6.4特征根与特征向量

,*,返回,后页,前页,6.4,特征根与特征向量,授课题目：,6.4 特征根与特征向量,授课时数：,4学时,教学目标：,掌握特征根与特征向量的定义、,性质与求法,教学重点：,特征根与特征向量的定义与性质,教学难点：,特征根与特征向量的求法,1,对,n,维线性空间,V,的线性变换,，能否在它,所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵,对角矩阵来表示换句话说，能否在V中找,到一个基,1,，,2,，,n,，使,在这个基下,的矩阵是对角形,一,. 特征根与特征向量的定义与例子,1,. 一个问题,2,即有,（,1,），（,2,），（,n,）,(,1,，,2,，,n,),具体写出来，就是,(,i,)=,i,i,i,=1,2, ,n,.,3,由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的,话），首先要寻找满足条件（）=,和非零向量,的数,定义1设,是数域,F,上线性空间,V,的一个线性变,换如果对应,F,中的一个数,，存在,V,中的非零向,量,，使得,（,）=,（1）,那么,就叫做,的一个特征根（值），而,叫做,的属于特征根,的一个特征向量,2,. 特征根与特征向量的定义,4,其中（1）式的几何意义是：特征向量,与它在,下的象,（,）保持在同一直线,L,（,）上，,0时方向相同，,0时方向相反，,0时，,（,）= 0,5,量，则当,1,+,2,0时，,1,+,2,也是,的属于,特征根,的特征向量因为,设 是,的特征根，存在如下基本事实：,= （,1,+,2,）,(,1,+,2,)=,(,1,)+,(,2,),3,. 几个基本事实,1）若,1,，,2,，是,的属于特征根,的特征向,6,2）若,是,的属于特征根,的特征向量，则对,的特征向量，这是因为,k,0，且,任意,k,F,，,k,0，,k,也是,的属于特征根,)=,（,k,）,(,k,)=,k,(,)=,k,(,3）一个特征向量只能属于一个特征值,事实上，设,0是,的属于特征值,与,的特,=,-,征向量，就有,(,)=, (,),=0，,0，从而,而,0，只有,7,记为,V,.,V,=,的全部,从上面的性质可知,把,的属于特征根,的全部特征向量再添上零向量组成,V,的一个子集,它对,V,的加法和数量乘法作成,V,的一个子空间,当,是,的特征根时,V,0,因此,V,含有,称为,的属于特征根,的特征子空间,无限,多个向量.但我们只要求出,V,的一个基.,V,就,被确定了,4,. 几个例子,8,9,二,. 特征根与特征向量的求法,10,直接由定义来求线性变换的特征值与特征向,量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解,决这个问题,设,V,是数域,F,上的,n,维线性空间，取定它的基,1,，,2,，,n,，令线性变换,在这个,基下的矩阵是,A,（,a,ij,）.,如果,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,n,是线性变换,的,属于特征根,的一个特征向量，那么，,1,. 问题的转化,11,（,）关于基,1,，,2,，,n,的坐标是,而,的坐标是,这样，就有,或,12,这说明特征向量的坐标（,k,1,，,k,2,，,k,n,）是,齐次线性方程组,（2）,的非零解从而（2）的系数行列式为,13,反过来，如果,F,，满足等式（3），则齐次线,性方程组（2）有非零解（,k,1,，,k,2,，,k,n,），,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,n,满足等式（1），,是的一个特征根，就是的属于特征根,的特征向量,14,由上面的分析，可以得到以下的结论,1）,1,，,2,，,n,下的坐标正好构成齐次,线性方程组（,F,是,的特征根的充分必要条件是它满足,I,-,A,）,X,=0的在,F,上的解空间, 子空间,V,中一切向量在基,2）对于特征根,方程（3）；,I,-,A,）,X,=0的解空间同构.,V,的,实际上,V,与（,一个基,1,，,2,，,n,可由齐次线性方,15,程组（,I,-,A,）,X,= 0的一个基础解系,1,，,2,，,n,给出.,（其中,i,=(,1,，,2,，,n,),i,i,=1,2, ,r,）.,2,. 矩阵的特征多项式与特征根,16,定义3设,A,=(,a,ij,)是数域,F,上的一个,n,阶矩阵，,行列式,叫做矩阵,A,的特征多项式,f,A,(,x,)在,C,内的根叫做,矩阵,A,的特征根,17,设,0,C,是矩阵,A,的特征根，而,x,0,C,n,是一个,非零的列向量，使,Ax,0,=,0,x,0, 就是说，,x,0,是齐,次线性方程组(,0,I,-,A,),X,=0的一个非零解,我们称,x,0,是矩阵,A,的属于特征根,0,的特征向量,18,（1）如果,关于某个基的矩阵是,A,那么,的特,征根一定是,A,的特征根，但,A,的特征根却不一定,是,的特征根，,A,的,n,个特征根中属于数域,F,的数,才是,的特征根；,（2）,的特征向量是,V,中满足（1）式的非零向,量,，而,A,的特征向量是,C,n,中的满足,Ax,0,=,x,0,的非零列向量,x,0,；,3,. 