同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

单击此处编辑母版文本样式,走向高考,高考总复习,人教,A,版 数学,第一篇 第,4,章 基本初等函数（,）,首页,上页,下页,末页,要点自主归纳,课堂典例讲练,课堂巩固训练,思想方法点拨,课后强化作业,第二讲,同角三角函数的基本关系及诱导公式,重点难点,重点：,掌握同角三角函数的关系公式,掌握,，,，,2,，,的诱导公式,难点：,诱导公式的规律性,公式的综合运用,知识归纳,1,同角三角函数的基本关系,(1),倒数关系：,tan,cot,；,(2),商数关系： ,； ,；,(3),平方关系：,sin,2,cos,2,；,1,tan,cot,1,2,三角函数的诱导公式,(1),诱导公式的内容,2,2,k,(,k,Z,),sin,sin,sin,sin,sin,sin,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,sin,(2),诱导公式的规律,诱导公式概括为：,(,k,Z,),的正弦、余弦值，当,k,为偶数时，得角,的同名三角函数值；当,k,为奇数时，得角,相应的余函数值，然后放上把角,看成锐角时原函数所在象限的符号；可概括为,“,奇变偶不变，符号看象限,”,误区警示,1,已知角,的某一种三角函数值，求角,的其余,3,种三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号要注意公式的合理选择和方法的灵活性,2,在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用,“,是否是同角,”,来区分和选用公式,3,在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取应用公式时把角,看成锐角，如果出现,k,的形式时，常对,k,值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限,4,要熟记特殊角的三角函数值,解题技巧,1,怎样计算任意角的三角函数值,计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：,(1),负化正：当已知角为负角时，先利用,的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；,(2),正化主：当已知角是大于,360,的角时，可用,k,360,的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间,(0,，,360),上的角的三角函数值；,(3),主化锐：当已知角是,90,到,360,间的角时，可利用,180,，,360,的诱导公式把这个角的三角函数值化为,0,到,90,间的角的三角函数值,(,对于非特殊角用查表或用计算器求出结果,),2,证明三角恒等式的常用方法,证明三角恒等式的主要方法有：,(1),化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边,(2),左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子,(3),转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程,3,“,1,”,的代换,在求值、化简、证明时，常把数,1,表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化常见的代换如下：,1,sin,2,cos,2,1,sec,2,tan,2,csc,2,cot,2,1,cos,sec,sin,csc,1,tan45,tan,cot,cot45,1,(,sin,cos,),2,2sin,cos,等等,4,三角函数求值中直角三角形的运用,先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可,点评：,记住常用的勾股数组非常方便常用的有：,3,4,5,5,12,13,7,24,25,8,15,17,以及它们的倍数，如,3,k,4,k,5,k,k,N,.,(08,浙江理,),若,cos,2sin, ，则,tan,(,),A.,B,2,C,D,2,解析：,将已知等式两边平方得,cos,2,4sin,2,4sin,cos,5(cos,2,sin,2,),，化简得,sin,2,4sin,cos,4cos,2,0,，,即,(,sin,2cos,),2,0,，故,tan,2.,答案：,B,例,2,当且仅当,在什么范围内取值时，等式 ,cot,csc,成立？,化简：,分析：,“,脱,”,去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标,点评：,注意变形的技巧，对于,.,我们可以分子、分母同乘以,1,sin,，也可以分子、分母同乘以,1,sin,，但分母变为,“,单项式,”,更方便些，故选择同乘以,1,sin,.,例,3,已知,是第三象限的角，且,(3),1860,5,360,60,f,(,1860),cos,(,1860),cos,(,5,360,60),cos,(,60),cos60,.,设,f,(,x,),a,sin(,x,),b,cos(,x,),，其中,a,，,b,，,R,，且,ab,0,，,k,(,k,Z,),若,f,(2009),5,，则,f,(2010),等于,(,),A,4 B,3,C,5 D,5,解析：,f,(2009),a,sin(2009,),b,cos(2009,),a,sin,b,cos,5,，,a,sin,b,cos,5.,f,(2010),a,sin,b,cos,5.,答案：,C,只需证：,2(1,sin,)(1,cos,),(1,sin,cos,),2,即证：,2,2sin,2cos,2sin,cos,1,sin,2,cos,2,2sin,2cos,2sin,cos,即,1,sin,2,cos,2,显然成立,原式得证,.,例,5,已知,x, ，,sin,x,cos,x,.,(1),求,sin,x,cos,x,的值；,(2),求 的值,分析：,(1)(sin,x,cos,x,),2,1sin2,x,，从而,sin,x,cos,x,与,sin,x,cos,x,通过平方关系可相互转化,(2),由,(1),获得,sin,x,cos,x,的值后，只须运用,sin2,x,2sin,x,cos,x,及,tan,x, ，即可化简,总结评述：,形如,a,sin,b,cos,和,a,sin,2,b,sin,cos,c,cos,2,的式子分别称为关于,sin,、,cos,的一次齐次式和二次齐次式，如已知,tan,m,，求涉及它们的三角式的值时，常作,1,的代换，,sin,m,cos,代入，,选择题常用直角三角形法求解，,所给式是分式时，常用分子、分母同除以,cos,k,变形,答案,D,解析,在,ABC,中，,cot,A,0,，,A,为钝角，,cos,A,1,，,|,cos,A,|,sin,A,|,，,选,D.,答案,C,答案,A,答案,C,(,理,),的化简结果是,(,),A,4cos4,2sin4 B,2sin4,C,2sin4,4cos4 D,2sin4,答案,D,二、填空题,4,(,文,),若,f,(tan,x,),sin,x,cos,x,，则,f,(,1),_.,答案,答案,60,解析,由,3cos,A,0,及角,A,为,ABC,内角得角,A,是锐角，两边平方得,2sin,2,A,3cos,A,，,2cos,2,A,3cos,A,2,0,，,cos,A, 或,cos,A,2(,舍去,),，,A,60.,5,若,1,sin,2,3sin,cos,则,tan,_.,答案,1,或,解析,由,1,sin,2,3sin,cos,变形得,2sin,2,cos,2,3sin,cos,0,(2sin,cos,)(sin,cos,),0,，,tan, 或,1.,6,(,文,),已知,tan,是方程,x,2,2,x,sec,1,0,的两个根中较小的根，则,的值为,_,答案,2,k, ，,k,Z,请同学们认真完成课后强化作业,