第三节-极限运算高等数学三年专科最新版ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章函数极限连续,第三节极限运算,一、无穷小量及其运算,二、极限的运算法则,三、两个重要极限,一、无穷小量及其运算,若函数,a,=,a,(,x,),在,x,的某种趋向下以零为极限,，,则称函数,a,=,a,(,x,),为,x,的这种趋向下的无穷小量，,简称为无穷小量,.,例如，函数,a,(,x,) =,x,-,x,0,，,当,x,x,0,时，,a,(,x,)0,，,所以,a,(,x,) =,x,-,x,0,是当,x,x,0,时的无穷小量,.,它是当,x,时的无穷小量,.,是当,x,+,时的无穷小量,.,注意：,0,是无穷小量，但无穷小量不是,0.,定理,1,若函数,y,=,f,(,x,),在,x,x,0,(,或,x,),时,的极限为,A,，,则,f,(,x,) =,A,a,(,x,),(,简记,y,=,A,a,),，,定理,2,有限个无穷小,(,当,x,x,0,或,x,时,),的代数,和仍然是无穷小量,.,反之若,则,A,为,f,(,x,),的极限，,证明略,.,定理,3,有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量,.,证,设函数,f,(,x,),有界，,|,f,(,x,),|,M,.,又,a,(,x,),是无穷小量，即,|,a,(,x,),|,e,(,e,为任意小的正数,),，,则,|,a,(,x,),f,(,x,),|,=,|,a,(,x,),|,|,f,(,x,),|,M,(,M, 0,),时,，,有,，则,O,x,R,A,B,C,证,AOB,面积,扇形,AOB,面积, M,M, 0,时,),，,f,(,x,),0,(,或,0,),，,定理,7,设函数,u,(,x,),，,v,(,x,),在,x,0,的某个邻域内,(,或,|,x,| ,M,，,M, 0,时,),，,满足,u,(,x,),v,(,x,),或,u,(,x,) ,u,n,.,因此,u,n,是单调递增数列,.,此外，由,u,n,的展开式可得,所以,u,n,是有界数列,.,综上所述，,u,n,是单调有界数列，因此极限存在,.,我们还可以证明，,都有极限，且,人们记这个极限为数,e,，,于是有,数,e,是,一个无理数，,它的近似值可由,展开式中取前若干项计算，,以,e,为底的指数函数,y,= e,x,的反函数,y,=,log,e,x,，,叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为,y,=,ln,x,.,它的前八位数是,e = 2.718 281 8,解,因为,所以，有,例,14,例,15,解,方法一,令,u,=,-,x,，,因为,x, 0,时,u, 0,，,所以,方法二,掌握熟练后可不设新变量,例,16,解,则当,x,0,时，,u,e,，,所以原式,= 1,，即,例,17,解,令,u,= e,x,-,1,，,则,x,= ln(1 +,u,),，,当,x,0,时,u,0,.,所以,例,16,、,17,可以作为公式使用,.,例,18,解,因为,所以令,u,=,x,-,3,，即,x = u,+ 3,，,因此,当,x, ,时,u, ,，,例,19,解,