线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系,19,现在把求线性变换,的特征根和特征向量的步,骤归纳如下：,1）在线性空间,V,中取一个基,1,，,2,，,n,，,求出,在这个基下的矩阵,A,；,（3）若,F,是,A,的特征根，则,A,的,F,n,中属于,的特征向量就是,的属于,的特征向量关于给,定基的坐标,4,. 线性变换的特征根与特征向量的求法,20,2) 计算特征多项式,f,A,(,x,)=|,XI,-,A,|,求出它的属于数,域,F,的根,1,，,2,，,s,;,3) 对每个,i,(,i,=1,2, ,s,)求齐次线性方程组,(,i,I,-,A,),X,=0的基础解系；,4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出,V,中对应,的向量组，它就是特征子空间,V,i,的一个基，从,而可确定,的特征向量,21,例4设,R,上的三维线性空间V的线性变换,在,基,1,，,2,，,3,下的矩阵是,求,的特征根和对应的特征向量,22,解,的矩阵,A,已给出，先求特征多项式和特,征根,f,A,(,x,)的根为,1,1（二重根），,2,-2都是,的特征根,对特征根,1,1，解齐次线性方程组,（1,I,-,A,）,X,=0，即,23,得基础解系,1,（-2，1，0），,2,（0，0，1）,24,对应的特征向量组是-2,1,+,2,3,，它,是特征子空间,V,1,的一个基，所以,V,1,L,（-2,1,+,2,，,3,）,而,的属于特征根1的一切特征向量为,k,1,（-2,1,+,2,）+,k,2,3,，,k,1,，,k,2,R,，不全为0,对特征根,2,-2，解齐次线性方程组,25,得基础解系,3,（-1，1，1），对应的,的特征,向量是-,1,+,2,+,3,，它可构成,V,-2,的一个基，所,以,V,-2,L,（-,1,+,2,+,3,）,因此,的属于特征根-2的一切特征向量为,k,（-,1,+,2,+,3,），,k,R,，,k,0,26,例5在线性空间,F,n,x,中，线性变换,D,:,D,(,f,(,x,)=,f,(,x,)在基 1,x,下的矩阵是,27,A,的特征多项式是,它的根仅有一个（,n,+1重根）,1,0,F,，即,D,仅有特征根,0（,n,+1重根）,28,对于这个特征根,1,0，解相应的方程组,得基础解系,1,（1，0，0，0）它对应,的,D,的特征向量是11+0,x,+0,=1.,29,于是，,V,1,=V,0,=,L,(1).即,D,的属于特征根0的特征,向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是,一致的,例6分别在实数域,R,和复数域,C,内求矩阵,的特征根和相应的特征向量,30,在,R,内，,A,只有特征根1，,A,的属于特征根1,的特征向量为,k,（2，-1，-1），,k,R，,k,0,在,C,内，,A,有特征根,1,1，,2,i,3,-,i,.,A,的属于特征根1的特征向量为,k,（2，-1，-1），,解,31,k,C,，,k,0；,A,的属于特征根i的特征向量为,K,1,(-1+2,i,1-,i,2),k,1,C,k,1,0,A,的属于特征根-,i,的特征向量为,k,2,(-1-2,i,1+,i,2),k,2,C,k,2,0,注意：求,A,的特征根时，要考虑给定的数域，,若没有指定数域，就在,C,内讨论；表示属于某,个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数,要取自指定的数域,F,(或,C,)，且不全为零,32,定理6.4.1相似的矩阵有相同的特征多项式,证设,A,B,即存在可逆矩阵,T,使得,B,=,T,-1,AT,.于是,F,B,(,x,)=|,xI,-,B,|=|,x I,-,T,-1,AT,|=|,T,-1,(,x I,-,A,),T,|,=|,T,-1,|,x,I,-,A,|,T,|=|,x I,-,A,|=,f,A,(,x,).,三特征多项式的基本性质,33,一个线性变换,在不同基下的矩阵是相似的，,根据定理，它们有相同的特征多项式因而，,我们可以把,在任一个基下的矩阵的特征多项,式叫做,的特征多项式，记为,f,(,x,),如果把,n,阶矩阵,A,的特征多项式,34,中行列式,f,A,(,x,)的展开式里，其余项至多含有,n,-2个主对角线线上的元素因此，,f,A,(,x,)是乘积,（5）和一个至多是,x,的一个,n,-2次多项式的和，,f,A,(,x,)中次数大于,n,-2的项只出现在乘积（5）中,f,A,(,x,),x,n,-(,a,11,+,a,22,+,a,nn,),x,n,-1,+.,展开，得到,F,x,中的一个多项式它的最高,(,x,-,a,11,) (,x,-,a,22,) (,x,-,a,nn,) (5),次数项,x,n,，出现在主对角线上元素的乘积,35,上式右端没有写出的项的次数最多是,n,-2由此,可知：,（1）,f,A,(,x,)是,x,的首项系数为1的,n,次多项式,（2）,f,A,(,x,)的,n,-1次项的系数乘以-1就是,A,的主对,角线上元素的和，叫做矩阵,A,的迹，记为,tr,(,A,),tr,(,A,)=,a,11,+,a,22,+,a,nn,.,（3）,f,A,(,x,)的常数项是,f,A,(0)它由在(4)式中,令,x,=0得.