初中数学—中考数学复习之解题模型大全课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,初中数学演义,数学中考考点全覆盖,+,初中数学解题模型大揭密,2024/9/15,目录,总体结构，思路，理念及方法,有理数及运算,实数及运算,整式及加减,整式的乘除,因式分解,分式及分式方程,一元一次方程,二元一次方程组,应用题题型汇总,不等式及应用,几何图形,+,立体图形,三角形,全等三角形,三角形及证明,勾股定理,平移与旋转,特殊的四边形,一元二次方程,图形的相似,视图与投影,位置与坐标,函数及图象,一次函数,反比例函数,解直角三角形,二次函数,动态问题破解口诀,圆,统计与概率,立体通关教学法简介,包头中考六道大题破解口诀,初中数学通关口诀,代数抓精髓；代入是关键。 代数一般式；两得全搞定。,算功过三关；解功四门槛。 方程辨两类；函数识三型。,函数三姐妹；勾股三用途。 系数不为零；指数要相吻。,非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 统计要通关；两查走在前。,几何要通透；精髓是特殊。 四图加一表；数据整理好。,重点特殊图；识图定性判。 数据分析透；三差加三数。,两图谈感情；特殊关系联。 概率也不难；频率能估算。,全等加相似；对称与旋转。 列表和树型；搞清总和分。,平移与投影；位似也要算。 鱼池鱼几多；应用记概型。,考点说举做；做题改变找。 动点巧分类；最短牛喝水。,条件挖隐含；分类不漏点。 找准临界点；相似巧破题。,思路技巧精；反思记模型。 代数两特殊；首先特殊数。,应用均同宗；关系是根本。 数数拉关系；方不与函数。,元量同回代；运算有六种。,关系大小等；再加倍比分。,每每有热点；负元巧应用。,算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。,解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。,勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。,戏说初中数学,三国演义,代数,几何,统概,数与式,方程与不等式,函数及其图象,图形基础、三角形及图形的全等变换,多边形及四边形,相似、视图、投影和解直角三角形,圆,统计与概率,八仙过海,难题突破,突破方向的确定,三句话：基本图形,经验积累,模式识别,九个字：改条件,变结论,找接口,学数学首先必须掌握的基本功,三种语言：,自然语言；符号语言；图形语言。,三类符号：,运算符号；关系符号；推理符号。,六种运算：,加；减；乘；除；乘方；开方,+,锐角三角函数。,两解一分：,解方程；解不等式；分解因式。,两句口诀：,算功不过关；一切都枉然。解功不过关，高分是空谈。,戏说数学之,代数,分式方程（可化为一元一次方程）,死数（实数）,活数（含有字母的数）,代数式（定义）,有理式,无理式,整式,分式,单项式,多项式,特,殊数,数与数之间,的特殊关系,相等关系：等式及方程,不等关系：不等式（组）,全部关系：函数与图象,整式方程,一元（一次；二次）,二元（一次方程组）,按照数的性质为代数式分类,代数式,死数（实数）,活数（含字母的数）,永正数：非负数,+,正数,非负数：平；绝；根,永负数：（非负数,+,正数）,条件活数（川剧变脸）,戏说数学之,几何,基本图形（点、线、面、空）,特殊图形（三、四、多、圆）,特殊图形,三角形,性质,（直角等腰）,（平矩菱正）,特,殊图,图与图之间,的特殊关系,全等关系,相似关系,变换关系,定义,四边形,判定,定义,性质,判定,对称,兴致,平移,位似,投影,视图,多边形与圆（正、圆）,普通图形（丑）,特殊图形（美）,（整容）,学习几何要过三关,画图关：按照题意画图形。,语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。,推理关：证明，推理的能力和步骤。,数学怎么学,说（说得出）,举（会举例）,做（能做题）,例：以有理数；绝对值；代数式；整式；分式；多项式的次数为例。,初中数学精髓,几何：两个字概括,特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。,代数：两个字概括,代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。,几何三大方法：全等、相似、勾股定理。,辅助线的认识,对内分割,对外补形,压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。,中学数学常用到的五种思想,十六种方法,五种解题思想：,1,整体思想；,2.,化归思想；,3.,方程思想；,4.,数形结合思想；,5.,函数思想；文字语言转化为符号、图形语言的思想。,十六种解题方法：,1,、配方法；,2,、因式分解法；,3,、换元法 ；,4,、判别式法与韦达定理 ；,5,、待定系数法；,6,、构造法；,7,、反证法 ；,8,、面积法 ；,9,、几何变换法（平移；旋转；对称；翻折）；,10,、客观性题的解题方法（直接推演法；验证法；特殊元素法,-,取特值法；排除、筛选法；分析法）,;11,、倒数法；,12,、割补法；,3,、拆项法；,14,、借来还去法,15,、因果对应法；,16,、恒等变形法,-,。,压轴题基本模型,相似存在掉包计；是否垂直化相似。,直角存在还勾股；角若相等想弦切。,线段最短牛喝水；三平交点定平四。,等腰风水轮流转；两线合一也等腰。,重点章节知识结构演义,根号中不能有开出去的因式（数）,-,根号中无有分母；分母中无根号,-,根号中不能有小数（变分数处理）,-,运算,加减：先化后算；乘除：先算后化。