D5_5反常积分审敛法

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数反常积分的审敛法,*,第五节,反常积分,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,一、无穷限反常积分的审敛法,反常积分的审敛法,函数,第,五,章,1,一、无穷限反常积分的审敛法,定理1.,若函数,证:,根据极限收敛准则知,存在 ,2,定理2 .,(比较审敛原理),且对充, 则,证:,不失一般性 ,因此,单调递增有上界函数 ,3,说明:,已知,得下列比较审敛法.,极限存在 ,4,定理3.,(比较审敛法 1),5,例1.,判别反常积分,解:,的收敛性 .,由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .,思考题:,讨论反常积分,的收敛性 .,提示:,当,x,1 时, 利用,可知原积分发散 .,6,定理4,.,(极限审敛法1),则有:,1) 当,2) 当,证:,1),根据极限定义,对取定的,当,x,充,分大时, 必有, 即,满足,7,2) 当,可取,必有,即,注意:,此极限的大小刻画了,8,例2.,判别反常积分,的收敛性 .,解:,根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .,例3.,判别反常积分,的收敛性 .,解:,根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .,9,定理5.,证：,则,而,10,定义.,设反常积分,则称,绝对收敛,;,则称,条件收敛,.,例4.,判断反常积分,的收敛性 .,解:,根据比,较审敛原理知,故由定理5知所,给积分收敛,(绝对收敛) .,11,无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.,二、无界函数反常积分的审敛法,由定义,例如,因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数,的反常积分中来 .,12,定理6.,(比较审敛法 2),定理3,瑕点 ,有,有,利用,有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.,使对一切充分接近,a,的,x,(,x,a,) .,13,定理7.,(极限审敛法2),定理4,则有:,1) 当,2) 当,例5.,判别反常积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .,14,例6.,判定椭圆积分,定理4,敛性 .,解:,由于,的收,根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .,15,类似定理5, 有下列结论:,例7.,判别反常积分,的收敛性 .,解:,称为绝对收敛 .,故对充分小,从而,据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .,则反常积分,16,三、, 函数,1. 定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛 .,令,17,综上所述 ,18,2. 性质,(1) 递推公式,证:,(分部积分),注意到:,19,(2),证:,(3) 余元公式:,(证明略),20,(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用, 函数来计算.,例如,21,内容小结,1.,两类反常积分的,比较审敛法,和,极限审敛法,.,2.,若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课,可通过分项,使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .,3., 函数的定义及性质 .,思考与练习,P268 1,(1), (2), (6), (7),;,5,(1), (2),作业,P268 1,(3), (4), (5), (8) ;,2 ; 3,22,