高中数学必修4课件全册(人教A版)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2024年9月15日,高中数学必修,四,课件全册（人教A版）,任意角的概念,角的度量方法,（角度制与弧度制）,弧长公式与,扇形面积公式,任意角的,三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形,（化简、求值、证明）,三角函数的,图形和性质,正弦型函数的图象,已知三角函数值，求角,知识网络结构,1.,角的概念的推广,（,1,）,正角，负角和零角,.,用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于,0,0,到,360,0,的范围,.,（,3,）,终边相同的角,，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为,.,（,4,）角在,“,到,”,范围内，指,.,（,2,）,象限角和轴线角,.,象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角,.,一、基本概念：,一、任意角的三角函数,1,、,角的概念的推广,正角,负角,o,x,y,的终边,的终边,零角,二、象限角：,注,：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。,三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：,（角度制）,（弧度制）,例,1,、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角,原点,x,轴的非负半轴,一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边,与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。,角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。,1,、终边相同的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。,2,、象限角、象间角与区间角的区别,3,、角的终边落在,“,射线上,”,、,“,直线上,”,及,“,互相垂直的两条直线上,”,的一般表示式,三、终边相同的角,(1),与,角,终边相同的角的集合,:,1.,几类特殊角的表示方法,|,=2,k,+,k,Z,.,(2),象限角、象限界角,(,轴线角,),象限角,第一象限角,:,(2,k,2,k,+,k,Z,),2,第二象限角,:,(2,k,+,2,k,+,k,Z,),2,第三象限角,:,(2,k,+,2,k,+,k,Z,),2,3,第四象限角,:,2,(2,k,+ ,2,k,+2,k,Z,或,2,k,-,2,k,k,Z,),2,3,一、角的基本概念,轴线角,x,轴的非负半轴,:,=,k,360(2,k,)(,k,Z);,x,轴的非正半轴,:,=,k,360+180(2,k,+,)(,k,Z);,y,轴的非负半轴,:,=,k,360+90(2,k,+,)(,k,Z);,2,y,轴的非正半轴,:,=,k,360+270(2,k,+,),或,=,k,360,-,90(2,k,-,)(,k,Z);,2,3,2,x,轴,:,=,k,180(,k,)(,k,Z);,y,轴,:,=,k,180+90(,k,+,)(,k,Z);,2,坐标轴,:,=,k,90( )(,k,Z,).,2,k,例,2,、（,1,）、终边落在,x,轴上的角度集合：,（,2,）、终边落在,y,轴上的角度集合：,（,3,）、终边落在象限平分线上的角度集合：,典型例题,各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的,、,、,、,分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例,1.,若,是第三象限的角，问,/2,是哪个象限的角,?2,是哪个象限的角,?,高考试题精选及分析,C,点评,:,本题先由,所在象限确定,/2,所在象限,再,/2,的余弦符号确定结论,.,例,1,求经过,1,小时,20,分钟时钟的分针所转过的角度：,解：分针所转过的角度,例,2,已知,a,是第二象限角，判断下列各角是第几象限角,（,1,） （,2,）,评析：,在解选择题或填空题时，,如求角所在象限，也可以不讨论,k,的,几种情况，如图所示利用图形来判断,.,四、什么是,1,弧度的角？,长度等于半径长的弧所对的圆心角。,O,A,B,r,r,2r,O,A,B,r,（,3,）,角度与弧度的换算,.,只要记住，就可以方便地进行换算,.,应熟记一些特殊角的度数和弧度数,.,在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制,（,4,）,弧长公式和扇形面积公式,.,度,弧度,0,2,、,角度与弧度的互化,特殊角的角度数与弧度数的对应表,略,解：,例,3,已知角,和,满足求角,的范围,.,解：,例,4,、,已知扇形的周长为定值,100,，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？