,三个重要公式,若,x,2,=a,则,x=a(,用来解方程）。,(a ),2,=a (a0),(a,2,),2,= IaI,(,需分类讨论,).,特别注意公式,2,、,3,的区别：,先开后平就自己；先平后开加绝对。,IAI=,a-b,的相反数是,b-a,；,a+b,的相反数是,- a-b,A,（,A0,）,A,（,A,0,）,数形结合判正负,非负数总结,定义：,0,和正数（没有负数的事！）,形式：,|A|,；,A,2,；,A,。,性质：,和为零，每个加数必为零。,与正数的和为正数。,有最小值，最小值为零。,与相反数、倒数、绝对值、数轴共同成为认识和数的五大基本概念。,特别记忆,非负三兄弟,|A|,；,B,2,；,C,蜕皮两魔鬼,|A|,；,B,2,科学记数法通关口诀,万四亿八现原形；大正小负要记清。,点动几位幂为几；有效数字不能混。,模型解题,拆项法。,高斯算法。,设参倍乘倒序相加法。,等差数列梯形法。,【典例,1,】,一种特殊的解题技巧。,求,1+2+2,2,+2,3,+-+2,2014,可以这样做：,令,S= 1+,2+2,2,+2,3,+-+2,2014,两边同乘,2,得：,2S=,2+2,2,+2,3,+2,4,+-+2,2014,+2,2015,因此：,2S-S=2,2015,-1,仿照以上推理，计算：,1+5+5,2,+5,3,+-+5,2014,=,（ ）。,等比数列（略）,等差数列（略）,斐波拉契数列：前两项的积等于第三项。,阶差数列：相邻两数的差为：,1,、,2,、,3,、,4,、,5-,（依次大,1,）。,隔位找规律。,非线性规律：平方乘一个数再加一个数。（二次函数）,其它规律,找规律,标序号（注意每个数与序号的关系）,按照数的性质为代数式分类,代数式,死数（实数）,活数（含字母的数）,永正数：非负数,+,正数,非负数：平；绝；根,永负数：（非负数,+,正数）,条件活数（川剧变脸）,去括号的特殊应用,注意：,(a+b,),与,a-b,互为相反数,;,(a - b),与,b a,互为相反数。,复习：,绝对值的概念和化简。,IaI,=,掌握：,Ia-bI,和,Ia+bI,类的讨论与化简。,确定“狗笼”里是什么狗（正数还是负数）。,好狗（正能量）直接放出，恶狗（负能量）要带铁链。,a (a0,夏天热，出门不用加衣,),a (a,0,冬天冷，出门加衣,),【例,5,】,如图是有理数,a,b,在数轴上的位置，化简,Ia+bI-Ib-aI+Ia-1I+Ia+1I,0,1,-1,-2,2,a,b,整式的乘除知识点记忆口诀,八个公式（幂六乘二）,五个法则（三乘两除）,一种计数（科学计数法表示较小的数）,一个活用（公式正用逆用）,五种思想（整体的思想；数形结合的思,想；化归的思想；类比、推,理、归纳的思想；方程的思想）,一座桥梁（数与代数的桥梁：字母表示数,),幂,的,运,算,法则,性质,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,商的乘方,幂的乘方,零指数幂,负整数指数幂（三种算法）,特别提升,(a+b),2,=a,2,+b,2,+2ab,应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。,(a- b),2,=a,2,+b,2,- 2ab,应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。,小结：两数和、两数的差、两数平方的和、两数的乘积，知二求二。,可以让学生自己出题加深理解记忆。,活用公式之总结,a,2,-b,2,=(a+b)(a-b,),a,2,+b,2,=(a+b),2,-2ab=(a-b),2,+2ab,(a+b),2,-(a-b),2,=4ab,(a+b),2,+(a-b),2,=2(a,2,+b,2,),X,2,+1/x,2,=(x+1/x),2,-2 =(x-1/x),2,+2,因式分解,定义,与乘法的关系,工具性（约分；通分；解方程）,方法：一提二套三十字四分组,分式的乘除混合运算,(,含乘方,),顺序,:,先计算乘方，再计算乘除。同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号熏算括号,除法运算统一为乘法运算。（见除先变乘）。,运算结果要化为最简分式。分子分母按照某一字母降幂排列。,分子分母遇到多项式一般要先分解因式，变为乘积的形式后约分。,乘除法：确定符号的法则与分数乘法相同。,分式的乘方：把分子分母各自乘方即可。,分式的混合运算,顺序：括号,乘方、开方,乘法、除法,加法、减法,最简结果。,正确运用法则，灵活运用运算律。,避免出错：一步一回头。,一定顺序二开算，能简便的就简便；遇负不忘加括号，遇除一定先变乘；整式分母看作,1,，结果一定要最简。,结果中的分母和分子可以是和差的形式也可以是乘积的形式，根据情况灵活掌握。,代数式求值的思路,把字母的取值直接代入。,把条件化简或者改造。,把所给的代数式化简或变形。,同时改造条件和所给代数式。,整体代入法。,例题：典例,5-,特别提升,分式方程的概念,复习：整式方程（组）：以元和次命名。,分式方程：分母中含有未知数的方程叫之。,方程分类,方程,有理方程,无理方程,其它方程,整式方程,分式方程,只有整式方,程才有次数,分式方程的解法,基本思路：分式方程 整式方程,步骤（,一去二解三验四写,）：,整理,-,去分母,-,整式方程,解整式方程,检验（必须的步骤）,写结论,验根的方法：把解整式方程所得到的解代入公分母中，如果使公分母为,0,，这个根为原方程的增根，若使公分母的值不为,0,，则这个根为原来方程的根。