正弦定理ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,.,第二章,:,解三角形,1.1,正弦定理,1.,问题的引入,:,.,(1),在我国古代就有嫦娥奔月的神话故,事,.,明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐,想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢,?,科学家们是怎样测出来的呢？,.,(2),设,A,B,两点在河的两岸,只给你米尺和量,角设备,不过河你可以测出它们之间的距,离吗,?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问,题的有力工具,.,.,回忆一下直角三角形的边角关系,?,A,B,C,c,b,a,s,i,n,a,c,A,?,两等式间有联系吗？,sin,sin,a,b,c,A,B,?,?,s,i,n,1,C,?,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,c,A,B,C,?,?,?,思考,:,对一般的三角形,这个结论还能成立吗,?,2.,定理的推导,1.1,正弦定理,s,i,n,b,c,B,?,.,(1),当,是锐角三角形时,结论是否还成立呢,?,A,B,C,?,D,如图,:,作,AB,上的高是,CD,根,椐三角形的定义,得到,.,s,i,n,s,i,n,b,c,A,EB,C,B,C,?,?,同,理,作,有,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,?,1.1,正弦定理,s,i,n,s,i,n,C,D,a,B,C,D,b,A,?,?,s,i,n,s,i,n,a,B,b,A,?,所,以,s,i,n,s,i,n,a,b,A,B,?,得,到,B,A,C,a,b,c,E,.,(2),当,是钝角三角形时,以上等式是否,仍然成立,?,ABC,?,B,A,C,b,c,a,1.1.1,正弦定理,D,.,（,1,）文字叙述,正弦定理：,在一个三角形中，各边和它所对角,的正弦的比相等,.,（,2,）结构特点,（,3,）方程的观点,正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个,.,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢,?,和谐美、对称美,.,正弦定理,:,C,c,B,b,A,a,sin,sin,sin,?,?,.,O(A),y,x,C,B,C,因为向量,与,在,y,轴上的射影均为,，,B,C,uuu,r,A,C,uuur,?,uuuu,r,O,C,如图所示，以,A,为原点，以射线,AB,的方向为,x,轴,正方向建立直角坐标系，,C,点在,y,轴上的射影为,C,，,s,i,n,s,i,n,?,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,r,O,CB,CB,a,B,A,c,o,s,(,9,0,),s,i,n,?,?,?,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,r,O,CC,A,b,A,即,s,i,n=,s,i,n.,a,B,b,A,所以,即,.,sin,sin,?,a,b,A,B,.,所以,.,s,in,s,in,s,in,?,?,a,b,c,A,B,C,若,A,为锐角或直角，也可以得到同样的结论,.,.,sin,sin,?,a,c,A,C,同理，,.,.,s,i,n,s,i,n,s,i,n,?,?,a,b,c,A,B,C,变式,:,?,?,1,;,;,.,s,i,n,s,i,n,s,i,n,s,i,n,s,i,n,s,i,n,?,?,?,a,b,b,c,c,a,A,B,B,C,C,A,?,?,2,s,i,n,:,s,i,n,:,s,i,n,:,.,?,A,B,C,a,b,c,正弦定理,在一个三角形中,各边和它所对角的,正弦的比相等,即,.,剖析定理、加深理解,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,1,、,A+B+C=,2,、大角对大边，大边对大角,正,弦,定,理,：,.,剖析定理、加深理解,3,、正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知,两角和一边,，求其他角和边,已知,两边和其中一边的对角,，求另一边,的对角，进而可求其他的边和角,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,正,弦,定,理,：,.,剖析定理、加深理解,4,、一般地，把三角形的三个角,A,，,B,，,C,和它们的对边,a,，,b,，,c,叫做,三角形的元,素,。已知三角形的几个元素求其他元素,的过程叫,解三角形,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,正,弦,定,理,：,.,剖析定理、加深理解,5,、正弦定理的变形形式,6,、正弦定理,，可以用来判断三角形的,形状，其主要功能是实现三角形边角,关系的转化,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,正,弦,定,理,：,.,例,1,在,已知,解三角形,.,A,B,C,?,0,0,3,0,1,3,5,2,A,B,a,?,?,?,通过例题你发现了什么一般性结论吗,?,小结,：知道三角形的两个内角和任何一边，利,用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1,正弦定理,3.,定理的应用举例,变式：,若将,a,=2,改为,c,=2,，结果如何？,.,例,2,已知,a=16,，,b=,，,A=30,.,解三角形。