,扇形面积最大值为,625.,例,7.,已知一扇形中心角是,，所在圆的半径是,R. ,若,60,，,R,10cm,，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积,.,若扇形的周长是一定值,C,(,C,0),，当,为多少弧度时，该扇形的面积有最大值,?,并求出这一最大值,?,指导,:,扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用,.,在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度,.,解：（,1,）设弧长为,l,，弓形面积为,S,弓,。,（,2,）,扇形周长,C=2,R,+,l,=2,R,+,正弦线：,余弦线：,正切线：,（,2,）当角,的终边在,x,轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角,的终边在,y,轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。,2.,正弦线、余弦线、正切线,x,y,O,P,T,M,A,有向线段,MP,有向线段,OM,有向线段,AT,注意：,（,1,）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆,.,在平面直角坐标系中引进,正弦线、余弦线和正切线,三角函数,三角函数线,正弦函数,余弦函数,正切函数,正弦线,MP,正弦、余弦函数的图象,y,x,x,O,-1,P,M,A(1,0),T,sin,=MP,cos,=OM,tan,=AT,注意：,三角函数线是,有向线段,！,余弦线,OM,正切线,AT,P,O,M,P,O,M,P,O,M,P,O,M,MP,为角,的正弦线,OM,为角,的余弦线,为第二象限角时,为第一象限角时,为第三象限角时,为第四象限角时,10,）,函数,y=lg,sinx+,的定义域是（,A,）,（,A,）,x|2k,x,2k+ (k,Z),（,B,）,x|2k,x,2k+ (k,Z),（,C,）,x|2k,x,2k+ (k,Z),（,D,）,x|2k,x,2k+ (k,Z),专题知识,三角函数线的应用,一、三角式的证明,2,、已知：角 为锐角，,试证：,1,、已知：角 为锐角，,试证,：（,1,）,4,、在半径为,r,的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？,答：圆心角为,-2,，面积是,5,、用单位圆证明,sian,tan,.(0,0, 0,0),的图象的对称中心和对称轴方程,2,、函数 的图象（,A0, 0 ),第一种变换,:,图象向左,( ),或,向右,( ),平移 个单位,横坐标伸长,( ),或缩短,( ),到原来的 倍,纵坐标不变,纵坐标伸长,(A1 ),或缩短,( 0A1 ),或缩短,( 0A1 ),到原来的,A,倍,横坐标不变,5,、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：,并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性,例,3,、不通过求值，比较,tan135,0,与,tan138,0,的大小。,解：,90,0,135,0,138,0,270,0,又, y=tanx,在,x,（,90,0,，,270,0,）上是增函数, tan135,0,0,|0 ,0),的图象求其解析式的一般方法：,6,、已知下图是函数 的图象,(1),求 的值；,(2),求函数图象的对称轴方程,.,O,x,2,1,1,2,y,（,2,）函数图象的对称轴方程为,即,设函数,（,1,）求 ；,（,2,）求函数 的单调递增区间；,（,3,）画出函数 在区间,0,，,上的图象,.,图象的一条对称轴是直线,例,3,解析,:,（,1,）,图象的一条对称轴,是,O,y,x,（,2,）,函数 的单调递增区间为,x,y,o,-1,1,x0,（,3,）,5 ),函数,(A0,0),的一个周期内的图象如图，则有,( ),(A),(B),(C),(D),y,x,0,3,- 3,y,x,0,2,-2,- 4,如图：根据函数,y= A sin (,x + ),(A0 ,0),图象求它的解析式,y,x,0,-4,4,如图：根据函数,y = A sin (,x + ),(A0 ,0),图象,求它的解析式,y,x,0,2,-2,如图：根据函数,y = A sin (,x + ),(A0 ,0),图象求它的解析式,y,x,0,1,2,如图：根据函数,y = 2 sin(,x + ),(,0),图象,求它的解析式,y,x,0,1,2,如图：根据函数,y = 2 sin(,x + ),(,0),图象,求它的解析式,y,x,根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：,使符合条件的 的角,x,有且只有一个，而且包括锐角,4.11,已知三角函数值求角,在闭区间 上，符合条件 的角,x,，叫做,实数,a,的反正弦，记作 ，即 ，其中 ，,且 ,的意义：,首先 表示一个角，角的正弦值为,a,，即,角的范围是,4.11,已知三角函数值求角,练习：,（,1,） 表示什么意思？