,（去分母）,分式方程的增根,增根的意义：分式方程通过去分母变为整式方程，未知数的取值范围扩大，如果解整式方程得到的根恰巧是使原来的分式方程分母为,0,的值，则这个根显然不是原方程的根。这样的根叫做原方程的增根。,解分式方程验根是必须的步骤。增根的产生并不是因为运算错误。,是整式方程的根,使公分母为,0,的未知数的值,),利用增根的概念,确定方程中字母系数的值,.,3.,增根,特别提升,分式方程无解,去分母后的整式方程无解,去分母后的整式方程的解是原方程的增根,【典例,2,】已知关于,x,的分式方程,A-1,且,a-2,【典例,3,】已知关于,x,的方程,-1,或,-5/3,【典例,4,】,若关于,x,的方程,有增根，试求,k,的值。,瑞星,教育,数学,思维,导图,二,者,关,系,解方程注意,去分母时小心漏乘,去分母小心丢括号,去括号时注意负号,分数与等式性质混,列方程解应用题,思路：试设元,-,回头看,-,找关系,-,列方程（别把未知数不当数）。,注意单位的统一和隐含的条件,初中,要学,习的,方程,列方程解应用题,思路：试设元,-,回头看,-,找关系,-,列方程。,步骤：审,-,设,-,列,-,解,-,验,-,答。,记住：未知数也是数，别把未知数不当数。,方法清单：,直接设元；间接设元；设辅助未知数（或把某个总量看作整体,1,）；巧设比例份数为未知数（一份为,x,）,负元法（减元法）,（看似多设一元，实则减一少一元）；整体设元 （求,6,位数,已知个位数字为,7,，则可设左边五位数为,x,，则,10 x +7,为此六位数）。,如何找等量关系,抓关键词,同一个量从不同角度描述,利用公式,抓不变量,瑞星教育数,学思维导图,解的应用,解应用题,思路：试设元,-,回头看,-,找关系,-,列方程（别把未知数不当数）,有一个或者两个未知数的方程；三个方程有三个未知数,盘点设未知数的五大技巧,一,.,直接设元,.,二,.,间接试元,.,三,.,设辅助未知数,(,或整体,1).,四,.,设比例份数为未知数,(,负元法,).,五,.,整体设未知数,.,是交点横坐标,（变量互求）,互相利用,函数利,用方程,你中有我既有联系,我中有你又有区别,方程与函数 关系示意图,方程组,方程,方程,一次,函数,函数,函数,直线,直线,方程组的解（,x,，,y),函数图象交点坐标（,x,，,y,）,方程组的解（,x,，,y,）,函数图象交点坐标（,x,，,y,）,（,x,，,y,）,函数图象的交点,满足函数表达式,满足对应方程组,方程的解满足函,数表达式是对应,图象交点的坐标,平面直角坐标系和图象是桥梁：图象既能代表方程也能代表函数！,小结（理解）,函数（图象）可以解方程（不等式）,方程为函数提供计算、求值、分析服务。,函数都可以看做方程；方程只有化做特定的形式后才能看做方程。,函数和方程的共同祖先是代数式。函数全面研究和反应含有一个未知数的代数式的变化情况，与之相比：方程，不等式又都是函数的特例。,方法清单,一、直接设元,二、间接设元,三、设辅助未,知数（或,者整体,1,）,四、设比例份,数为未知,数（,1,份）,五、整体设元,不等式,三个定义,不等式,一元一次不等式,一元一次不等式组,三个概念,不等式的解,不等式的解集,不等式的特解,三个性质：加减；乘除正数；乘除负数。,两种解法：一元一次不等式的解法；不等式组的解法。,一种思想：数形结合的思想,一个关系：与一次函数及方程的关系,一元一次不等式与一个函数,一元一次不等式与两个函数,不等式与组与函数的自变量,两个判断：有解；无解定参数。,综合应用,不等式,不等式,不等式的一个解,不等式的解集,不等式的性质,一元一次不等式及解法,不等式组的解法（含混合不等式）,不等式的应用（无解有解定参数）,不等式（组）、函数、与方程（组）。,不等式解集总结,补充提升,不等式,|x|,a,和,|x|,a,的解：,|x|,a a,0,全体实数；,a,则,x,a,或,x,-a,|x|,a a,0,无解；,a,则,-a,x,a,数轴表示（几何意义）：,a,0,-a,a,|x|,a,|x|,a,|x|,a,正方体的表面,展开图,十一种类型汇总,记忆口诀,中四连，帽子任戴鞋任穿（,1-4-1,）,中三连，歪带帽子鞋任穿（,2-3-1,）,三二相连边对边（,2-2-2,）,三三相连边对边（,3-3,）,总面六个不能少，凹字田字不能有。,复习整理,三角形,概念：边；角；顶点,三角形的表示法（直角三角形的表示法）,三角形角的关系（直角三角形两锐角的关系）,三角形三边的关系,三角形的分类,三角形中的三种线段,三角形的分类,按角分,按边分,先定标准后分类。等边三角形是特殊的等腰,锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形,直角三角形：有一个内角是直角的三角形,钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形,不等边三角形：三边都不相等的三角形,等腰三角形,腰和底边不相等：两等一不等,等边三角形：三边都相等的三角形,三角形中的“三线”及性质,高（垂心）：由高产生的相似及等比与点积。,中线（重心）：,1,：,2,或者,1/2,与,2/3,的关系。,角平分线（内心）：两边的比,=,角平分线分对边所成的两线段的比。,高,中线,角平分线,自造公式,角平分线交角的计算：,BD,与,CD,是角平分线，则,ADC=90+,A,如图：,AD,是角平分线，,AE,是高，则：,DAE=,（,C- B,）,大,-,小,A,B,C,D,1,2,B,A,C,D,E,1,2,内角与邻角外角平分线的交角等于第三角的一半！,技巧拓展：,若,D,是,ABC,的一条中线，则,ABD,与,ACD,的面积相等。