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数学必修,苏教版课件,圆与方程,圆的标准方程,圆的一般方程,问题提出,1.,在平面直角坐标系中，两点确定一条,直线，一点和倾斜角也确定一条直线，,那么在什么条件下可以确定一个圆呢？,2.,直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题,.,圆心和半径,圆的标准方程,知识探究一：圆的标准方程,平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆,.,思考,1:,圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点,A,为圆心,r,为半径的圆？,P=M|MA|=r.,A,M,r,思考,2:,确定一个圆最基本的要素是什么？,思考,3:,设圆心坐标为,A(a,b),圆半径为,r,M(x,y),为圆上任意一点,根据圆的定义,x,y,应满足什么关系？,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,A,M,r,x,o,y,P=M|MA|=r.,思考,4:,对于以点,A(a,b),为圆心,r,为半径的圆,由上可知,若点,M(x,y),在圆上,则点,M,的坐标满足方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,；反之,若点,M(x,y),的坐标适合方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,那么点,M,一定在这个圆上吗？,A,M,r,x,o,y,圆心,C,(,a,b,),半径,r,思考,6:,以原点为圆心，,1,为半径的圆称为,单位圆,，那么单位圆的方程是什么？,思考,5:,我们把方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,称为圆心为,A(a,，,b),，半径长为,r,的圆的,标准方程,，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？,x,2,+y,2,=1,三个独立条件,a,、,b,、,r,确定一个圆的方程,.,特别地,若圆心为,O,（,0,，,0,），,则圆的方程为,：,1 (,口答,),、求圆的圆心及半径,(1),、,x,2,+y,2,=4 (2),、,(x+1),2,+y,2,=1,练习,X,y,0,+2,-2,C(0,、,0) r=2,X,Y,0,-1,C(-1,、,0) r=1,(1) x,2,+y,2,=9,(2) (x+3),2,+(y-4),2,=5,练习,2,、写出下列圆的方程,（,1,）、圆心在原点，半径为,3,；,（,2,）、圆心在,(-3,、,4),半径为,.,3,、圆心在（,-1,2,）,与,y,轴相切,练习,X,Y,0,c,-1,C(-1,、,2) r=1,(x+1),2,+(y-2),2,=1,(x-2),2,+(y-2),2,=4,或,(x+2),2,+(y+2),2,=4,2,0,2,C(2,2),C(-2,-2),X,Y,-2,-2,Y=X,练习,4,、圆心在直线,y=x,上,与两轴同时相切,半径为,2.,X,Y,0,C,（,8,、,3,）,P,（,5,、,1,）,5,、已知圆经过,P(5,、,1),圆心在,C(8,、,3),求圆方程,.,练习,(x-8),2,+(y-3),2,=13,X,C(1,、,3),3x-4y-6=0,Y,0,练习,6,、求以,c(1,、,3,）为圆心，并和直线,3x-4y-6=0,相切的圆的方程,.,解：设圆的方程为,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,已知,a=1,b=3,因为半径,r,为圆心到切线,3x-4y-6=0,的距离，,所以,|31-4 3-6|,15,所以圆的方程为,r=,=,=,3,(x-1),2,+(y-3),2,=9,5,2,2,),4,(,3,-,+,7,、已知两点,A(4,、,9),、,B(6,、,3),求以,AB,为直径的圆的方程,.,提示,:,设圆方程为,:(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,A(4,、,9),B(6,、,3),X,0,Y,练习,思考,7:,方程 ，,，,是圆方程吗？,思考,8:,方程 与 表示的曲线分别是什么？,知识探究二：点与圆的位置关系,思考,1:,在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？,思考,2:,在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？,A,O,A,O,A,O,OA,r,OA,=,r,思考,3:,在直角坐标系中，已知点,M(x,0,，,y,0,),和圆,C,： ，如何判断点,M,在圆外、圆上、圆内？,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,r,2,时,点,M,在圆,C,外,;,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,=,r,2,时,点,M,在圆,C,上,;,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,r,时，点在,圆外,；,d=r,时，点在,圆上,；,d0,时，表示以（ ）,为圆心，以,( ),为半径的圆,（,3,）当,D,2,+E,2,-4F,0,时,方程,（,1,）,无实数解,所以,不表示任何图形。,（,2,）当,D,2,+E,2,-4F=0,时，方程只有一组解,X=-D/2,y=-E/2,，表示一个点（ ）,所以形如,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,（,D,2,+E,2,-4F0,）,可表示圆的方程,思考,4:,当 或 时，方程 表示什么图形？