,表示 上正弦值等于 的那个角，即角,，,故,（,2,）若,，则,x,=,（,3,）若,，则,x=,4.11,已知三角函数值求角,的意义：,首先 表示一个角，角的余弦值为,a,，即,角的范围是 ,根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：,使符合条件的 的角,x,有且只有一个，而且包括锐角,y,x,在闭区间 上，符合条件 的角,x,，叫做,实数,a,的反余弦，记作 ，即 ，其中 ，,且 ,4,、已知三角函数值求角,y=sinx,的反函数,y=arcsinx,y=cosx,的反函数,y=arccosx,y=tanx,的反函数,y=arctanx,已知角,x ( ),的三角函数值求,x,的步骤,先确定,x,是第几象限角,若,x,的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若,x,的三角函数,值为负的，求出与其绝对值对应的锐角,根据,x,是第几象限角，求出,x,若,x,为第二象限角，即得,x=,；若,x,为第三象限角，即得,x=,；若,x,为第四象限角，即得,x=,若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。,反三角函数,已知三角函数值求角,已知三角函数值求角,x,（仅限于,0,，,2 ,）的解题步骤：,1,、如果函数值为正数，则求出对应的锐角,x,0,；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角,x,0,；,2,、由函数值的符号决定角,x,可能的象限角；,3,、根据角,x,的可能的象限角得出,0,，,2 ,内对应的角：,如果,x,是第二象限角，那么可以表示为,x,0,如果,x,是第三象限角，那么可以表示为,x,0,如果,x,是第四象限角，那么可以表示为,2,x,0,说明,:,三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视,.,(1),判断角的象限,；,(2),求对应锐角；,如果函数值为正数，则先求出对应的锐角,x,1,；,如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角,x,1,.,(3),求出,(0,，,2,),内对应的角,；,如果它是第二象限角，那么可表示为,x,1,；,如果它是第三或第四象限角，则可表示为,x,1,或,x,1,2,.,(4),求出一般解,利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律,写出结果,.,（三）已知三角函数值求角”的基本步骤,1,、基本步骤,2,、表示角的一种方法,反三角函数法,1,、反正弦：,这时,sin(arcsin,a,)=a,2,、反余弦：,这时,cos(arccos,a,)=a,这时,tan(arctan,a,)=a,3,、反正切：,三、两角和与差的三角函数,1,、预备知识：两点间距离公式,x,y,o,2,、两角和与差的三角函数,注：公式的逆用 及变形的应用,公式变形,3,、倍角公式,二、知识点,（一）,两角和与差公式,（二）倍角,公式,公式,=1-cos,2,2cos2=1+cos,2,1+cos2=2cos,2,1-cos2=2sin,2,tan+tan,=tan(+)(1-tantan),tan-tan,=tan(-)(1+tantan),注意,1,、公式的变形如：,注意,2,、公式成立的条件（使等式两边都有意义）,.,C,：,S,：,C,2,：,S,2,：,T,2,：,T,：,3,、倍角公式,注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别,返回,和角公式的一个重要变形,其 它 公 式,(1),1,、半角公式,2,、万能公式,十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：,注意：,、 的,变形式,以及运用和差公式时要会,拼角,如：,要熟悉公式逆用！,十三、一个化同角同函数名的常用方法：,如：,例,7,、求 的值,十四、二倍角公式：,降幂（扩角）公式,升幂（缩角）公式,和差化积公式：,积化和差公式：,例,4,化简：,解法,1,：从,“,角,”,入手，,“,复角,”,化为,“,单角,”,，利用,“,升幂公式,”,。,例,4,化简：,解法,2,：从,“,幂,”,入手，利用,“,降幂公式,”,。,例,4,化简：,解法,3,：从,“,名,”,入手，,“,异名化同名,”,。,例,4,化简：,解法,4,：从,“,形,”,入手，利用,“,配方法,”,。,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,微观直觉,1,、以变角为主线，注意配凑和转化；,2,、见切割，想化弦；个别情况弦化切；,3,、见和差，想化积；见乘积，化和差；,4,、见分式，想通分，使分母最简；,5,、见平方想降幂，见“,1cos”,想升幂；,6,、见,sin2,，想拆成,2sincos,；,7,、见,sincos,或,9,、见,coscoscos,，先运用,sin+sin=p,cos+cos,=q,8,、见,a sin+b cos,，想化为 的形式,若不行，则化和差,10,、见,cos+cos(+)+cos(+2 ),， 想乘,想两边平方或和差化积,总结：,多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；,asinA+bcosA,提系数转换；,多角凑和差倍半可算；,难的问题隐含要显现；,任意变元可试特值算；,求值问题缩角是关键；,字母问题讨论想优先；,非特殊角问题想特角算；,周期问题化三个一再算；,适时联想联想是关键！,【,解题回顾,】,找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“,四化,”：,多角同角化,异名同名化,切割弦化,特值特角互化,公式体系的推导：,首先利用两点间的距离公式推导,，,然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推导公式体系。