,拓展：,ABD,与,ACD,面积的比等于,BD,与,DC,的比。,中考综合题中常常是解决问题的突破点,高等，底之比等于面积比；底等，高之比等于面积比。,A,B,C,D,等边三角形面积的求法,复习整理,全等图形,全等三角形的概念及表示,全等三角形的性质,全等三角形的用途,对应元素的确定,复习整理,证明三角,形的全等,知两边,知两角,知角边,再找一边相等，用,SSS,再找夹角相等，用,SAS,再找夹边相等，用,ASA,再找对边相等，用,AAS,找条件向上两方向发展,角相等,线段等,【创造条件证全等,】,八个渠道：,公共边或公共角；同角的余补角；对顶角；内错角 或同位角；等量加等量和相等；等量加等量差相等；等量的同倍同分量相等；全等,最后一招：,添加辅助线构造全等三角形。,全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：,平移全等型,平移全等型,对称全等型,旋转全等型,全等,三角,形的,三类,九种,基本,类型,（,4,）翻折全等型,注意共角与共边三角形。,截长补段证明线段的和倍分问题,全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：,平移全等型,平移全等型,对称全等型,旋转全等型,全等,三角,形的,三类,九种,基本,类型,（,4,）翻折全等型,数学微博,求三角形面积技巧,A,B,C,E,X,Y,M,N,O,1.,三角形面积等于,AE,与,MN,乘积,的一半,(,三线平行且都垂直于,MN,或者,X,轴,)!,2.,若知道三角形三边的坐标,可以,用这种模式求三角形的面积,.,关,键是求,AE,的长度,先求,BC,的关,系式,再求,E,点的坐标,然后求,A,E,的长度,-,特别提升一,重要模型,A,B,C,D,E,F,G,ABD,与,BCE,为等边三角形，则：,ABEDBC,；,BGCBFE,BFG,为等边三角形,两对全等三个等边！,特别提升二,A,B,C,D,E,P,任意,ABC,，,ABD,与,BCE,为等边三角形。则：,AE=DC,，,DPA= EPC=60 CPA =,DPE=120,特别提示,勾股定理的应用,三边的长度：知二求一（,开方式,）。,利用勾股定理列方程解决问题（,平方式,）。,知道两条直角边求斜边上的高（,等积法,）。,构造直角三角形通过上述方法解决问题。,折叠问题解题思路,设：设恰当的未知数。折叠中的某边。,表：用含未知数的代数式表示未知的边。,找：找一个直角三角形（三边可表或可求）,列：用勾股定理的“平方式”列方程。,解：解方程并检验。,答：写出答案。,特别拓展,锐角三角形中两边平方的和大于第三边。,钝角三角形中钝角的两边平方的和小于钝角的对边的平方。,要会证明（做高证明）,勾股定理三情形：,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,c,2,a,2,+b,2,c,2,特别记忆,若过直角三角形两锐角顶点的中线长分别为,m,和,n,，则此直角三角形斜边的长为（如图所示）：,直角三角形快速切换求边法（强化训练,熟练掌握）,用比值法,抓住已知,准确判断,快速求值,1,1,1,2,3,4,5,1,2,1,3,5,12,13,2,3,5,10,用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边）,勾股定理的应用,直角三角形的判定：一角为直角；两锐角互余：两边平方和等于第三边平方。,直角三角形的性质：锐角互余；两边平方的和等于第三边；斜边上的到等于两直角边的乘积除以斜边。,方程的思想帮助解决问题；辅助线构造直角三角形；直接用平方的形式构建方程：,若：,a,2,=b,2,+c,2,d,2,=e,2,+f,2,a=d,则,b,2,+c,2,=e,2,+f,2,距离问题；航海问题；证明垂直；折叠问题；侧面展开问题；测量距离问题,-,。,三个基本问题,蚂蚁立体对角吃东西路最近,立体插杆怎么最长,梯子滑动问题,长方体蚂蚁对角爬,吃东西求最短路程,a,、,b,、,c,为长宽高,计算比较判断求之,牢记：最大边平方与另外,两边和的平方之和的算术,平方根最短,勾股定理产生的最长与最短问题,最长问题：,长方体对角点距离最长：长，宽，高平方和的算术平方根。,圆柱体放置最长筷子：直径与高的平方和的算术平方根。,最短线路：,长方体对角觅食：线路三条，最短的为长宽高（中最大者的平方,+,另外两边和的平方）的算术平方根。,圆的对角觅食：圆周长的一半与高的平方和的算术平方根。（圆柱中间觅食：公式中高按实际高度计算）,长方体某顶点到对棱某点觅食：（长与宽和的平方,+,高的平方）的算术平方根。,用线绕圈最短问题：（圆周长的平方,+,高除以间隔数的平方）的算术平方根，乘圈数。,勾股定理的三大功能,求边长（知二求一）,开方式。,列方程（求未知数）,平方式。,证直角（证明垂直）,平方式。,本章重点培养的思想和方法,方程的思想,数型结合的思想,等积的思想（求斜高）,分类讨论的思想（知任两边求另外一边）,折叠和展开的思路（图形折叠；蚂蚁走路）,定理和逆定理的理解记忆和应用,动点的思想（同一点出发，一向北一向南，一个速度为,3,，一个速度为,4,，几分钟后相距,20,？,图形变换,全等变换,相似变换,（形状不变大小变）,图形的缩放（宝塔；酒盅,-,）,对称,旋转,平移,翻折,形状大小都不变,两次翻折,=,一次平移,位似,投影,反射,平移的概念,图形变换：平移；旋转；对称；翻折；相似。,定义：在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。,确定平移的两要素：,方向,和,距离,。,平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。