,思考,5:,方程,叫做圆的,一般方程,，其圆心坐标和半径分别是什么？,圆心为 ，半径为,圆的一般方程：,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,圆的,一般方程,与,标准方程,的关系：,（,D,2,+E,2,-4F0,）,a=,-D/2,，,b=,-E/2,，,r=,(1),的系数相同，且不等于零；,(2),没有,xy,项；,(3),圆的标准方程与一般方程各有什么优点？,标准方程：明确地指出了圆心和半径；,一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用,一般式有那些特点 ？,思考,7:,当,D=0,，,E=0,或,F=0,时，,圆 的位置分别有什么特点？,C,x,o,y,C,x,o,y,C,x,o,y,D=0,E=0,F=0,练习,:,判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径,.,点,( 0 , 0 ),半径,:,圆心,:,半径,:,圆心,:,知识探究二：圆的直径方程,思考,1:,已知点,A(1,，,3),和,B(-5,，,5),，如何求以线段,AB,为直径的圆方程？,思考,2:,一般地,已知点,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则以线段,AB,为直径的圆方程如何？,(x-x,1,)(x-x,2,)+(y-y,1,)(y-y,2,)=0,A,x,o,y,B,P,例,1:,求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心,.,解,:,设圆的方程为,:,因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,所以,圆的方程为,:,理论迁移,例,2,方程,表示的图形是一个圆，求,a,的取值范围,.,用待定系数法求圆的方程的步骤：,1),根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；,2),根据条件列出关于,a,、,b,、,r,或,D,、,E,、,F,的方程；,3),解方程组，求出,a,、,b,、,r,或,D,、,E,、,F,的值，代入所设方程，就得要求的方程,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单,.,根据题目条件,恰当选择圆方程形式,:,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解,.,例,3,已知线段,AB,的端点,B,的坐标是（,4,，,3,）,端点,A,在圆,(x+1),2,+y,2,=4,上运动，求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,.,y,A,B,M,x,o,例,3:,已知线段,AB,的端点,B,的坐标是,(4,3),端点,A,在圆 上运动,求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,.,解,:,设,M,的坐标为,(,x, y,),点,A,的坐标是,.,由于点,B,的坐标是,(4,3),且,M,是线段,AB,的中点,所以,即,:,因为点,A,在圆上运动,所以,A,的坐标满足圆的方程,即,:,求轨迹方程的方法,:,若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把,Q,点的坐标 分别用动点,P,的坐标,x,y,表示出来,代入到,Q,点满足的已有的等式,得到动点,P,的轨迹方程,关键,:,列出,P,Q,两点的关系式,.,求动点轨迹的步骤,:,1.,建立坐标系,设动点坐标,M,(,x,y,);,2.,列出动点,M,满足的等式并化简,;,3.,说明轨迹的形状,.,例,4,已知点,P,（,5,，,3,），点,M,在圆,x,2,+y,2,-4x+2y+4=0,上运动，求,|PM|,的最大值和最小值,.,y,C,P,M,x,o,A,B,1.,任一圆的方程可写成 的形式，但方程 表示的曲线不一定是圆,当 时，方程表示圆心为 ，,半径为 的圆,.,小结作业,(2),圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程,(,圆心,半径,),用待定系数法求圆方程的基本步骤：,（,1,）设圆方程 ；（,2,）列方程组；,（,3,）求系数； （,4,）小结,.,4.,求轨迹方程的基本思想：,求出动点坐标,x,，,y,所满足的关系,.,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单,.,(3),要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式,:,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解,.,练习,1:,判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径,.,点,( 0 , 0 ),半径,:,圆心,:,半径,:,圆心,:,半径,:,圆心,:,半径,:,圆心,:,当 时,当 时,半径,:,圆心,:,表示点,:,练习,3:,如图,等腰梯形,ABCD,的底边长分别为,6,和,4,高为,3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长,.,3,解,:,设圆的方程为,:,因为,A,B,C,都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,圆的方程,:,即,:,圆心,:,半径,:,
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