,sin,+cos,=1,二【述评,】,1,、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。,2,、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）,寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）,分析综合（由因导果或执果索因）,实现转化。,1,、值域与最值问题,利用有界性,化二次函数型,运用合一变换,换元,十七、,求值域问题,：,主要是将式子化成,同角度同函数名,的形式，再利用正弦,函数与余弦函数的,有界性,求解。,例,10,、求函数 的值域,有时还要运用到 的关系,2,、对称性问题,3,、奇偶性与周期性问题,注意绝对值的影响,化为单一三角函数,4,、单调性与单调区间,复后函数,单调性,注意负号,的处理,5,、图像变换问题,相位变换、周期变换、振幅变换,求函数解析式,例,4:,已知函数,求：,函数的最小正周期；,函数的单增区间；,解：,应用,：化同一个角同一个函数,例,4:,已知函数,求：,函数的最大值 及相应的,x,的值；,函数的图象可以由函数 的图象经过怎 样的变换得到。,解：,图象向左平移 个单位,图象向上平移,2,个单位,应用,：化同一个角同一个函数,例,5,：已知,解：,应用：,化简求值,例,1,化简：,解,:,原式,=,练习题,例,2,(1),已知,求证：,(2),已知,求,(1),证明：,化简得：,(2),已知,求,解,:,解：,应用：化简求值,例,5.,已知,2,、解,:,由,两边平方得,:,2,由,两边平方得,:,2,由,2,+,2,得,:,即,所以,由,2,2,得,:,练习 已知,求,解,:,例,15.,（,06,陕西理,17,）已知函数,f,(,x,),sin(2,x,),2sin,2,(,x,),(,x,R,),（,1,）求函数,f,(,x,),的最小正周期；,（,2,）求使函数,f,(,x,),取最大值的,x,的集合,解：,f,(,x,),sin(2,x,),1,cos2(,x,),sin(2,x,),cos(2,x,),1,2 sin(2,x,),1,函数,f,(,x,),的最小正周期,T,.,使函数,f,(,x,),取最大值的,x,的集合为,x,|,x,=,k,k,Z,5,、已知,f(x)=2sin(x+ )cos(x,+ )+2 cos,2,(x+ )-,。,（,1,）化简,f(x),的解析式；,（,2,）若,0,，求,，使函数,f(x),为偶函数。,（,3,）在（,2,）成立的条件下，求满足,f(x)=1,，,x,-,的,x,的集合。,解：,(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos,2,(x+ )-1,=sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ),(2),当,=,时,f(x),为偶函数。,(3) 2cos2x=1 cos2x= x=,或,x=,2,、已知函数,f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a,(a,R,a,常数,),。,（,1,）求函数,f(x),的最小正周期；,（,2,）若,x,- , ,时，,f(x),的最大值为,1,，求,a,的值。,解：（,1,）,f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a,= sinx+cosx+a,=2sin(x+ )+a,f(x),最小正周期,T=2,（,2,）,x - , ,x+,- , ,f(x),大,=2+a,a=-1,例,3,、求函数 的值域,.,解：,又,-1sinx1,原函数的值域为：,变题：,已知函数 （,a,为常,数，且,a,0,），求该函数的最小值,.,当,-2,0,时，,当 ,-2,时，,3,、,函数,f(x)=1-2a-2acosx-2sin,2,x,的最小值为,g(a)(a,R),：,（,1,）求,g(a),；,（,2,）若,g(a)=,，求,a,及此时,f(x),的最大值,。,解：（,1,）,f(x,)=2(cosx- ),2,-,2,-2a-1,-1,cosx,1,当,-1,1,即,-2,a,2,时,f(x),小,=-,2,-a-1,当,1,即,a2,时,f(x),小,=f(1)=1-4a,当,-1,即,a0,函数,y=-acos2x- asin2x+2a+b,x,0, ,，若函数的值域为,-5,1,，求常数,a,b,的值。,解：,3a+b=1,a=2,b=-5 b=-5,3,、,函数,f(x)=1-2a-2acosx-2sin,2,x,的最小值为,g(a)(a,R),：,（,1,）求,g(a),；,（,2,）若,g(a)=,，求,a,及此时,f(x),的最大值,。,解：（,1,）,f(x,)=2(cosx- ),2,-,2,-2a-1,-1,cosx,1,当,-1,1,即,-2,a,2,时,f(x),小,=-,2,-a-1,当,1,即,a2,时,f(x),小,=f(1)=1-4a,当,-1,即,a-2,时,f(x,),小,=f(-1)=1,（,2,）,a=-1,此时,f(x)=2(cosx+ ),2,+,f(x),大,=5,3,、,函数,f(x)=1-2a-2acosx-2sin,2,x,的最小值为,g(a)(a,R),：,（,1,）求,g(a),；,（,2,）若,g(a)=,，求,a,及此时,f(x),的最大值,。