dspchapter1离散时间信号与离散时间系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,DSP: Digital Signal Processing,Chapter1: 离散时间信号与离散时间系统,罗新龙副教授,P.O.Box 101, 100876,DSP: Digital Signal Processing,内容提要,离散时间的基本概念,LSI,系统的输入、输出关系,LSI,系统的频率响应,确定性信号的相关函数,DSP: Digital Signal Processing,离散时间系统的基本概念,变换: 一个离散时间系统可以抽象为一种变换或者是一种映射关系:,yn = T(xn),其中,x(n),为输入序列,y(n),为输出序列,T,表示变换.,如三点平均器 (,Moving Average):,DSP: Digital Signal Processing,三点平均器,DSP: Digital Signal Processing,MA 平滑,对输出急剧变化的量进行平滑处理,e.g. 12个月的平均,e.g. xn = sn + dn,DSP: Digital Signal Processing,累加器,输出为过去所有输入的相加:,DSP: Digital Signal Processing,累加器,DSP: Digital Signal Processing,DT系统的分类,线性变换：,T ,x(n) =,T x(n) ,Tx,1,(n) + x,2,(n) = Tx,1,(n) + Tx,2,(n),如果系统对,x,1,(n),的响应是,y,1,(n),对,x,2,(n),的响应是,y,2,(n),那么对于,x,1,(n),+,x,2,(n),的响应为:,y(n) = T ,x,1,(n),+,x,2,(n) ,=, T,x,1,(n), + T,x,2,(n) ,=,y,1,(n) +,y,2,(n),DSP: Digital Signal Processing,线性系统的图解说明,x,1,(n),x,2,(n),T ,y(n),DSP: Digital Signal Processing,线性系统的叠加原理,T ,T ,x,1,(n),x,2,(n),y,1,(n),y,2,(n),y,(n),DSP: Digital Signal Processing,线性举例1,累加器:,x(n) =,x,1,(n),+,x,2,(n),DSP: Digital Signal Processing,线性举例2,能量算子:,y(n) = x,2,(n) x(n-1),x(n+1),x(n) =,x,1,(n),+,x,2,(n),DSP: Digital Signal Processing,线性举例3,平移累加器:,但是,DSP: Digital Signal Processing,平移不变性,平移不变性：,Tx(n) = y(n),Tx(n-k) = y(n-k),即如果输入信号,x(n),延迟了,k,个抽样周期, 那么它的输出也延迟了,k,个抽样周期.,DSP: Digital Signal Processing,移不变系统的反例,插值采样:,y,1,(n) = x,1,(n/L), ( n = r,L),x(n) = x,1,(n - k),y(n) = x(n/L),= x,1,(n/L - k) Not Shift Invariant,= x,1,(n L k)/L) = y,1,( n L k),y,1,(n k ),DSP: Digital Signal Processing,Another counterexample,y(n) = n,x,(n),因此,y,1,(n k) = (n k),x,1,(n k) .,如果,x,(n) =,x,1,(n k),y(n) = n,x,(n),= n,x,1,(n k),y,1,(n k),Not Shift Invariant System ,参数依赖变量,n.,DSP: Digital Signal Processing,线性移不变系统,线性移不变系统：同时具有线性和平移不变性的系统,LSI (Linear Shift Invariant System).,容易运算.,仍然广泛使用,如果离散指标与时间有关, 称为,Linear Time Invariant,(LTI),系统.,DSP: Digital Signal Processing,线性移不变系统的例子,例1：给定系统(1),y(n) = n x(n),判断这个系统是否是,线性、移不变系统.,解： 给定输入,x(n),它的响应为,y(n) = T,x(n) = n,x(n) =, n x(n),= Tx(n),因此满足齐次性，又给定输入,x,1,(n)+x,2,(n),它的响应为：,y(n) = Tx,1,(n)+x,2,(n),= n,(,x,1,(n) + x,2,(n),= n,*,x,1,(n) + n*x,2,(n),= T,x,1,(n), + T,x,2,(n),DSP: Digital Signal Processing,线性移不变系统的例子,因此这个系统满足可加性，所以是一个线性系统.,又系统对,x(n-k),的响应为,y,k,(n) = Tx(n-k) = n x(n-k),而,y(n k) = (n-k)x(n-k),因此系统不具有,平移不变性。