,已知两边和其中一边,的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,B,b,A,a,sin,sin,?,得,2,3,16,30,sin,3,16,sin,sin,?,?,?,?,a,A,b,B,所以,60,或,120,当,时,60,C=90,.,32,?,c,C=30,.,16,sin,sin,?,?,A,C,a,c,3,16,当,120,时,B,16,30,0,A,B,C,16,3,16,8,3,.,(1),60,45,10,;,(2),3,4,30,sin,;,(3),3,1,60,.,ABC,A,B,a,b,a,b,A,B,b,c,B,a,A,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,跟踪练习：,中，,已知,，,，,求,已知,求,已知,求,和,、,.,4.,基础练习题,1.1,正弦定理,0,0,(,1,),4,5,2,2,1,0,3,(,2,),6,0,4,3,A,B,C,A,a,b,B,A,B,C,A,a,b,B,?,?,?,?,?,?,?,?,在,中,，,已,知,求,在,中,，,已,知,求,B=30,0,无解,.,B,C,D,E,A,分析：,如图所示，将,BD,CE,分别延,长相交于一点,A,，在,ABC,中，已,知,BC,的长及角,B,与,C,，可以通过正,弦定理求,AB,，,AC,的长,.,例,3.,某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,(,如图所,示,),，其一角已破损,.,现测得如下数据：,BC=2.57cm,，,CE=3.57cm,，,BD=4.38cm, .,为了复,原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到,0.01cm,）,.,4,5,1,2,0,?,?,B,C,?,?,.,解：,将,BD,CE,分别延长相交于一点,A,，在,ABC,中，,BC=2.57cm,B=45,C=120,A=180,-(B+C)=180,-(45,+120,)=15,.,因为,所以,利用计算器算得,AC7.02(cm),同理,AB8.60(cm).,s,i,n,2,.,5,7,s,i,n,4,5,.,s,i,n,s,i,n,1,5,?,?,?,?,B,C,B,A,C,A,答：原玉佩两边的长分别约为,7.02cm,8.60cm.,sin,sin,BC,AC,A,B,?,.,例,4.,台风中心位于某市正东方向,300 km,处，正,以,40 km/h,的速度向西北方向移动，距离台风中,心,250 km,范围内将会受其影响,.,如果台风风速不,变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种,影响持续多长时间（结果精确到,0.1h,）,?,.,分析：,如图所示，台风,沿着,BD,运动时，由于,|AB|,=300 km250 km,，所以开,始台风影响不了城市,A,，由点,A,到台风移动路径,BD,最小距离,|AE|=|AB|sin45,所以台风在运动过程中肯定要影响城市,A.,这就要在,BD,上求影响,A,的始点,C,1,和终点,C,2,，然后根据台,风的速度计算台风从,C,1,到,C,2,持续的时间,.,2,3,0,0,1,5,0,1,.,4,1,2,1,1,.,5,(,k,m,),2,5,0,k,m,.,2,?,?,?,?,?,?,A,北,D,C,2,E,C,1,B,.,解：,设台风中心从点,B,向西北方向沿射线,BD,移动，该,市位于点,B,正西方向,300 km,处的点,A.,假设经过,th,，台风中心到达点,C,，则在,ABC,中,AB=300 km,，,AC=250 km,BC=40t km,B=45,.,.,由正弦定理,sin,sin,sin,AC,AB,BC,B,C,A,?,?,知,sin,300sin,45,3,2,sin,0.848,5,250,5,?,?,?,?,?,o,AB,B,C,AC,.,利用计算器算得角,C,有两个解,1,2,121.95,58.05,C,C,?,?,o,o,.,1,1,8,0,(,),1,8,0,(,4,5,1,2,1,.,9,5,),1,3,.,0,5,.,?,?,?,?,?,?,?,o,o,o,o,o,A,B,C,当,1,121.95,C,?,o,时,.,所以,1,1,sin,250sin13.05,79.83(km),sin,sin,45,AC,A,BC,B,?,?,?,o,o,1,1,79.83,2.0(h),40,40,BC,t,?,?,?,.,同理，当,2,58.05,C,?,o,时，,2,BC,344.4km,?,2,t,8.6h,?,.,2,1,t,t,8.6,2.0,6.6(h),?,?,?,?,.,答：约,2h,后将要遭受台风影响，持续约,6.6h.,.,?,正弦定理,?,主要应用,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,(1),已知两角及任意一边，可以求出其他两,边和另一角；,(2),已知两边和其中一边的对角，可以求出三,角形的其他的边和角。,(,此时可能有一解、二解、,无解）,1.1,正弦定理,小结,:,.,作业,5,2,1,2,-,1,2,b,3,0,1,2,0,A,A,B,C,A,B,?,?,?,?,?,、,P,习,题,组,第,7,题,；,、,在,中,，,已,知,=,1,4,解,三,角,形,。,.,正弦定理（第二课时）,1,、复习回顾正弦定理的内容,s,i,n,s,i,n,s,i,n,a,b,c,A,B,C,?,?,2,(1,),6,0,1,0,.,(,2,),1,0,5,6,6,0,.,(,3,),2,3,6,3,0,.,(,4,),4,5,6,0,.,A,B,C,A,B,a,b,b,c,C,A,a,b,A,B,a,b,A,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,、,练,习,：,在,中,，,=,4,5,，,，,求,，,求,，,求,，,求,.,问题,1,由例,2,我们发现，已知两边和其中一边的对,角，解三角形时会出现两解的情况,.,还会出现其他,情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？,提示：,已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，,可能有两解、一解或无解,.,在,ABC,中，已知,a,，,b,和,A,时，解的情况如下：,探究点,2,正弦定理解三角形,.,1.,为锐角,absinA,无解,a=bsinA,一解,bsinAab,一解,ab,无解,b,a,b,a,为直角时，与为钝角相同，,ab,时，一解；,ab,时，无解,.,.,问题,2,如图所示，在,Rt,ABC,中，斜边,AB,是,ABC,外接圆的直径（设,Rt,ABC,外接圆的半,径为,R,），因此,2.,s,i,n,s,i,n,s,i,n,?,?,?,a,b,c,R,A,B,C,这个结论对于任意三角形,(,图,，,图,),是否成立？