,5,、已知,f(x)=2sin(x+ )cos(x,+ )+2 cos,2,(x+ )-,。,（,1,）化简,f(x),的解析式；,（,2,）若,0,，求,，使函数,f(x),为偶函数。,（,3,）在（,2,）成立的条件下，求满足,f(x)=1,，,x,-,的,x,的集合。,解：,(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos,2,(x+ )-1,=sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ),(2),当,=,时,f(x),为偶函数。,(3) 2cos2x=1 cos2x= x=,或,x=,例,12.,（,2006,年天津文,9,）已知函数,f,(,x,),a,sin,x,b,cos,x,（,a,，,b,为常数，,a,0,，,x,R,）,在,x, 处取得最小值，,则函数,y,f,(,x,),的对称中心坐标是,_,解：由,(,a,b,),化简得,a,b,所以,f,(,x,),a,sin(,x,),，,a,0,从而,f,(,x,),a,sin,x,，,其对称中心坐标为,(,k,，,0),，,k,Z,.,平 面 向 量 复 习,向量的三种表示,表示,运算,向量加,法与减法,向量的相关概念,实数与,向量 的积,三 角 形 法 则,平行四边形法则,向量平行、,垂直的条件,平面向量,的基本定理,平,面,向,量,向量的数量积,向量的应用,几何表示,:,有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,:,(,x,，,y,),若,A(x,1,y,1,), B(x,2,y,2,),则,AB =,(x,2,x,1, y,2,y,1,),返回,1.,向量的概念,:,2.,向量的表示,:,3.,零向量,:,4.,单位向量,:,5.,平行向量,:,6.,相等向量,:,7.,共线向量,:,既有大小又有方向的量,1.,有向线段,2.,字母,3.,有向线段起点和终点字母,长度为零的向量,(,零向量与任意向量都平行,长度为,1,个单位的向量,1.,方向相同或相反的非零向量,2.,零向量与任一向量平行,长度相等且方向相同的向量,平行向量就是共线向量,向量的模（长度）,1.,设,a,= ( x, y ),则,2.,若表示向量,a,的起点和终点的坐标分别,为,A,(x,1,y,1,),、,B (x,2,y,2,),，则,返回,例,1,：思考下列问题,：,1,、下列命题正确的是,（,1,）共线向量都相等,（,2,）单位向量都相等,（,3,）平行向量不一定是共线向量,（,4,）零向量与任一向量平行,四、例题,一、第一层次,知识回顾,：,1.,向量的加法运算,O,A,B,三角形法则,O,A,B,C,平行四边形法则,坐标运算,设： 则,“,首尾相接首尾连”,2.,向量的减法运算,1,）,减法法则,：,O,A,B,2,）,坐标运算,设： 则,设,则,思考：,若 非零向量 ，,则它们的模相等且方向相同。,同样 若：,“,同始点尾尾相接,指向被减向量”,一、第一层次,知识回顾,：,1.,向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算,:,则,a + b =,重要结论：,AB+BC+CA=,0,设,a = (x,1, y,1,), b = (x,2, y,2,),( x,1,+ x,2, y,1,+ y,2,),AC,OC,例题：,实数,与向量,a,的积,定义,：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a,是一个,向量,.,它的,长度,|,a,| =,|,| |,a,|,；,它的,方向,(1),当,0,时,a,的方向,与,a,方向,相同,；,(2),当,0,时,a,的方向,与,a,方向,相反,.,若,a,= (x, y),则,a,=,(x, y),=,(,x,y),返回,平面向量的数量积,（,1,）,a,与,b,的夹角,：,（,2,）向量夹角的范围,：,（,3,）向量垂直,：,0,0,，,180,0,a,b,共同的起点,a,O,A,B,b,O,A,B,O,A,B,O,A,B,O,A,B,（,4,）两个非零向量的数量积：,规定：,零向量与任一向量的数量积为,0,a b = |a| |b|,cos,几何意义：,数量积,a b,等于,a,的长度,|a|,与,b,在,a,的方向上的投影,|b|,cos,的乘积,。,A,a,b,B,B,1,O,B,A,b,B,1,a,O,B,b,(B,1,),A,a,O,若,a=( x,1, y,1,), b=( x,2, y,2,),则,a,b=,x,1,x,2,+ y,1,y,2,5,、数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,返回,3.,平面向量的数量积的性质,(1),a,b,ab,0,(2),ab,|a|b|(a,与,b,同向取正，反向取负,),(3),aa,|a|,2,或,|a|,aa,(4) (5),|ab|a|b|,4.,平面向量的数量积的坐标表示,(1),设,a,(x,1,，,y,1,),，,b,(x,2,，,y,2,),，,则,ab,x,1,x,2,+y,1,y,2,，,|a|,2,x,2,1,+y,2,1,，,|a|,x,2,1,+y,2,1,，,a,b,x,1,x,2,+y,1,y,2,0,(2),(3),设,a,起点,(x,1,，,y,1,),终点,(x,2,，,y,2,),则,5,、重要定理和公式：,设,则,设两点,则,设,则,设非零向量,则,二、平面向量之间关系,向量平行,