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,三,、数形结合思想,思想方法,聚焦诠释,高频考点,探究突破,预测演练,巩固提升,思想方法,聚焦诠释,高考命题聚焦,数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点,;,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终还是要用,“,数,”,写出完整的解答过程,.,思想方法诠释,1,.,数形结合思想的含义,数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,.,它包含两个方面,:(1)“,以形助数,”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题,;(2)“,以数解形,”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题,.,2,.,数形结合思想在解题中的应用,(1),构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系,.,(2),构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式,.,(3),构建立体几何模型研究代数问题,.,(4),构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题,.,(5),构建方程模型,求根的个数,.,3,.,实现数形结合的渠道,(1),实数与数轴上点的对应,;(2),函数与图象的对应,;(3),曲线与方程的对应,;(4),以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、空间点的坐标等,.,高频考点,探究突破,命题热点 一,利用数形结合求函数零点的个数,【思考】,如何利用函数的图象解决函数零点的个数问题,?,例,1,(2020,天津,9),已知函数,f,(,x,),=,若,函数,g,(,x,),=f,(,x,),-|kx,2,-,2,x|,(,k,R),恰有,4,个零点,则,k,的取值范围是,(,),D,解析,:,由题意可知,x=,0,为,g,(,x,),的一个零点,.,函数,g,(,x,),=f,(,x,),-|kx,2,-,2,x|,(,k,R),恰有,4,个零点,即函数,f,(,x,),与,h,(,x,),=|kx,2,-,2,x|,的图象有,4,个交点,其中点,(0,0),为一个交点,当,x,0,时,由,x,3,=|kx,2,-,2,x|,可得,x,2,=|kx-,2,|,当,x,0,时,由,-x=|kx,2,-,2,x|,可得,1,=|kx-,2,|,即函数,(,x,),与,(,x,),的图象有,3,个交点,.,若,k,0,如图,1,所示,函数,(,x,),与,(,x,),的图象有,3,个交点,所以,k,0,即,k,2,-,8,0,函数,g,(,x,),=f,(,x,),-|kx,2,-,2,x|,(,k,R),恰有,4,个零点,.,图,2,题后反思,因为方程,f,(,x,),=,0,的根就是函数,f,(,x,),的零点,方程,f,(,x,),=g,(,x,),的根就是函数,f,(,x,),和,g,(,x,),的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程,(,特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程,),的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式,(,不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数,),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数,.,对点训练,1,已知,a,b,R,函数,f,(,x,),=,若,函数,y=f,(,x,),-ax-b,恰有,3,个零点,则,(,),A.,a-,1,b,0B.,a,0,C.,a-,1,b-,1,b,0,C,解析,:,当,x,0,y=f,(,x,),-ax-b,在区间,0,+,),上单调递增,函数,y=f,(,x,),-ax-b,最多有一个零点,不合题意,;,当,a+,1,0,即,a-,1,时,令,y,0,得,x,(,a+,1,+,),函数,y=f,(,x,),-ax-b,单调递增,令,y,0,得,x,(0,a+,1),函数,y=f,(,x,),-ax-b,单调递减,;,函数,y=f,(,x,),-ax-b,最多有,2,个零点,.,根据题意,函数,y=f,(,x,),-ax-b,恰有,3,个零点,函数,y=f,(,x,),-ax-b,在区间,(,-,0),上有一个零点,在区间,0,+,),上有,2,个零点,如下图,:,命题热点 二,利用数形结合求参数范围及解不等式,【思考】,如何利用函数图象解决不等式问题,?,函数的哪些性质与函数图象的哪些特征联系密切,?,例,2,设函数,f,(,x,),的定义域为,R,满足,f,(,x+,1),=,2,f,(,x,),且当,x,(0,1,时,f,(,x,),=x,(,x-,1),.,若对任意,x,(,-,m,都有,f,(,x,),-,则,m,的取值范围是,(,),B,解析,:,f,(,x+,1),=,2,f,(,x,),f,(,x,),=,2,f,(,x-,1),.,当,x,(0,1,时,f,(,x,),=x,(,x-,1),f,(,x,),的图象如图所示,.,当,2,x,3,时,f,(,x,),=,4,f,(,x-,2),=,4(,x-,2)(,x-,3),整理得,9,x,2,-,45,x+,56,=,0,即,(3,x-,7)(3,x-,8),=,0,题后反思,在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,因此往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长,.,如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决,.,(1),解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个,(