,提示：,成立，证明如下,.,.,B,B,?,?,?,?,2,s,i,nB,s,i,nB,?,?,?,b,b,R,2,2,s,i,n,C,s,i,n,?,?,c,a,R,R,A,：,，,同,理,A,C,B,B,a,c,b,O,如图,:,?,?,2,.,s,i,n,s,i,n,s,i,n,?,?,?,a,b,c,R,R,A,B,C,为,即,：,外,接,圆,半,径,得,当,ABC,为锐角三角形时，,.,:,B,B,2,sin,B,sin,:,2,2,sin,sin,:,2,(,).,sin,sin,sin,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,ABC,b,b,R,B,a,c,R,R,A,a,b,c,R,R,A,B,C,C,当,为钝角三角形时,为外接圆,如图,即得,半径,同理,a,b,c,当,ABC,为直角三角形时，容易得证,.,.,在,Rt,ABC,中，,90,C,?,o,则,ABC,的面积,1,2,S,ab,?,.,对于任意,ABC,，,已知,a,b,及,C,，则,ABC,的面积,1,sin,2,S,ab,C,?,.,你能证明这一结论吗？,问题,3,B,A,C,D,a,b,c,h,a,证明,:,因为,1,2,?,V,ABC,a,S,ah,而,s,i,n,s,i,n,?,?,?,a,h,A,D,c,B,b,C,所以,1,s,in,.,2,?,V,A,B,C,S,a,b,C,1,1,1,s,i,n,s,i,n,s,i,n,.,2,2,2,?,?,?,V,A,B,C,S,a,b,C,b,c,A,a,c,B,小结：,.,例,3.,如图，在,ABC,中，,(,),(,),AB,x,y,AC,u,v,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,.,求证：,ABC,的面积,1,|,|,2,S,xv,yu,?,?,.,证明：,1,|,|,|,|,sin,2,S,AB,AC,A,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,2,2,2,1,|,|,|,|,sin,2,AB,AC,A,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,2,2,2,1,|,|,|,|,(1,cos,),2,AB,AC,A,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,2,2,2,1,|,|,|,|,(|,|,|,|,cos,),2,AB,AC,AB,AC,A,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,2,2,1,(|,|,|,|),(,),2,AB,AC,AB,AC,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,.,.,因为,(,),(,),AB,x,y,AC,u,v,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,，,所以,2,2,2,2,2,1,(,)(,),(,),2,S,x,y,u,v,xu,yv,?,?,?,?,?,2,1,(,),2,xv,yu,?,?,1,|,|,2,xv,yu,?,?,.,.,2,、在,中，若,，则,是,(,),A.,等腰三角形,B.,等腰直角三角形,C.,直角三角形,D.,等边三角形,1,、在,中，一定成立的等式是（,）,A,.,a,s,i,n,A,b,s,i,n,B,?,B,.,a,c,o,s,A,b,c,o,s,B,?,C,.,a,s,i,n,B,b,s,i,n,A,?,D,.,a,c,o,s,B,b,c,o,s,A,?,C,c,o,s,c,o,s,c,o,s,2,2,2,?,?,a,b,c,A,B,C,D,ABC,ABC,ABC,.,3.,（,2013,北京高考）在,ABC,中，,a,=3,b,=5,sinA=,1,3,则,sinB=( ),1,5,5,9,5,3,A.,B.,C.,D.1,B,4.,（,2013,新课标全国卷）,ABC,?,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,，已,知,2,b,?,，,6,B,?,?,，,4,C,?,?,，则,ABC,?,的面积为（,）,A.,2,3,2,?,B.,3,1,?,C.,2,3,2,?,D.,3,1,?,B,.,6.,在,中，,c=4,a=2,C= ,则,= _.,4,5,?,sin,A,5.,若,A,B,C,是,ABC,的三个内角，,则,sinA+sinB_sinC.,2,4,ABC,.,通过本节课的学习,:,1.,掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向,量方法,.,2.,学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问,题,.,（,1,）已知两角及一边；,（,2,）已知两边和其中一边的对角,.,.,在例,2,中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判,断有几组解？,60,A,B,C,b,（,3,）,b,20,，,A,60,，,a,15.,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,;,3,20,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,;,3,10,.,（,3,）,b,20,，,A,60,，,a,15.,60,20,A,C,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,;,3,20,60,203,A,20,B,C,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,;,3,10,B,C,60,A,20,一解,一解,无解,.,?,?,90,0,?,?,A,?,90,?,A,a,bsinA,a,=bsinA,bsinA,a,b,无解,一解,两解,一解,无解,一解,A,C,条件,图形,解的,个数,总结,A,C,B,B,C,A,A,C,D,B,2,B,1,C,A,D,A,B,C,D,