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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,四、 数列极限与函数极限的性质,第一节,极限的概念,（续）,1,、唯一性,证,:,用反证法,.,及,且,取,因,故存在,N,1,从而,同理,因,故存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,定理：如果数列,x,n,收敛，则极限唯一。,使当,n,N,1,时,假设,从而,（,1,）数列极限的唯一性,（,2,）函数极限的唯一性,.,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,.,则当,n,N,时,故假设不真,!,满足的不等式,定理：如果 存在，则极限唯一。,证明略,例,.,证明数列,是发散的,.,证,:,用反证法,.,假设数列,收敛,则有唯一极限,a,存在,.,取,则存在,N,但因,交替取值,1,与,1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为,1,的开区间,使当,n,N,时,有,因此该数列发散,.,2.,有界性,证,:,设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界,.,有,定理：如果数列,x,n,收敛，则,x,n,有界。,（1）收敛数列的有界性,说明,:,1.,此性质反过来不一定成立,.,例如,虽有界但不收敛,.,数列,2.,无界的数列一定是发散的,.,（,2,）函数极限的局部有界性,当 时，,成立，即满足局部有界性,例如,O,x,y,a,函数在 上是有界的，,即,.,3.,保号性,定理,若,且,有,.,证,:,对,a, 0 ,取,则,则,（,1,）数列极限的,保号性,推论,:,若数列从某项起,（,2,）函数极限的,局部保号性,利用反证法证明，证明略,定理,若,且,A, 0 ,则存在,(,A, 0 ),推论,1,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,分析,:,推论,2,如果在,x,0,的某个去心邻域 内满足,并且 ，那么,A,0.,A,0.,*,4.,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,.,证,:,设数列,是数列,的任一子数列,.,若,则,当,时,有,现取正整数,K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散,!,则原数列一定发散,.,说明,:,*,归结原则,定理,例如：,=0,的数列，并且满足 ，那么相应的函数值列,*,定理,.,设 ，,有定义,且,设,即,当,有,有定义,且,对上述,时,有,于是当,时,故,有,证：,当,例,证明,不存在,.,证,:,取两个趋于,0,的数列,及,有,由定理,1,知,不存在,.,内容小结,1.,数列极限、函数极限的唯一性。,第五节,2.,收敛数列的有界性，函数极限的局部有界性。,3.,保号性。,4.,收敛数列与子列的关系，归结原则。,
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