,或多个,),函数,利用两个,(,或多个,),函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答,.,(2),函数的单调性经常联系函数图象的升、降,;,奇偶性经常联系函数图象的对称性,;,最值,(,值域,),经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标,.,对点训练,2,(2020,山东第二次质量检测改编,),已知对任意实数,x,都有,f,(,x,),=,3e,x,+f,(,x,),f,(0),=-,1,若不等式,f,(,x,),a,(,x-,2)(,其中,a,1),的解集中恰有两个整数,则,a,的取值可能,是,_,.,(,填序号,),解析,:,由,f,(,x,),=,3e,x,+f,(,x,),f,(0),=-,1,得,f,(,x,),=,(3,x-,1)e,x,故,f,(,x,),=,(3,x+,2)e,x,命题热点 三,利用数形结合求最值、值域,(,范围,),【思考】,如何利用图形求目标函数的最值或值域,?,依题意,x,2,+ax+,2,b,0),的焦点为,F,准线为,l,A,B,是,抛物,D,解析,:,设,A,B,在,l,上的射影分别为,Q,P,则点,N,为,PQ,的中点,.,设,|AF|=a,|BF|=b,连接,AQ,BP,画出草图如图所示,.,由抛物线的定义,得,|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.,在梯形,ABPQ,中,由点,M,N,分别为线段,AB,PQ,的中点,得,2,|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,题后反思,在解析几何中的一些范围及最值问题中,常根据图形的性质结合几何概念进行相互转换,使问题得到简便快捷的解决,.,对点训练,4,已知,双曲线,=,1(,a,0,b,0),的右焦点为,F,若过点,F,且倾斜角为,60,的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求此双曲线离心率的取值范围,.,解,:,渐近线,y= x,与过焦点,F,的直线,l,平行或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线,l,与双曲线的右支有一个交点,预测演练,巩固提升,A.1,B.2,C.3,D.4,B,解析,:,作出函数,y=a,|x|,y=|,log,a,x|,的图象,由图象可知,两图象只有,2,个交点,故方程有,2,个实根,.,2,.,已知圆,C,:(,x-,3),2,+,(,y-,4),2,=,1,和两点,A,(,-m,0),B,(,m,0)(,m,0),.,若圆,C,上存在点,P,使得,APB=,90,则,m,的最大值为,(,),A.7,B.6,C.5,D.4,B,解析,:,画出示意图如图所示,则圆心,C,(3,4),半径,r=,1,且,|AB|=,2,m.,因为,APB=,90,易知,|OP,|= |,AB|=m.,要求,m,的最大值,即求圆,C,上的点,P,到原点,O,的最大距离,.,所以,|OP|,max,=|OC|+r=,6,即,m,的最大值为,6,.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,3,.,(2020,内蒙古月考,),已知函数,f,(,x,),=x,2,-,2,|x|-m,的零点有两个,则实数,m,的取值范围为,(,),A.(,-,1,0)B,.,-,1,(0,+,),C.,-,1,0),(0,+,)D,.(0,1),B,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,解析,:,在同一平面直角坐标系内作出函数,y=x,2,-,2,|x|,的图象和直线,y=m,可知当,m,0,或,m=-,1,时,直线,y=m,与函数,y=x,2,-,2,|x|,的图象有两个交点,即函数,f,(,x,),=x,2,-,2,|x|-m,有两个零点,.,故选,B,.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,4,.,已知,a,b,e,是平面向量,e,是单位向量,.,若非零向量,a,与,e,的夹角,为,向量,b,满足,b,2,-4eb+3=0,则,|a-b|,的最小值是,(,),A,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,解析,:,e,为单位向量,b,2,-,4e,b,+,3,=,0,b,2,-,4e,b,+,4e,2,=,1,.,(b,-,2e),2,=,1,.,以,e,的方向为,x,轴正方向,建立,平面直角坐标系,如图,.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,即为圆上的点,B,到直线,OA,的距离,.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,5,.,设函数,f,(,x,),=,若,函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,a+,1),上,单,调,递增,则实数,a,的取值范围,是,_,.,(,-,1,4,+,),解析,:,作出函数,f,(,x,),的图象,如图所示,由图象可知,f,(,x,),在,(,a,a+,1),上单调递增,需,满足,a,4,或,a+,1,2,即,a,1,或,a,4,.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,6,.,已知奇函数,f,(,x,),的定义域是,x|x,0,x,R,且在区间,(0,+,),内单调递增,若,f,(1),=,0,则满足,x,f,(,x,),0,的,x,的取值范围,是,_,.,(,-,1,0),(0,1),解析,:,作出符合条件的一个函数图象,草图,即,可,由图可知,满足,xf,(,x,),0,的,x,的取值范围是,(,-,1,0),(0,1),.,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,思想方法研析指导 三、数形结合思想,-2021,届高三数学（理）二轮复习提优课件,
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