即,f,A,(0) |-,A,|=(-1),n,|,A,|.,36,(4)若,1,2, ,n,是,f,A,(,x,)在复数域,C,内的,n,个,根（可能有重根），根据根与系数的关系应有,tr,(,A,),1,+,2,+ +,n,A,1,2,n,就是说，矩阵,A,的迹等于,A,的全部特征根的和，,而,A,的行列式等于它的全部特征根的乘积特征,多项式还有下面重要性质,37,定理6.4.2(,Hamilton,-,Caylay,定理),设,A,是数域,F,上的一个,n,阶矩阵，,而,f,A,(,x,)=,x I,-,A,=,x,n,+,a,1,x,n,-1,+,a,n,-1,x+a,n,是A的特征多项式，则,f,A,(,x,),A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A,+,a,n,I,=0.,证设,B,(,x,)=(,x I,-,A,),*,是,x,I,-,A,的伴随矩阵，,由伴随矩阵的性质有,B,(,x,) (,x I,-,A,)=|,x I,-,A,|,I,=,f,A,(,x,),I,38,因为,B,(,x,)中的元素都是,x I,-,A,中各元素的代,数余子式，它们的次数都是不超过,n,-1的,x,多项,式，由矩阵的运算性质，,B,(,x,)可写成,B,(,x,)=,x,n,-1,B,0,+,x,n,-2,B,1,+,xB,n,-2,+,B,n,-1,其中,B,0,B,1, ,B,n,-1,都是,n,阶数字矩阵于是有,B,(,x,)(,xI,-,A,)=(,x,n,-1,B,0,+,x,n,-2,B,1,+,xB,n,-2,+,B,n,-1,)(,xI,-,A,),=,x,n,B,0,+,x,n,-1,(,B,1,-,B,0,A,)+,x,n,-2,(,B,2,-,B,1,A,)+ ,+,x,(,B,n,-1,-,B,n,-2,A,)- B,n,-1,A,.,（1）,39,f,A,(,x,),I,=,x,n,I,+,a,1,x,n,-1,I,+,a,n,-1,xI,+,a,n,I,. （2）,比较（1）和（2）得,B,1,-,B,0,A,=,a,1,I,即,f,A,(,A,)=0.,B,2,-,B,1,A,=,a,2,I,B,n,-1,-,B,n,-2,A,=,a,n,-1,I,-,B,n,-1,A,=,a,n,I,.,用,A,n,A,n,-1, ,A,I,分别依次从右边乘上面各个等,式再相加可得,0=,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A,+,a,n,I,=,f,A,(,A,) ,B,0,=,I,40,习题6.4,1. 在,V,3,中，,H,是过原点的平面,是把任意向量,变成它在,H,上的正投影的线性变换,指出,的特,征根与特征向量,2. 设是线性空间V的线性变换，,(,)=,0,f,(,x,)=,a,0,x,m,+,1,x,m,-1,+,a,m-,1,x,+,a,m,.,证明：,f,(,)(,)=,f,(,0,)(,).,41,3.设,是数域,F,上线性空间,V,的两个线性变换,且,=,.证明: 若,(,)=,0,0,0,F,，,则,(,) ,求,的特征根和相应的特征向量,( =,V,|,(,)=,0,).,4.设数域,F,上的三维线性空间,V,的一个线性变换,在基,1,2,3,下的矩阵是,42,5.设,R,上的三维线性空间,V,的一个线性变换,在,基,1,2,3,下的矩阵是,求,的特征根与相应的特征向量,6. 求下列矩阵在复数域,C,内的特征根与特征向量：,43,7.设,是,F,上线性空间,V,的一个可逆的线性变换,证明：,1）,的特征根不等于零；,2）若,0,是,的特征根，则,8设,是数域,F,上线性空间,V,的一个线性变换，,且,2,称,为幂等变换证明：,幂等变换的特征根只能是0或1,是,-1,的特征根,44,9.,A,是,n,阶矩阵证明，,A,可逆的充分必要条件,是：,A,的特征根均不为零,10. 证明:,n,阶方阵,A,与它的转置,A,有相同的特,征多形式.,11.设,A,、,B,都是,n,阶方阵.证明：,1）,tr,(,AB,)=,tr,(,BA,) ;,2)若,A,B, 则,tr,(,A,)=,tr,(,B,).,45,