,相关概念：平移前后能相互重合的点、线段、角分别称为,对应点、对应线段、对应角,。,对应点之间的连线（都平行）为平移的方向。,平移是产生全等图形的一个途径。,平移动的特征,实质：图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。,平移前后图形的形状、大小完全相同（全等）,连接对应点的线段平行（,或在同一条直线上,）且相等。对应线段平行（,或在同一条直线上,）且相等。对应角相等。（,沿某一边方向移动,）,重要的关键词：平行且相等。方向、距离。,两种情形：方向与,一边相同；方向不,与任何一边相同。,平移作图,理论依据：平移的特征。（方向，距离！）,步骤：,一找,（拐点）；,二连,（一对已知的对应点）；,三定,（距离、方向）；,四作,（其它拐点的对应点）；,五连,（按照原图顺序连接所有拐点的对应点）。,作其它拐点的对应点：按照第二步中确定的方向和距离，作出其它拐点的对应点（平行、相等、同向）。,平移作图法不唯一，在格纸上也可,象例,2,那样利用格纸找平移的规律然后作图。（多次平移动）,坐标法,。,点平移,线段平移,图形平移的关系。,旋转的概念,定义：平面内，将一个图形绕一个定点按某一方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；运动的角称为旋转角。,确定旋转的要素：一心；一角；一方向。,旋转中心的位置：图内、图上、图外都可。,对应元素：对应点、对应线段、对应角。,旋转角：任意一对对应点与旋转中心连续所成的角是旋转脚（都相等）。,本质：图上每个点都同时按照相同的方向绕旋转中心旋转了相同的角度。,旋转的基本特征,旋转不改变图形的形状和大小，只改变其位置。旋转前后两图形全等。,基本特征：,经旋转，图上每一等都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度。对应点的排列次序相同。,对应点到旋转中心的距离相等；任一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。,对应线段相等，对应角相等。,全等。,注意：旋转的范围是在同一平面内。否则可能旋转为立体图形。,旋转作图,理论依据：旋转的特征。,步骤：,一定：定心、定方向、定旋转角。,二找：找拐点，,三转：每个拐点与旋转中心相连接，按照旋转方和旋转角绕旋转中心旋转，得到对应点。,四连：按照原图的的次序连接这些对应点，得到所作的图形。,按照：旋转点,旋转线段,旋转图形，分析、理解、消化、记忆。,中心对称与中心对称图,中心对称：把一个图形绕某一点旋转,180,度，它能够与另一个图形重合，那么，就说这两个图形关于这个点对称（中心对称）。,中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转,180,度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。,中心对称是旋转的特例，所以具有旋转的一切特征。不同的是旋转角固定为,180,度。,中心对称：两个图；中心对称图形：一个图,三角形的中位线,定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。,数量：任一三角形都有三条中位线，且这三条中位线组成一个“中位线三角形”。,定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（位置关系和长度关系）。,两边中点 中位线,用途：证明平行或线段的倍、分、比关系。,中位线三角形周长等于原三角形周长的一半。,顺次连接任意四边形四边的中点构成一个平行四边形。,位置：平行第三边,长度：等于第三边的一半,特别提升,三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的,1/4,。,三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的,1/4,。,三角形三边中点的连线把原三角形分为四个面积相等的小三角形。,特别提升,三角形与平行四边形,已知一点，过该点可以作无数个平行四边形。,已知两点，过两点可以做无数个平行四边形。,已知不共线的三点，过三点可以作,三个,平行四边形。且如,图所示的小三角形,的顶点是大三角形,三边的中点，,动点问题模型,B,B,C,A,A,C,D,D,一垂两等变等腰：作,ADBC,，若,BD=DC,，,则,ABC,为等腰三角形。即：,AB=AC,！,可以用来解决平行四边形变为菱形的问题！,一垂三等变等腰直角三角形：作,ADBC,，若,BD=DC=AD,，则,ABC,为等腰直角三角形。,可以用来解决平行四边形变为正方形的问题！,数学模型,已知不共线的三点的坐标为,E(1,2)F(3,8),G(-5,6),是否存在一点,M,使,E,、,F,、,G,、,M,为顶点组成一个平行四边形？如果存在，请求出,M,点的坐标。如果不存在，请说明理由,。,F,E,G,如图所式模式：三平（三条过三角形顶点且分别平行对边的绿线）交三点，三点为所求。先求,EFG,组成的三角形三边,的关系式，根据平行则斜率,K,相等得到,三条平行线（绿线）的,K,值，再根据其,穿过的顶点,E,、,F,、,G,的坐标求三条绿线,的关系式。最后求绿线的三个交点坐标,平行四边形,菱形,矩形,正方形,任意四边形,梯形,从,边、角、对角线,三方面说出它们之间的转化条件,（一角是直角且邻边相等）,（对角线相等且垂直）,试一试，自己补充完整：,模型解题,A,B,C,D,E,F,如图：矩形,ABCD,沿对角线,BD,对折，,C,点到了,E,点，则,一对全等（小直角三角形）,一对相似，两个等腰。