有限元-第五讲课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面问题有限单元法,二.有限元分析的主要步骤,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？,四.曲边单元的构造方法,五.四种平面单元,平面问题有限单元法,一.什么是平面问题？平面问题的基本未知量是什么？,实际工程结构问题严格来讲都属于空间问题，但对一些特殊的,几何形状,和,荷载,，可将空间问题,简化,为平面问题。,两类平面问题：,平面应力,问题和,平面应变,问题。,平面问题的基本未知量：,平面问题有限单元法,二.有限元分析的主要步骤,有限元法主要优点之一：理论推导过程及计算步骤的高度规范和统一,位移元主要步骤：,1.,离散连续介质，,形成有限元网格，并完成单元及结点编号,2.单元分析，,得到以结点位移为基本未知量的单元平衡方程,3.整体分析，,得到总体平衡方程,4.边界条件处理，,消除总刚度矩阵的奇异性,5.解线性代数方程组，,得到结点位移,6.单元计算，,由结点位移得到应力、应变,7.其它要求。,平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,1、收敛准则：完备性、协调性要求,2、形函数的特点,C,0,问题,、,C,1,问题,协调元、非协调元、广义协调元,1) 在结点,i,处,N,i,=1，,其他结点,N,i,=0；,2),包含完全的一次多项式；,3) 由其定义的未知量在单元之间连续；,4),平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,3、广义坐标法构造位移插值函数,需求逆矩阵,存在矩阵不可逆及表达式难以规范化等问题，不适于构造高阶单元,2）由单元结点坐标求解,1）用广义坐标 作为待定参数，给出单元位移模式,3）将 代入 得到单元结点位移 表示的位移,和相应的插值函数 。,平面问题有限单元法,三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法,4、试凑法构造位移插值函数,在自然坐标下，根据形函数的特点直接列出每个结点形函数的表达式。,具体步骤：,1）对于结点,i,找出过其余结点的若干直线；,2）适当选用上述直线，将直线方程的左部以带参数连乘式作为形函数,N,i,，,这样可使在“它点为零”的条件自动满足。,3）将,i,点坐标带入上面假定的,N,i,，,用“本点为1”的性质确定待定参数。,4）待求出所有结点的,Ni,后，需验证,平面问题有限单元法,四.曲边单元的构造方法,利用自然坐标下的已知单元构造曲边单元,等参元：单元的,几何,形状和,位移,场都采用,相同,的形函数,亚参元：单元,几何,形状插值函数的阶数,低于位移,插值函数,超参元：单元,几何,形状插值函数的阶数,高于位移,插值函数,如何描述单元几何形状？,如何描述单元内任一点的物理量？,要解决两个问题：,平面问题有限单元法,四.曲边单元的构造方法,注意构造等参单元时求导及积分过程的坐标变换,数值积分法：,Gauss,法,积分阶数的选取。,平面问题有限单元法,五.四种平面单元,1、常应变单元,2、二次三角形单元,3、双线性矩形单元,4、任意四边形单元,第四章 空间问题有限单元法,实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级的结构，必须按空间（三维）问题求解。,空间问题的有限单元法中的位移仍然只有,平动,位移，所以仍属于,C,0,连续问题，因此构造单元并不难,。,将平面问题有限元法“稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。,第四章 空间问题有限单元法,由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要难题：,1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。,2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求较高。,第四章 空间问题有限单元法,解决问题：,1、编程建模,2、采用高精度单元,由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,2. 按位移函数阶次分,1. 按形状分：,四面体单元（三棱锥）,五面体单元（三棱柱）,六面体单元（立方体）,线性单元：,四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等,二阶单元：,十结点四面体，二十结点六面体等,三阶单元：,二十结点四面体，三十二结点六面体等,一、空间问题常用单元,第四章 空间问题有限单元法,4. 构造曲面单元,3. 形函数构造方法,：,1）广义坐标法：仅用在常应变单元,等,参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲面单元,2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数,四面体单元的自然坐标是,体积,坐标,二、常应变四面体单元,1. 基本变量,第四章 空间问题有限单元法,单元内任一点位移:,单元内任一点应变,:,单元内任一点应力:,二、常应变四面体单元,1. 基本变量,第四章 空间问题有限单元法,单元结点位移,:,结点位移,:,2.,单元位移插值函数,：,设,单元内任一点的位移为坐标的线性函数:,即为,广义坐标,二、常应变四面体单元,第四章 空间问题有限单元法,将结点坐标代入,u(x,y,z)，,得结点,x,方向位移:,（四个方程、四个未知量）,2.,单元位移插值函数,：,二、常应变四面体单元,第四章 空间问题有限单元法,解方程组得 后，可将,u,的表达整理成：,式中:,按1、2、3、4的顺序变换下标，可得其它系数,令:,则:,同样的过程可得到:,形函数,则单元位移模式可写成：,（由结点位移表示的单元内位移）,或：,形函数矩阵,3.,单元,几何方程,：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,由结点位移求单元内应变,将位移表达式代入，得：,其中：,第四章 空间问题有限单元法,B,中各元素为常数，则,也为常量, 常应变单元,4. 