相关与回归分析

第十章,线性相关与回归,regression and correlation,叶孟良,变量间关系问题：年龄,身高、肺活量,体重、药物剂量与动物死亡率等。,两种关系：,依存关系：,应变量,(dependent variable),Y,随自变量,(independent variable),X,变化而变化。,回归分析,互依关系：,变量,Y,与变量,X,间,的彼此依赖关系 。,相关分析,线性相关,线性回归,内容：,直线相关,相关,-,变量间的互依关系,直线相关,(linear correlation),：,简单相关,(simple correlation),，,用于,双变量,正态分布资料。,散点图,为了确定相关变量之间的关系，首先应该收集一些数据，这些数据应该是成对的。例如，每人的身高和体重。然后在直角坐标系上描述这些点，这一组点集称为散点图。,为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔,.皮尔逊测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上，如图。用水平轴,X,上的数代表父亲身高，垂直轴,Y,上的数代表儿子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点图。它的形状象一块橄榄状的云，中间的点密集，边沿的点稀少，其主要部分是一个椭圆。,图,10-2,相关系数示意图,散点呈椭圆形分布，,X,、,Y,同时,增减,-,正,相关（,positive correlation),；,X,、,Y,此增彼减,-,负,相关,(negative correlation),。,散点在一条直线上，,X,、,Y,变化趋势,相同,-,完全正相关,;,反向,变化,-,完全负相关,。,图,10-2,相关系数示意图,X,、,Y,变化互不影响,-,零相关,(zero correlation),非线性相关,一、,相关系数概念,相关系数,(correlation coefficient),，,又称积差相关系数（,coefficient of product moment correlation,），或,Pearson,相关系数,（软件中常用此名称）,说明相关的,密切程度,和,方向,的指标。,r,样本相关系数,r,无单位，,-1,r,1,。,r,值为正,正相关,，,为负,负相关；,（与后面回归系数,b,的符号相同）,|,r,|=1,-,完全相关，,|,r,|=0,-,零相关。,二、相关系数的意义,三、,相关系数的计算,例,10.1,从男青年总体中随机抽取,11,名男青年组成样本，分别测量每个男青年的身高和前臂长，测量结果如表,10-1,所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。,编号,身高（,x),前臂长（,y,）,X y,x,2,y,2,1,170,47,7990,28900,2209,2,173,42,7266,29929,1764,3,160,44,7040,25600,1936,4,155,41,6355,24025,1681,5,173,47,8131,29929,2209,6,188,50,9400,35344,2500,7,178,47,8366,3684,2209,8,183,46,8418,33489,2116,9,180,49,8820,32400,2401,10,165,43,7095,27225,1849,11,166,44,3174,28561,2116,合计,1891,500,86185,326081,22810,表,10-1 12,名男青年身高与前臂长的测量结果,散点图,四、,相关系数的假设检验,r,0,原因：,由于抽样误差引起，,=0,存在相关关系，,0,公式,，,n,-2,S,r,-,相关系数的标准误,五、总体相关系数,的区间估计（了解）,六、进行线性相关的注意事项,1,、,相关系数,0,表示正相关，相关系数,0,，,Y,随,X,的,增大,而,增大（减少,而,减少）,斜上,；,b,t,0.01(9),=3.250 p0.01,意：两种检验是完全等价的，即,四、进行线性回归分析的注意事项,1,、资料要求：满足线性、独立、正态、等方差四个条件,2,、要有实际意义,3,、须对回归系数进行假设检验,4,、使用回归方程计算估计值时，不可以把估计范围扩大到自变量的取值范围以外。,区别：,五、直线回归与相关的区别与联系,1.,资料：,X,、,Y,服从双变量正态分布,Y,正态随机变量，,X,为选定变量,回归,2.,应用,：,回归,由一个变量值推算另一个变量值,相关,只反映两变量间互依关系,相关,3.,回归系数有单位,相关系数无单位,联系：,六、直线回归与相关的,应用注意事项,要有实际意义,不能任意“外延”,绘制,散点图,