例,AE,：,BD=3,：,5,则,AB,：,BC,=4,：,8=1,：,2,这是因为相似,比为,3,：,5,，所以,EF,：,FB=,3,：,5,，因此,ED=4,（勾股）,而,AD=DF+FA=5+3=8,！,特别提升,线段,倍分,30,度角,直角边,斜中斜的一半,三角形中位线,梯形中位线,证明,RT,两边垂直,两角互余,勾逆证之,斜中之逆,特别提升,重要模型,蝴蝶全等三角形。,A,B,C,D,E,F,G,模型识记,正方形,ABCD,中，若,AE=BF,，则,AEBF,；,正方形,ABCD,中，若,AEBF,，则,AE=BF,若将上面的,AE,、,BF,换成,EF,、,GH,会怎样？,A,B,C,D,E,F,E,F,G,H,模型拓展,正方形,ABCD,中，,E,为,BC,上任一点，,F,为,BC,延长线上一点，,AEEG,交,DCF,的平分线于点,G,，,求证：,AE=EG ,若,BHAE,，求证：,BE=HG,注：,搞清此模型与上一模型的关系。,在,AB,上截取,BK=BE,，,证明,ECGAKE,是突破点。,A,B,C,D,F,E,G,H,K,中点四边形通关口诀,任平皆平；矩菱互变；正方自变。,对等变菱；对垂变矩；等垂变正。,矩形边上一点到对角线距离之和,A,B,C,D,P,E,F,第于斜高还等于两边之积除以斜边！,答案：包头中考,13,年,20,题,答案：包头中考,15,年,20,题,答案：包头中考,14,年,20,题,如图，在正方形,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于,O,点，折叠正方形,ABCD,，使,AB,，使,AB,落在,AC,上，,点,B,落在点,H,处，折痕,AE,交,BO,于,F,点，交,BC,于点,E,，,连接,FH,，则下列结论正确的是（ ）,A,B,C,D,O,E,F,H,AD=DF,四边形,BEHF,为菱形,一个概念；三个系数；五种解法。,一个判别；两个关系；综合应用。,拓展：整体思想,+,换元；与二次函数联袂。,换元法图象法,一元二次方程中考选择填空压轴题,a0,0 +,题目对根的要求,根的定义（代入,代数之精华）,韦达定理,关于两根的对称式：直接变为和与差式。,关于根的非对称式：,遇高次（一代二违）,遇绝对（两边平方）,牢记模型,本章重点内容,三角形,判定（普三；直三；等腰）,性质（长度；面积）,多边形,推广,相似的模型,A,字型：（正、歪）；,8,字型（正、歪）,K,字型：（正；歪）直角；钝角；锐角；反射型,射影型（母子型）：（正；歪）直射；斜射,相似的应用,证明；计算。,证明：,等积；等比；等线。技巧,积变比；横竖找；找不到；让出去；换线段；换比例；相信你；一定行。先画图；找感觉！,计算：,方程的思想（设表找列）,互表：,变量互相表示。,动点问题,文字相似与符号相似的区别,思路：找等角,定四边,掉包计！,方法：设,表,找,列！,成比例的两种理解：自比不变；互比相等。,旋转型：旋转,缩放（大,A,型）；平移型；位似型,两比五性两技一分割,+,平行线截线段成比例定理及其逆,特别记忆,A,B,C,D,如图：,ABC,为顶角为,36,的,等腰三角形，,BD,为其底角的平,分线，则：,D,为线段,AC,的黄金,分割点，且,CBA CDB,显然,三角形中的平行与面积,A,B,C,D,E,图中只要知道,AD,：,DB,的比值，就可以求出各,图形面积的比。进一步,知道一个面积，求其它,面积。,回味无穷,三视图,主视图,从正面看到的图,左视图,从左面看到的图,俯视图,从上面看到的图,画物体的三视图时,要符合如下,原则,:,位置：,主视图,左视图,俯视图,大小：长对正,高平齐,宽相等,.,挑战,“,自我,”,提高,画三视图的能力,.,小结 拓展,投影与平行投影,投影现象；物体在阳光的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。,平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，象这样的平行光线形成的投影称平行投影。,投影的分类,平行投影（如太阳光照射物体留下的影子）,中心投影（如灯光照射物体留下的影子）,平行投影的性质,阳光下，物体的影子随时间的变化而变化。,影子指向变化：从早到晚物体园子指向变化：西,西北,北,东北,东。,物体影子长度变化：从早到晚物体影子长度的变化：长,短,最短,短,长。（想象力）,物体上的点和其叶子上的对应点的连线平行。,在同一时刻，不同物体的影展与它们的高度成正比。可以理解为：同一时刻，物高：影长,=,定值（时间不变值不变）。,物体的三视图实际上就是某一时刻垂直于投影面的平行投影。,中心投影,定义：若一束光线是从一个点出发的，象这样的光线形成的投影叫做中心投影。,中心投影的光线相交于同一点（物影对应点的连线）。,中心投影下：物体不动：物体的影子随点光源位置和方向的变化而变化。光源不动：物体的影子随物体位置和方向的变化而变化。,光源固定：物体水平移动，物体离光源越远，其影子越长，反之越短（远长近短）。,灯光下的影子与太阳光下影子的区别,太阳光线是平行的，因此同一时刻下的影子都与物体高度成正比例。,物,1,：影,1,=,物,2,：影,2,灯光的影子是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例。,同一时刻，阳光的影子总是在同一方向。而灯光的影子的方向则不确定。,视点和盲区,人的眼睛的位置称视点。,由视点发出的线称为视线。,人眼看不到的地方称为盲区。,点拨：,视线不可能穿越障碍物，视线如果遇到障碍物，则有观察不到的地方（盲区）。