单元物理方程,：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,由结点位移求单元内应力, 应力矩阵,令:,第四章 空间问题有限单元法,其中：,第四章 空间问题有限单元法,其中：,5. 单元基本方程,：,第四章 空间问题有限单元法,二、常应变四面体单元,利用变分原理建立单元平衡方程：,其中：,单元刚度矩阵,等效结点荷载,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,二、矩形薄板单元,三、三角形薄板单元,四、用矩形薄板单元进行薄壳分析,五、用三角形薄板单元进行薄壳分析,六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,1. 薄板弯曲的概念,：,1）薄板,薄膜,厚板,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,1. 薄板弯曲的概念,：,薄板所受任意荷载，均可分解成：,2）薄板弯曲,受弯板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为,挠度,w。,当板的挠度,w,远小于板厚,h,时，可引进一些假设简化分析过程，这类问题称为板的,小挠度弯曲,问题,作用于中面的面内载荷弹性力学平面问题,垂直于中面的横向荷载板的弯曲问题,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2. 薄板弯曲问题的基本假定克希霍夫假定：,1）中面法线变形后既不伸长也不缩短；,2）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；,3）中面各点没有平行于中面的位移。,假定（1）与梁弯曲问题的互不挤压假定相似,z,=0,即：,w=w(x,y),所以：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2. 薄板弯曲问题基本假定,：,假定（2）与梁弯曲问题的平面假定相似，即剪切应变：,zx,=,zy,=0,即：,有：,利用：,w=w(x,y),第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,2. 薄板弯曲问题基本假定,：,所以：,再,使用假定（3），得：,f,1,(,x,y,)=0，,f,2,(,x,y,)=0,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,3. 薄板弯曲问题的应变：,x,=,X,x,z,y,X,y,z,xy,2,X,xy,z,z,= ,yz,=,zx,0,六个,应变分量中，根据假定，已知：,其余三个分量：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,3. 薄板弯曲问题的应变：,曲率：,扭率：,薄板的形变分量,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,( ,x,、,y,、,xy,）,通过平面问题的物理方程由应变求出,( ,z,、,zx,、,zy,）,则必须由三个平衡微分方程求解给出,需,注意：,应力分量（,z,、,zx,、,zy,）,尽管相对面内应力分量（,x,、,y,、,xy,）,很小，,它们对应的应变分量,z,、,zx,、,zy,可略去不计，但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,应力分量（,x,、,y,、,xy,）：,特点：,均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，,在板的上、下板面达到最大。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,应力分量（,z,、,zx,、,zy,）：,考虑薄板上、下板面的边界条件,解得横向剪应力，为,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,特点：,横向剪应力,zx,、,zy,沿板厚度方向呈抛物线分布，,在板的上、下板面为零，在板中面最大。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,将,z,方向所有力作用等效移置到板面上,，,板上、下表面的边界条件变成,利用,z,方向的平衡条件求,z,利用边界条件可解得：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,4. 薄板弯曲问题的应力：,特点：,z,沿板厚度方向呈三次方变化,最大值发生在板面为,q,，,最小值在板底为0。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,5. 薄板弯曲的平衡微分方程,：,上式中，利用板下面的边界条件 ，得：,D,是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6. 薄板横截面上的内力,：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6. 薄板横截面上的内力,：,正负规定：在,z,为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正,内力是作用在每单位宽度上的力，例如：,弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力长度。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6. 