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第三章 阶段复习课,一、数系的扩充和复数的概念,1.复数的概念,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i,2,=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C=a+bi|a,bR叫做复数集.,2.复数的分类,(1),(2)集合表示:,3.复数相等的充要条件,a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,dR).,4.复平面,建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.,5.复数的几何意义,(1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,bR);,(2)复数z=a+bi 平面向量 (a,bR).,6.复数的模,向量 的模,r,叫做复数,z=a+bi,的模，记作,|z|,或,|a+bi|,，,即,|z|=|a+bi|=r= (r,0,r,R,，,a,b,R).,【辨析】,复数、复平面内的点、复平面内的向量,任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的,.,二、复数代数形式的四则运算,1.复数的运算,(1)复数的加、减、乘、除运算法则.,设z,1,=a+bi,z,2,=c+di(a,b,c,dR),则,加法,z,1,+ z,2,=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,减法,z,1,- z,2,=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,乘法,z,1,z,2,=(a+bi),(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,除法,(2)对复数运算法则的认识.,复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部.,复数加法法则的合理性:,()当b=0,d=0时，与实数加法法则一致.,()加法交换律和结合律在复数集中仍成立.,()符合向量加法的平行四边形法则.,(3)复数满足的运算律:,复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z,1,，z,2,，z,3,C，有z,1,+z,2,=z,2,+z,1,，(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,).,复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z,1,，z,2,，z,3,C，有z,1,z,2,=z,2,z,1,(z,1,z,2,)z,3,=z,1,(z,2,z,3,),z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,(4),复数加减法的几何意义,.,复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行,(,满足平行四边形、三角形法则,).,复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.,2几个重要的结论,(1)|z,1,+z,2,|,2,+|z,1,-z,2,|,2,=2(|z,1,|,2,+|z,2,|,2,).,(2)z =|z|,2,=| |,2,.,(3)若z为虚数，则|z|,2,z,2,.,(4)i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-i,nN,*,.,3.共轭复数的性质,复数z=a+bi的共轭复数 =a-bi.,(1)z R.,(2) =z.,(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z= 则z是实数.,(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.,4.巧用向量解复数问题,复数的加减运算可转化为向量的加减运算,.,请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧.,一、复数的概念与分类,形如a+bi(a,bR)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.,设z=a+bi(a,bR)，则(1)z是虚数,b0；,(2)z是纯虚数,；,(3)z是实数,b=0.,【例1】(2019无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，mR.,(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；,(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值；,(3)若(1+i)z=1+3i，求|z|.,【解析】,(1)由题意得 m=-1，,当m=-1时， z是纯虚数.,(2)由题意得m,2,+m=-m，解得m=0或m=-2.,(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|, |z|= |z|=,二、复数的四则运算,复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应,实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分,母有理化,要注意,i,2,=-1,，,i,4n+1,=i,，,i,4n+2,=-1,，,i,4n+3,=-i,，,i,4n,=1,，,(1+i),2,=2i,(1-i),2,=-2i, =-i, =i.,【例,2】,计算,:(1),(2),【,解析,】,(1),原式,=,(2),原式,【例,3】,已知复数,z,z,ai(aR),，,当,| |,时，求,a,的取值范围,【,解析,】,z,ai,1,i,ai,1,(a,1)i,a,2,2a,20,，,1,a1,故a的取值范围是1 1 ,三、复数的几何意义及数形结合思想的应用,复数z=a+bi(a,bR)和复平面上的点Z(a,b)一一对应，和,向量 一一对应，复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的,符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的,关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵,活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.,运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出,奇制胜地得到解决.,【例4】已知复数z满足z-3-4i=2，则z的最大值,为_.,【解析】,z-3-4i=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3，4)为圆心，以2为半径的圆，所以z,max,=5+2=7.,答案：,7,【例5】已知z是复数，z+2i， 均为实数 (i为虚数单位)，且,复数(z+ai),2,在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值,范围.,【解析】,设z=x+yi(x,yR)，则z+2i=x+(y+2)i,由题意知 z=4-2i.,(z+ai),2,=4+(a-2)i,2,=(12+4a-a,2,)+8(a-2)i,由已知得,2a6，,实数a的取值范围是(2,6).,四、复数的模与共轭复数,若z=a+bi(a,bR),则 =a-bi称为z的共轭复数，复数的模,与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数,的乘积，即：z =|z|,2,.,【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是( ),(A)z= (B)|z|=z,(C)z,2,为实数 (D)z+ 为实数,【解析】,选B.z= zR；|z|=zzR，反之不行，如z=-2；,z,2,为实数不能推出zR，如z=i；对于任意z，z+ 都是实数.,【例7】已知 z,2,=(x,2,+a)i，对于任意xR，,均有|z,1,|z,2,|成立，试求实数a的取值范围,【解析】,|z,1,|z,2,|，x,4,+x,2,+1(x,2,+a),2,，,(1-2a)x,2,+(1-a,2,)0对xR恒成立,当1-2a=0，即a= 时，不等式成立；,当1-2a0时， -1a,综上，a(-1, ,五、复数中的轨迹问题,通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.,【例8】已知复数z,1,1,且 是纯虚数，复数,求复数z在复平面内对应的点的轨迹.,【解析】,设 =bi(bR,b0),则z,1,= -1，,z= =(1-bi),2,=1-b,2,-2bi.,设z=x+yi(x,yR),得 消去b得，y,2,=-4(x-1)(x1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).,【例9】已知z=t+3+3 i，其中tC，且 为纯虚数,(1)求t的对应点的轨迹；,(2)求|z|的最大值和最小值,【解析】,(1)设t=x+yi(x,yR)，,则, 为纯虚数，, 即,t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，,并除去(-3,0)(3,0)两点.,(2)由t的轨迹可知，|t|=3，,|z-(3+3 i)|=3，圆心对应3+3 i，半径为3，,|z|的最大值为|3+3 i|+3=9，,|z|的最小值为|3+3 i|-3=3,1.(2019浙江高考)已知i是虚数单位,则 =( ),(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i,【解析】,选D.,2.已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z( ),(A)3i (B)3i (C)3i (D)4i,【解析】,选B.令zabi(a，bR)，则a,2,b,2,9,又z3ia(3b)i是纯虚数，,由得a0，b3，z3i，故应选B.,3.复数zxyi(x，yR)满足|z4i|z2|，则2,x,4,y,的最小值为( ),(A)2 (B)4 (C)4 (D)8,【解析】,选C.|z4i|z2|，且zxyi,|x(y4)i|x2yi|,x,2,(y4),2,(x2),2,y,2,x2y3，,2,x,4,y,2,2y3,4,y,8 4,y,4.满足条件|z+i|+|zi|=4的复数z在复平面上对应点的轨,迹是( ),(A)一条直线 (B)两条直线,(C)圆 (D)椭圆,【解析】,选D.复数z在复平面上对应点到定点(0,1)，(0，-1)的距离之和为定值4，故对应点的轨迹是椭圆.,5.(2019东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=3-i，则实数a的值为_.,【解析】,(1+ai)(2+i)=3-i,(2-a)+(2a+1)i=3-i, a=-1.,答案：,-1,6.,已知复数,(x-2)+yi(x,yR),的模为 求 的最大值,【,解析,】,|x-2+yi|=,(x-2),2,+y,2,=3，故(x,y)在以C(2,0)为圆,心， 为半径的圆上， 表示圆上的点,(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率如图，由,平面几何知识，易知 的最大值为,
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