体平均值，而且还是,各态历经的,，即等于任一样本的时间平均值，即它们的统计平均值不随时间而变化。其数学表述如下,157,某一时刻,t,1,的,总体平均值,任一时刻,t,m,的,总体平均值,任一样本的,时间平均值,5.3.2 相 关,158,5.3.2 相 关,由此可见，一个平稳随机过程其随机变量的概率密度函数不随时间坐标的变化(平移)而改变，换句话说其数字特征与所选的时间起点无关。在实际中这就意味着过程的统计特性在相当长的时间内不会改变，亦即现在所观测到的统计特性与过去或将来所观测到的结果是一致的。,159,5.3.2 相 关,1. 平均值,式,(,5-53,),表示信号的直流分量，又称恒定分量，记为,m,或,E,x,(,t,),。实际上记录时间,T,不可能无限长，,只能在有限时间内求估计值，记为,。,160,5.3.2 相 关,2. 均方值,式,(,5-54,),表示信号的强度，记为,y,2,或,E,x,2,(,t,),。同理，只能在有限时间,T,内求得均方值的估计值，记为,。,161,5.3.2 相 关,3,、方差,方差用来描述随机信号的波动分量，记为,s,2,。,故方差,s,2, 均方值,y,2,与平均值,m,有如下关系,162,5.3.2 相 关,平均值与方差描述的只是随机信号在各个时刻的统计特性，而不能反映出在不同时刻各数值之间的内在联系，例如,x,(,t,)过去值、现在值与将来值之间或两个随机信号,x,(,t,)与,y,(,t,)数值之间的关联程度如何等等。,163,5.3.2 相 关,如图所示，两个随机信号虽然具有近似相同的平均值与方差，但它们之间的变化规律却有着很大的差别。,164,5.3.2 相 关,x,(,t,)各样本随时间变化缓慢，在不同时刻的取值关系密切，相关性强，,y,(,t,)各样本随时问变化剧烈，在不同时刻的取值关系松散，相关性弱。,165,5.3.2 相 关,4,、自相关函数,式(,5-55,)描述的是随机信号在时间间隔为,t,的任意两个时刻,t,与(,t,t,)的取值,x,(,t,)与,x,(,t,t,)的相关性，记为,R,x,(,t,)或,E,x,(,t,),x,(,t,t,)。当记录时间,T,不为时，求得的是估计值，记为 。,166,二、相关函数的定义式,5.3.2 相 关,1,、自相关函数,R,x,(,t,),信号,x,(,t,)的自相关函数定义式如下,它描述一个随机过程在相隔,t,的两个不同时刻取值的相关程度。,167,5.3.2 相 关,2,、互相关函数,两个信号,x,(,t,)、,y,(,t,)的互相关函数,R,xy,(,t,)的定义式如下,它描述了两个不同的随机过程在相隔,t,的两个不同时刻取值的相关程度。,168,5.3.2 相 关,三、自相关函数的性质与特点,1,、自相关函数的性质,(,1,)自相关函数是偶函数，即,证明：因为,169,令,t,t,t,，则,t,t,t，,代入上式，得,可知,R,x,(,t,)的波形以,t,为横轴，以,t,0,处的纵坐标呈对称形。,5.3.2 相 关,170,5.3.2 相 关,(,2,),t,0时的自相关值,R,x,(,0,),是自相关函数,R,x,(,t,),的最大值，且等于均方值,y,2,。,证明：根据自相关函数定义及均方值,y,2,的定义式有,由式,(,5-58,),得知,171,5.3.2 相 关,为了证明自相关函数,R,x,(,t,)的最大值在,t,0,处，需要证明,因为已知两个量的差的平方必为正数，对于一样本集合有下式成立,172,因为各态历经的平稳随机过程统计平均值与时间无关，故由,5.3.2 相 关,得,173,而,故,将(,5-64,)与(,5-65,)式代入(,5-63,)式中，则有,5.3.2 相 关,174,5.3.2 相 关,(,3,),平稳随机过程的自相关函数,R,x,(,t,),不反映相位信息，只与两个时刻的时间延迟间隔,t,有关。,(,4,),在,t,处的自相关函数值为自相关函数的最小值，且等于平均值的平方，即,175,5.3.2 相 关,可以认为，,t,时随机变量不相关。这表现为：,x,(,t,)与,x,(,t,t,)的,数值相对于它们的平均值有大有小，符号有正有负，如图所示。,证明：根据定义，有,176,5.3.2 相 关,当样本数目,N,足够大时，,x,(,t,),与,x,(,t,t,),取值的坐标点相对均值,m,x,、,m,x,呈对称分布。,证明：根据定义，有,177,5.3.2 相 关,因为,将,x,(,t,),、,x,(,t,t,),用平均值,m,与差值,D,或,D,来表示。