,从视点（眼睛）与障碍物的边缘作直线，该直线通常就是盲区与可视区的分界线。,如图所示：一只猫蹲在墙前,老鼠躲在墙后,.,请你画出老鼠活命的活动区域,【例,5,】,猫,墙,墙,盲区,盲区,盲区,特别提升,思维训练,如图，把一个长方形纸片,OABC,放入平面直角坐标系中，使,OA,、,OC,分别落在两坐标轴上，连接,OB,、将纸片沿,OB,折叠，使点,A,落在点,E,的位置，若,OA=10,，,AB=5,，求,E,点的坐标。,O,A,B,O,C,E,M,N,x,y,F,1.,证明,OCF,与,BFE,全等。,2.,利用方程求,BFE,各边长,.,3.,求直角三角形,BEF,的斜高,4.,求,ON=OC+CM=OC+ME,5.,利用勾股定理求,EN.,确定函数自变量取值范围口诀,一看分母不为零；二次根下为非负。,零指负指底非雷；大括号下成一家。,一定范围二定值。,把边去等号；在内且相连；在外不去管。,函数基本问题,定式,方程法,待定系数 法,定性,定两域（范围）,定图象与关系式,定增减；看快慢,定匀速还是变速,定最值（局；全）,综合：解方程（组）；比大小（解不等式）取特值；设横表纵。,（补充）函数的图象,定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。,作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）；连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。,作用（学会看图象）：,一看对应：（变量互求：有关系式用关系式。）,二看趋势：（如何变化）,三看范围：（最大最小局部整体区别看）,四看增减；（上坡下坡）,五看快慢：（陡快缓慢平不变）,六解方程：（组）不等式（ 交点,-,扫描,-,投影法）,七比大小：（两函数，比大小，找交点，横分段，看变化，求得解）,八出方案：（寻求生活中最优选择最佳方案）,九取特值：（结合字母常量的几何意义确定常量之间的关系）。,十设坐标：（设横表纵,永远不变的真理）。,意义：图象上的点一定满足关系式，满足关系式的对应值所对应的点，一定在图象上。（,表式图合一,）,六（补充）函数分类,确定关系式是核心。表式图三合一！,知类形，设关系，用待定。,不知类形，设变量，,建模思想，立方程。,初中三大函数,整式函数,分式函数：反比例函数（双曲线）,一,一次函数（含正比例函数）：直线,二次函数：抛物线,确定函数关系,生活模型,几何模型,一次函数中,K,的特殊求法,找坡度,定坡角,求正切,K,即定。,两点纵坐标之差,横坐标之差（注意顺序）,理解：速度；速率：变化率。,知,K,反过来亦可求直线与,X,轴之夹角！,加深对“斜率”的理解与记忆。,一次函数的图象与性质,K,管方向（增减）；,K,0,增函数；,k,0,减函数。,K,相等，两直线平行。,K,的乘积为,-1,，两直线垂直。,b,管位置：,y=kx+b,是将直线,y=kx,平移,|b|,个单位得到的。,b,0,向上平移；,b,0,向下平移。所以直线,Y=kx+b,与直线,y=kx,平行且与,y,轴的交点为（,0,，,b,）,一次函数（不含正比例函数）图象的四种情况,K,0,K,0,b,0,b,0,b,0,b,0,图象过一二三象限，不过第四象限。增函数，,图象过一三四象限，不过第二象限。增函数，,图象过一二四象限，不过第三象限。减函数，,图象过二三四象限，不过第一象限。减函数，,两个一次函数图象的特殊关系：,k,同,b,不同则平行；,k,反,b,等关于,y,轴对称；,k,反,b,反关于,x,轴对称。,常函数：指类似,y=b,或,x=a,的函数。它们不是一次函数，但它们的图象也是一条直线，且与,x,轴或,y,轴平行。,一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积,=,K= 1,时，正比例函数的图象就是两坐标轴所成直角的平分线。,b,2,2|k|,两个一次函数，若,K,1,K,2,=-1,则这两条直线垂直。,拓展提升,代数式、方程、不等式与函数的关系,Y=kx+b,kx+b,kx+b,0,kx+b,=0,kx+b,0,y=kx+b,kx+b,0,kx+b,0,kx+b,=0,其它函数（如二次函数）以此类推！,一次函数的应用解题思路,一分为二：,分清横、纵坐标表示的实际意义。,数形结合：,数字,坐标图,直线图（示意图）之间做好“翻译”，做到“三合一”。特别是坐标系中每条线段所代表的“情景”。,三法求解：,算术法（小学方法）；代数法（待定系数法等）确定关系式；几何法（做好坐标与线段的转换，然后根据全等、相似等几何特征列方程求解，最后将线段转化成坐标）。,三型结合：,指函数，方程，不等式的结合。,式判；图判；参数判。无零函数；与正比例比较和联动。,确定,K,：一点定,K,，横纵相乘；面积定,K,，几何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。,常用,xy,=k,来判断,-,注意每个象限,顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与,Y=X,的关系。双对称（轴心）,初中唯一的“分式”函数。,相等；一半；二倍,函数,正比例函数,反比例函数,表达式,图象形状,K0,K0,位置,增减性,位置,增减性,y=kx,( k,0,),( k,是常数,k,0,),y =,x,k,直线,双曲线,一三象限,y,随,x,的增大而增大,一三象限,每个象限内，,y,随,x,的增大而减小,二四象限,二四象限,y,随,x,的增大而减小,每个象限内，,y,随,x,的增大而增大,填表分析正比例函数和反比例函数的区别,比一比,反比例函数表达式中,k,的几何意义,反比例长方形：在反比例函数图象上任取一点，过该点分别作坐标轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的长方形称为反比例长方形。