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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第四节直线与圆、圆与圆的位置关系,(1)三种位置关系:,相交,、,相切,、,相离,.,(2)两种研究方法:,教材研读,设圆,O,1,:(,x,-,a,1,),2,+(,y,-,b,1,),2,=,(,r,1,0),圆,O,2,:(,x,-,a,2,),2,+(,y,-,b,2,),2,=,(,r,2,0).,方法,位置关系,几何法:圆心距,d,与,r,1,r,2,的关系,代数法:联立两圆方程,组成方程组的解的情况,外离,d,r,1,+,r,2,无解,外切,d,=,r,1,+,r,2,一组实数解,相交,|,r,1,-,r,2,|,d,r,1,+,r,2,两组不同的实数解,内切,d,=|,r,1,-,r,2,| (,r,1,r,2,),一组实数解,内含,0,d,|,r,1,-,r,2,| (,r,1,r,2,),无解,x,-,y,+1=0与圆(,x,+1),2,+,y,2,=1的位置关系是,(),答案,B依题意知圆心为(-1,0),到直线,x,-,y,+1=0的距离,d,=,=0,所以直线过圆心.,2,.,圆,O,1,:,x,2,+,y,2,-2,x,=0和圆,O,2,:,x,2,+,y,2,-4,y,=0的位置关系是,(),答案B圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=22,|O1O2|=,|2-1|O1O2|2+1,两圆相交.应选B.,的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为(),A.B.2C.,答案D直线的方程为y=x,圆心为(0,2),半径r,离公式得弦心距等于1,从而所求弦长等于2=2.应选D.,4.(2021重庆,12,5分)假设点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,那么该圆在点P处的切线方程为.,答案x+2y-5=0,解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.,设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),那么=(x-1,y-2).由,(O为坐标原点),得=0,即1(x-1)+2(y-2)=0,亦即x+2y-5=0,所求切线方程为x+2y-5=0.,方法技巧,(1)判断直线与圆的位置关系时,假设两方程或圆心到直线的距离易表达,那么用几何法;假设方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,那么用代数法.(2)直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.,1-1在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.,答案(x-1)2+y2=2,解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,考点二圆的切线、弦长问题,典例2(1)(2021山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,那么反射光线所在直线的斜率为(),或-或-,或-或-,(2)(2021课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,假设|AB|=2,那么圆C的面积为.,答案(1)D(2)4,解析(1)由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.,反射光线所在直线与圆相切,=1,解得k=-或k=-.,(2)把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,那么圆心为(0,a),半径r=.圆心到,直线x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,那么r2,=4,所以圆的面积S=r2=4.,方法技巧,(1)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.假设点在圆上(即为切点),那么过该点的切线只有一条;假设点在圆外,那么过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.,(2)求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.,2-1(1)(2021重庆,8,5分)直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,那么|AB|=(),(2)圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,那么过圆心且与直线l垂直的直线的方程为.,答案,(1)C(2),x,+,y,-3=0,解析(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=6.应选C.,(2)由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),那么由题意知+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以,a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.,考点三圆与圆的位置关系,典例3两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.,(1)求证:圆C1和圆C2相交;,(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.,解析(1)证明:圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,|r1-r2|dr1+r,2,圆C1和C2相交.,(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.,圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离=3,故公共弦长为2,=2.,规律总结,常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判,断,一般不用代数法.,2.两圆相交时,公共弦所在直线方程的求法,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,假设两圆相交,那么有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.,方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.,求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距,d,半弦长,半径,r,构成直角三,角形,利用勾股定理求解,.,3-1(2021山西太原模拟)假设圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,那么m=(),答案C圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m0)的公共弦长为2,那么a=,.,答案1,解析两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y=,如图,由已,知得|AC|=,|OA|=2,|OC|=1,a=1.,
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