,DSP: Digital Signal Processing,线性移不变系统的例子2,考虑系统,y(n) a y(n-1) = x(n),y(-1) = 0, n, 0,是否具有线性移不变性。,解：假设,x,1,(n),的响应为,y,1,(n), x,2,(n),的响应为,y,2,(n),那么当输入,x,1,(n)+ ,x,2,(n),时, ,y,1,(n) + ,y,2,(n),也满足系统方程:,(,y,1,(n) + ,y,2,(n) a ( y,1,(n-1) + ,y,2,(n-1) = x,1,(n)+ ,x,2,(n),因此系统是一个线性系统. 容易验证当输入,x(n-k),时，,y(n-k),也满足系统方程，因此,y(n-k),即为,x(n-k),的响应，所以系统是线性移不变系统.,DSP: Digital Signal Processing,因果性,系统的输出,y(n),只与现在和过去时刻的输入,x(n), x(n-1), ,有关而与将来的输入无关。,实时信号处理中，系统的输出不能早于输入，否则不是物理可实现系统。,例：,y(n) = n x(n),是一个因果系统。,y(n) = x(n+1) , y(n) = x(n,2,),和,y(n) = x(-n),是非因果系统.,DSP: Digital Signal Processing,因果性举例,算术平均:,y(n),只依赖于,x(n -k), k, 0,因果性.,中心平均 :,非因果性, 具有将来点的值.,一个非因果性系统可以通过延迟它的输入转化为因果性系统.,DSP: Digital Signal Processing,稳定性,有界性： 如果存在实数,M，,使得对于所有,n,都满足 |,x(n) |, M,，,则称信号,x(n),有界.,对于一个,LSI,系统如果输入,x(n),有界，输出,y(n),也有界，那么这个系统稳定.,设计的实际系统应该满足稳定性。,DSP: Digital Signal Processing,冲激响应,Impulse Response : IR,脉冲:,给定一个系统:,如果,x(n) =,(n),那么定义,y(n) = h(n),为系统的冲激响应.,LSI,系统完全由,h(n),给定.,DSP: Digital Signal Processing,有限冲激响应系统,如果系统的抽样响应仅包含有限个点，则为有限冲激响应（,FIR)，,否则为无限冲激响应(,IIR)。,求三点加权系统,y(n) =,1,x(n) +,2,x(n-1) +,3,x(n-2),的单位冲激响应。,解：将,x(n),换成,(,n)，,有,h(n) = ,1,(n) +,2,(n-1) +,3,(n-2),所以,h(0) =,1, h(1) =,2, h(2) =,3,当,n 2,时,h(n) = 0.,DSP: Digital Signal Processing,Example,图例:,DSP: Digital Signal Processing,卷积,冲激响应:,平移不变性:,线性:,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统的输入、输出关系,输入信号的卷积表示:,x(n) =, x(k) ,(n - k),=,+ x(-1) ,(n +1) + x(0),(n )+,x(n),为输入信号,(,n),为单位冲激信号.,输出信号的卷积表示:,假设单位冲激信号,(,n ),的响应为,h(n),那么当输入为,x(k),(n - k),时,由,LSI,性质得到它的响应为:,x(k) h(n-k).,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统的卷积表示,由于,x(n) =, x(k) ,(n - k),因此,LSI,系统对信号,x(n),的响应,y(n),为:,y(n) = T, x(k) ,(n - k) ,=, Tx(k) ,(n - k) ,=, x(k) T,(n - k) ,=, x(k) h,(n - k),卷积定义:,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算的性质,交换律:,y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n),分配律:,(,x(n) + y(n)*h(n) = x(n)*h(n) + y(n)*h(n).,结合律:,(,x(n)*h(n)*y(n) = x(n)*(h(n)*y(n),DSP: Digital Signal Processing,线性卷积运算的步骤,步骤1: 将x(n), h(n)的时间下标由n换成k,步骤2: 将h(k)翻转得到 h(-k),步骤3: 把h(-k)逐次右移n个抽样点得到 h(n-k), 并且与x(n)相乘, 所得结果相加得到响应y(n).,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算图解,信号xn通过一个LSI系统等价于这个信号与它的冲激响应hn的卷积.,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算图解1,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算图解2,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算的矩阵解释,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算的注记,长度为,N,和,M,的两个序列, 它们的卷积运算长度为:,N+M-1.,卷积运算中的项之和为指标,n, i.e.,(n k) + k = n,求和项的指标从两个相反的方向移动.,DSP: Digital Signal Processing,线性卷积运算的例子1,例1: 令,h(n) = h(0), h(1) = 1, 1, x(n) = x(0), x(1), x(2), x(3) = 1, 2, 3, 4,求,x(n),和,h(n),的线性卷积.,解: 当,n = 0,时, 把,h(-k),与,x(k),对应相乘, 得到,y(0) = h(0) x(0) = 1.,y(1) = x(1) h(0) + x(0) h(1) = 3,y(2) = x(1)h(1) + x(2) h(0) = 5,y(3) = x(2)h(1) + x(3)h(0) = 7,y(4) = x(3)h(1) = 4.,当,n 5,时,y(n) = 0.,DSP: Digital Signal Processing,线性卷积运算的例子2,例2：令,x(n) = b,n,u(n), h(n) = a,n,u(n),求系统的输出,y(n).,解: 直接由定义得:,利用等比级数的求和公式可得:,DSP: Digital Signal Processing,卷积运算的Matlab实现,函数为,conv,如果,a = 0, 3, 1, 2, -1, b = 3, 2, 1,那么,conv(a, b) = 0, 9, 9, 11, 2, 0, -1,DSP: Digital Signal Processing,串联系统,串联：,我们假设,h(n),是两个系统的串联, 它们的冲激响应分别为,h,1,(n),和,h,2,(n),则,h(n) = h,1,(n)* h,2,(n),由交换律得:,DSP: Digital Signal Processing,逆系统,(,n),对于卷积运算是单位元素,i.e.,x(n)*,(n) = x(n),考虑系统,如果,h,1,(n)* h,2,(n) =,(n),则,z(n) = y(n)*,h,2,(n) = x(n)* (h,1,(n)* h,2,(n),= x(n) .,我们称,h,2,(n),是,h,1,(n),的逆系统.,DSP: Digital Signal Processing,逆系统,使用逆系统(,Inverse System),是为了从输出信号还原输入信号, 如信道译码.,不是对于所有的系统都有逆系统, 如,h(n) = 0.,逆系统一般通过求解如下方程得到:,h,1,(n)* h,2,(n) =,(n),DSP: Digital Signal Processing,逆系统举例,累加器 :,它的冲激响应为:,h,1,(n) = u(n),向后差分算子,y(n) = x(n) x(n-1),的冲激响应为,h,2,(n) =,(n) - (n-1),由于 (,h,2,(n) * h,1,(n) ) = (,(n) - (n-1)*u(n),= (n) * u(n) - (n-1) *u(n) = u(n) u (n-1),= (n) ,因此向后差分是累加器的逆系统.,DSP: Digital Signal Processing,并联系统,并联,两个并联系统的冲激响应为它们各自冲激响应的和:,h(n) = h,1,(n) + h,2,(n),DSP: Digital Signal Processing,LSI系统稳定性的判断条件,系统稳定性判据1: 一个,LSI,系统稳定的充分必要条件是:,h,l,1,即:,Proof,:,充分性 由|,x(k) |, R,得,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统稳定性的判断条件,必要性: 