,反比例三角形：过反比例函数图象上任一点作一条坐标轴的垂线，这点和垂足、原点构成的三角形叫做反比例三角形。,S,反比例,长方形,=|xy,|=|k|,S,反比例,三角形,ADO,=,|k|,S,反比例,直角三角形,AEC,=2 |k|,S,反比例,平行四边形,ABCD,= 2 |k|,1,2,A,B,C,D,E,特别提升一,两正一反面积公式：如图,S,OAB=,S,梯形,ABCD,反比例函数分矩形对边成比例定理,如图：,AD,：,DB=CE,：,EB,重要的解题思想：基本图形,经验积累,模式识别,A,B,C,D,0,O,A,B,C,E,D,熟记基本图形,累积解题经验,识别模式灵活应用,（从简单出发）,面积：大三,=,大梯；小三,=,小梯,正切坡度与一次函数斜率,K,的关系,牢记,角优先掌握三类模型解任意三角形,增减性：比大小及化简“绝对式”等,代替相似简化运算,思路清晰,与相似结合威力大,全章通关口诀,一个坡度三个比；见到直角是前提。,三个特角九个值；,三边之比,要牢记。,测距触礁躲台风；设法构造三角形。,辅助理当造直角；不破已知边与角。,做题要快记,模板,；比较大小记增减。,三角函数的应用,解三角形：,依据；角的关系；三边关系；边角关系；,369,三角形；,45-9,三角形；斜高的求法；斜中定理等。,问题：两角三边五要素，知二（至少一边）求三。,实际应用：,思路：实际问题抽象为三角形问题,有直角、用直角，无直角、造直角。,注意其中的全等，相似关系的利用。应用方程的思想，通过方程求解。,分类：边界问题；三垂直问题；测量问题；光线问题；定向问题；其它问题。,三角形面积,=,ab,sinC,；正三角形面积,=,a,2,1,2,4,3,直角三角形快速切换求边法（强化训练,熟练掌握）,用比值法,抓住已知,准确判断,快速求值,两量知比值,求谁谁在上,1,1,1,2,3,4,5,1,2,1,3,5,12,13,2,3,5,10,用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边）,解题“三类”模板,30,45,30,60,45,60,30,60,30,45,45,60,30,45,30,60,60,45,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,2x,3x,x,x,x,x,1,2,3,4,梯形,+,双垂直,5,梯子模型,解直角三角形破题秘诀,四类模型要牢记,少破边角造模型,紧扣模型角优先,勿忘方程设表列,相似不忘随时用,能乘不除少麻烦,能用三角不勾股,能用特值不用普,特别延升,正弦定理,(,锐角用其余角代替，前面的任意三角形用正弦求面积的公式中遇到锐角也如此处理,应用：选择及填空题中直接用,三角形面积的新求法,三角形的面积,=,两边夹角的正弦与两边乘积的一半（需要注意：夹角遇钝变补）。,A,B,C,a,b,c,函数并网,联想,数,字母,代数式,运算,符号,方,程,不,等,式,有理式,无理式,整式,分式,一次函数,二次函数,反比例函数,函数,解函数题,两法定式,十看定性,函数大数据,因变量,Y,（或,S,）,自变量,x,（或,t,）,关系式,图象,表格,辨函数（式辨,+,图辨,+,表辨）；定义域,+,值域；关系式,-,图象,-,表格的信息读取,一次函数,反比例函数,二次函数,二次函数演义,一个定义：整式；二次；,a0,七种形式：一母六子,双,0,式,一般式,纵,0,式,横,0,式,截,0,式,两根式,统一为顶点式理解记忆,一个图象,抛物线,轴对称,常函数,五点法,数形定性,两法定式,三类应用,方程法,设表列,待定系,数法,几何背景,代数背景,实际应用,三法定,一轴,一轴定,乾坤,七式各,自表,三点法,顶点法,交点法,综合法,思想方法：数形结合,-,方程思想,-,设横表纵,-,配方法,-,取特值法,-,最值法,-,韦达法,三大关系：与一次函数,与方程；与不等式,-,三大关系,a,、,b,、,c,的分工,与合作,-,一次函数（正比例函数）；反比例函数与二次函数,-,最高次项,从顶点横坐标（对称轴方程）出发）：三种求法,确定自变量取值范围,-,两不靠三角形面积的求法。,函数六小灵童,六种形式的对称轴,+,求关系式时的对应方法,+,八个特殊点的坐标,=,要牢记,八仙过海：,顶点（,0,，,C,）（,1,，,ab+c,）（,2,，,4a2b+c,）（,3,，,9a3b+c,）,确定函数关系式通关补充内容,掌握四类特殊二次函数的关系式的确定,双零式（,b=0,、,c=0,、顶点在原点）。设为对应的关系式，只需图象上的一个点的坐标或一对对应值即可确定其关系式。（画图：略）,横零式（,b=0,，顶点在,y,轴，对称轴为,y,轴）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）,纵零式（顶点在,x,轴，顶点的纵坐标为零）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）,截零式：函数图象与,y,轴的交点为（,0,，,0,），此时，,c=0,，也可以直接设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略,掌握一般情况下二次函数关系式的五种求法：,一般式；顶点式；交点式；顶横式，顶纵式等。,破解动点问题通关口诀,相似搭桥,等腰,风水轮流转；中线加高亦等腰。,直角,