薄板横截面上的内力,：,正应力,x,、,y,分别与,M,x,、M,y,成正比，故称为,弯应力,；剪应力,xy,与扭矩,M,xy,成正比，故称为,扭应力,；剪应力,zx,、,zy,与横向剪力,Q,x,、,Q,y,成正比，故称为,横向剪应力,；正应力,z,与,荷载,q,成正比，故称为,挤压应力,。,在薄板弯曲问题中,，弯应力和扭应力是,主要应力,，横向剪应力较小，是次要应力，挤压应力更小，是更次要应力。,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,6. 薄板横截面上的内力,：,第五章 板壳问题有限单元法,一、薄板弯曲基本假定和基本方程,7. 薄板的势能,：,由,基本假定 ，故板的应变能为：,z,= ,yz,=,zx,0,外力势能为：,总势能：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,1. 基本变量,：,单元内任一点位移:,单元内任一点应变,:,其中:,单元内任一点应力,:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,1. 基本变量,：,单元结点位移,:,结点位移,:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.,单元位移插值函数,：,由于薄板的位移、应变、应力、内力等都可用挠度,w,来,表示，所以位移插值函数的选择，即为,挠度模式,的选择,4个,结点，12个自由度，故在自然坐标下设：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.,单元位移插值函数,：,所以有：,将结点坐标及位移代入上面三式:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,2.,单元位移插值函数,：,形,函数矩阵,形,函数,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.,位移的协调性检验,：,总势能,为3次完全多项式，故满足,完备性,要求,其最高阶导数,p=2，,完备性,要求位移模式为2次完全多项式,矩形薄板单位的位移：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.,位移的协调性检验,：,能量泛涵中位移函数最高阶导数,p=2，,协调性,要求位移模式在相邻单元的交界面上有,0-1阶的连续导数,C,1,问题,以右图为例，考察两相邻单元在34边位移是否协调：,由于34边上,为常数，所以,w,为,的三次方程，含4个未知量，可通过结点位移分量：,求解未知量，从而唯一确定位移,w,保证了两单元之间挠度和转角 的连续,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.,位移的协调性检验,：,对于转角：,34边上,为常数， 仍为,的三次方程，含4个未知量，而此时仅有：,两个求解条件，所以无法完全确定三次方程，也就无法保证在34边上两单元有相同的,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,3.,位移的协调性检验,：,以上分析表明，矩形板单元的挠度和切向转角可满足协调性要求，而法向转角则不能满足协调性要求，这种单元也称为非协调元，,对于非协调元，只有能通过分片试验，也可收敛于精确解。,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,4.,单元几何方程,：,将,已经得到单元几何方程为：,将带入上式：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,4.,单元几何方程,：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,5.,单元物理方程,：, 应力矩阵,令:,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,6.,单元分析,：,利用变分原理，得平衡方程：,已经得到单元势能：,将前面的分析结果带入上式：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,6.,单元分析,：,其中：,单元刚度矩阵,等效结点荷载,当荷载均匀分布时：,第五章 板壳问题有限单元法,二、矩形薄板单元,7.,位移边界条件,：,常见位移边条：,1) 固支边：,切向转角,法向转角,2) 简支边：,3) 对称轴：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1. 位移插值函数：,需要有10个系数，在直角坐标下问题很难解决，较好的方案是设：,三角形板单元有9个自由度，,而一个完全三次式：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1. 位移插值函数：,但当,三角形两边分别平行两坐标轴时，确定广义坐标的系数矩阵奇异,利用面积坐标三个分量不相互独立的特性，可解决该问题：,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1. 位移插值函数：,利用结点的位移参数条件可确定,w,中的广义坐标，得到：,形,函数矩阵,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,1. 位移插值函数：,形,函数,试,证明9自由度三角形薄板单元为非协调元,第五章 板壳问题有限单元法,三、三角形薄板单元,2. 单元分析,试,推导9自由度三角形薄板单元的,1）应变矩阵,2）应力矩阵,3）单元刚度矩阵,y,x,L,L,例：,四边简支正方形薄板,A,B,D,C,y,x,L,L,A,B,D,C,受均布荷载,q,及中心集中荷载,P,两种工况作用，分别用矩形单元和三角形单元计算最大挠度,作业：,1.证明常应变四面体单元是完备协调单元。,2.在薄板弯曲时，为什么能用中面挠度函数,w,来确定任一点的位移与应力？任一点的位移与应力如何用,w,来表示？,3.试证明9自由度三角形薄板单元为非协调元。,4.试推导9自由度三角形薄板单元的刚度矩阵。,