取,x(n),为如下的有界数列,则,由,y(0),的有界性得证必要性成立.,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统的频率响应特性,复正弦信号:,x(n) = e,j,n,.,由,Euler,公式,e,j,n,= cos(,n) + j,sin(,n),e,-j,n,= cos(,n) - j,sin(,n),得,cos(,n) = (,e,j,n,+ e,-j,n,) /2,sin(,n) = (,e,j,n,- e,-j,n,) /2j.,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统的频率响应特性,复正弦信号x(n)的响应:,DSP: Digital Signal Processing,系统的频率响应:,性质:,实际上为,h(n),的离散傅立叶变换.,H(e,j,),为周期函数, 周期为2.,H(e,j,),为的连续函数.,LSI系统的频率响应特性,DSP: Digital Signal Processing,LSI系统的相频响应和幅频响应,幅频响应: 为复数,H(e,j,),的绝对值 |,H(e,j,) |,H(e,j,) = H,R,(e,j,) + j H,I,(e,j,),H(e,j,) = | H(e,j,) | e,j,(),相频响应：(),复数两种表示法的相互关系,|,H(e,j,) | = (H,R,(e,j,),2,+ H,I,(e,j,),2,),1/2,() = arctan(,H,R,(e,j,) / H,I,(e,j,) ),DSP: Digital Signal Processing,余弦信号的输出响应,余弦信号的LSI响应：,DSP: Digital Signal Processing,确定性信号的相关函数,相关系数: 对于能量有限的信号,x(n), y(n)，,我们定义它们的相关系数为,在二维空间中,xy,为这两个向量,x(n), y(n),之间的夹角余弦,cos(,).,由,Cauchy-Schwarz,不等式我们易知相关系数 |,xy,|, 1.,相关系数在一定程度上反映了两个固定波形,x(n),和,y(n),的相似程度.,DSP: Digital Signal Processing,能量信号的相关函数,问题的引入: 两个信号,sin(,n),和,cos(,n),是正交的, 即其相关系数为0, 但是把其中的一个信号移动/2, 则得到它们的相关系数为| ,xy,|,= 1,即为同一个信号.,互相关函数:,自相关函数:,为信号,x(n),的能量.,DSP: Digital Signal Processing,功率信号的相关函数,问题的引入: 功率信号,x(0),的能量,E,x,无穷大，因此我们可以定义它的相关函数为能量信号相关函数的平均值.,互相关函数:,自相关函数,DSP: Digital Signal Processing,周期信号的自相关函数,假设周期信号,x(n),的周期为,N,那么它的自相关函数是周期函数且周期为,N.,周期信号的自相关函数为：,DSP: Digital Signal Processing,能量信号相关函数举例,例 4：设 为指数信号，,T,s,为抽样周期,u( n T,s,),为阶跃序列，其自相关函数为：,DSP: Digital Signal Processing,周期信号相关函数举例,例 5: 令,x(n) = sin(,n),其周期为,N,即 = 2/,N,求,x(n),的自相关函数.,解：,DSP: Digital Signal Processing,相关函数与线性卷积的关系,线性卷积,互相关函数,自相关函数,DSP: Digital Signal Processing,自相关函数的性质,如果,x(n),是一个实信号, 则它的自相关函数,r,x,(m),是一个偶函数,i.e.,r,x,(m),在,m = 0,时取得最大值,i.e.,r,x,(m),0 ,可以直接利用,Cauchy-Schwartz,不等式得到证明.,如果,x(n),为能量信号, 则当,m,趋于无穷时,DSP: Digital Signal Processing,互相关函数的性质,r,xy,(m),不是偶函数, 但是有,r,xy,(m) = r,yx,(-m),r,xy,(m),(r,x,(0) r,y,(0),1/2,= ( E,x,E,y,),1/2,Proof:,由,Cauchy-Schwartz,不等式得,DSP: Digital Signal Processing,互相关函数的性质,如果,x(n),和,y(n),都是能量信号, 则,Proof :,DSP: Digital Signal Processing,信号相关性图示,DSP: Digital Signal Processing,