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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X ,型区域,则,若,D,为,Y ,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域 ,为计算方便,可,选择积分序, 必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,计算,其中,D,是直线,y,1, x,2, 及,y,x,所围的闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域, 则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便, 先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X, 型域 :,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当,D,为 R,2,时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换,T, 在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,的原象为,的体积,V,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形:,若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y,互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,交换积分顺序,提示:,积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P95 1,(2), (4),;,2,(3), (4),;,5; 6,(2), (4),;,11,(2), (4),;,13,(3), (4),;,14,(2), (3),;,15,(1), (4),;,*,19,( 1),;,*,20,(2),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,备用题,1.,给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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