在图中，以取对称的四个坐标点为例，说明如下,178,5.3.2 相 关,x,i,(,t,),x,i,(,t,t,),x,i,(,t,),x,i,(,t,t,),点,1,m,D,m,D,m,2,m,(,D,D,),DD,点,2,m,D,m,D,m,2,m,(,D,D,),DD,点,3,m,D,m,D,m,2,m,(,D,D,),DD,点,4,m,D,m,D,m,2,m,(,D,D,),DD,将该四个对称点坐标值之积相加，并平均，则得,179,故,N,足够大时，图中的坐标点均相对平均值,m,x,m,x,对称分布，因此当,t,时，样本总体有,5.3.2 相 关,且为最小值。,180,5.3.2 相 关,2、自相关函数的特点,(,1,),确定性信号在所有,t,值，包括,t,，都有自相关函数值不为平均值,m,2,的数值存在，即,R,x,(,t,),m,2,，而随机信号在很小的,t,值，其自相关函数就降到平均值,m,2,。,181,(,2,)若确定性信号,x,(,t,)是周期信号，则它的自相关函数,R,x,(,t,)也是周期函数，其周期与信号,x,(,t,)的周期相同。,如图所示为周期方波,x,(,t,)的自相关函数。该方波幅值为,a,，周期为,T,P,。,5.3.2 相 关,182,5.3.2 相 关,周期为,T,2,p,/,w,的,正弦波,x,(,t,),A,sin,(,w,t,f,),的自相关函数如下。,波形图如图所示。,上式表明，正弦波的自相关函数是与初位相无关的余弦函数，其周期与正弦波的相同。,典型波形的自相关函数如下图所示。,183,5.3.2 相 关,184,5.3.2 相 关,185,5.3.2 相 关,3、自相关函数的应用,利用自相关函数有利于检测和识别淹没在随机噪声中的周期信号。,例如求正弦波加随机噪声的自相关函数,R,x,(,t,),。设输入信号为,式中，,x,0,(,t,),正弦波信号；,N,(,t,),干扰噪声。,186,5.3.2 相 关,x,(,t,)的自相关函数,R,x,(,t,)为,注意，干扰噪声和正弦信号不相关，所以第,2、3,项积分为零。,187,5.3.2 相 关,上式可写为,所以,，,正弦波加干扰噪声的自相关函数等于正弦波的自相关函数和噪声的自相关函数之和。,188,5.3.2 相 关,例如，若,X,1,(,t,),的自相关函数如图所示，则可以知到,X,1,(,t,),中含有周期为,T,1,的正弦信号，均方值为,y,1,2,R,x1,(,0,),，有直流分量，因,m,0。,189,5.3.2 相 关,又如，,X,2,(,t,),的自相关函数如图所示。可知,X,2,(,t,),中含有周期,T,2,的正弦信号，均方值为,y,2,2,R,x2,(,0,),，没有直流分量，因,m,0。,190,5.3.2 相 关,因,R,x2,(,t,),随,t,的增加而衰减的速率较,R,x1,(,t,),慢，可知,X,2,(,t,),中含有频带较窄的窄带噪声，,X,1,(,t,),中含有频带较宽的宽带噪声。,191,5.3.2 相 关,汽车在沙石搓板路上高速行驶时，其上垂直加速度传感器的输出波形如图,(,a,),所示，自相关函数如图,(,b,),所示。,T,0.1 s，说明汽车本身存在一个频率为10 Hz的周期性,振动。,192,5.3.2 相 关,四、互相关函数的性质与特点,1,、互相关函数的性质,(,1,)互相关函数不是偶函数。根据定义,令,t,t,t,，则,t,t,t,，d,t,d,t,，则上式可写为,193,5.3.2 相 关,在一般情况下，,R,yx,(,t,),R,yx,(,t,),，,R,xy,(,t,),R,yx,(,t,),，,R,xy,(,t,),R,yx,(,t,)，故,所以，互相关函数不是偶函数。由式(,5-69,)给出的互相关函数的这一性质说明互相关函数与两信号的相位有关。,194,5.3.2 相 关,(,2,),互相关函数,R,xy,(,t,),在,t,0处的值,R,xy,(,0,),不具有特征性。,(,3,),互相关函数,R,xy,(,t,),有时也有最大值，即将两个信号中的某一个在时间上延迟一个,t,0,后，则两信号最为相关或最为相似，但最大值的位置与具体情况有关。,195,5.3.2 相 关,2,、,互相关函数的,特点,(,1,)互相关函数的计算要用到时间延迟信息， 因而可用来测量有时间延迟信息的物理量，例如速度、流量等，而构成相关速度、流量计。这是一种先进的速度、流量测量方法。,(,2,)对信号中的随机干扰噪声有极强的抑制能力。基于相关原理可将混叠在噪声中的微弱有用信号提取出来，或者说将噪声从信号中分离出去。,196,5.3.2 相 关,3